工程力學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)詳解與習(xí)題解析工程力學(xué)作為工科學(xué)生重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，其核心在于運(yùn)用力學(xué)原理解決實(shí)際工程中的承載與運(yùn)動(dòng)問題。學(xué)好工程力學(xué)，不僅需要扎實(shí)掌握基本概念與理論，更要深刻理解其內(nèi)在邏輯，并能熟練應(yīng)用于分析和計(jì)算。本文旨在梳理工程力學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，并通過典型習(xí)題的解析，幫助讀者深化理解，提升解決復(fù)雜工程力學(xué)問題的能力。靜力學(xué)篇：構(gòu)建受力分析的基石靜力學(xué)研究物體在力系作用下的平衡條件。其核心在于通過對(duì)物體進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析，建立平衡方程，進(jìn)而求解未知力。這部分內(nèi)容是整個(gè)工程力學(xué)的基礎(chǔ)，其掌握程度直接影響后續(xù)學(xué)習(xí)。1.1物體的受力分析與力系簡(jiǎn)化重點(diǎn)難點(diǎn)解析：*約束與約束力：約束的類型（柔索約束、光滑接觸面約束、鉸鏈約束等）是判斷約束力方向的關(guān)鍵。難點(diǎn)在于理解不同約束所能限制的運(yùn)動(dòng)，從而“被動(dòng)”地確定約束力的方向或作用線。初學(xué)者常犯的錯(cuò)誤是憑主觀臆斷約束力方向，而非依據(jù)約束性質(zhì)。*受力圖繪制：這是靜力學(xué)的“靈魂”。繪制受力圖時(shí)，必須明確研究對(duì)象（取分離體），并嚴(yán)格按照約束類型畫出所有外力（主動(dòng)力和約束力），避免多畫、漏畫或錯(cuò)畫。*力系的等效與簡(jiǎn)化：力的平移定理揭示了力對(duì)剛體作用效果的本質(zhì)，是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。主矢與主矩是描述力系對(duì)剛體總作用效果的兩個(gè)基本量。需理解主矢與簡(jiǎn)化中心無關(guān)，主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)。典型例題與解析：例題1：試畫出圖示結(jié)構(gòu)中桿AB及整體的受力圖。（假設(shè)所有接觸均為光滑，不計(jì)各構(gòu)件自重）（*此處應(yīng)有圖示：一個(gè)簡(jiǎn)單的靜定結(jié)構(gòu)，例如：水平梁AB一端用固定鉸支座A固定在墻上，另一端B通過鉸鏈與一根斜桿BC連接，斜桿BC的另一端C用輥軸支座支撐在另一堵墻上。*）解析：1.取桿BC為研究對(duì)象（二力桿分析）：由于不計(jì)自重且BC桿僅在B、C兩點(diǎn)受力而平衡，根據(jù)二力平衡條件，B、C兩點(diǎn)的約束力必沿BC連線方向，且大小相等、方向相反。因此，C處輥軸支座的約束力FC沿BC桿方向指向B（或背離，需后續(xù)整體分析確定，但對(duì)BC桿自身而言，方向相反即可），B處受到AB桿的約束力FB與FC等值反向。2.取桿AB為研究對(duì)象：*A處為固定鉸支座，其約束力可用兩個(gè)正交分力FAx、FAy表示。*B處受到桿BC對(duì)其的作用力FB'，根據(jù)作用與反作用定律，F(xiàn)B'與FB等值反向，即沿BC連線方向，指向A（假設(shè)FC指向B，則FB背離B，F(xiàn)B'指向A）。*若有其他主動(dòng)力（如梁上荷載），也需一并畫出。此處題目假設(shè)不計(jì)自重且未提及主動(dòng)力，故AB桿受力為FAx、FAy、FB'。3.取整體為研究對(duì)象：*主動(dòng)力：（題目未提及，若有則畫出）。*約束力：A處FAx、FAy；C處FC。*B處的FB和FB'為系統(tǒng)內(nèi)力，成對(duì)出現(xiàn)，在整體受力圖中不畫出。解題要點(diǎn)：對(duì)于只在兩點(diǎn)受力而平衡的剛體（二力構(gòu)件或二力桿），優(yōu)先分析，可大大簡(jiǎn)化問題。這是畫受力圖時(shí)的重要技巧。1.2力系的平衡條件與應(yīng)用重點(diǎn)難點(diǎn)解析：*力系的平衡方程：不同類型力系（匯交力系、平行力系、任意力系）有其對(duì)應(yīng)的獨(dú)立平衡方程數(shù)目和形式。最基本的是空間任意力系的六個(gè)平衡方程，其他力系均為其特例。平面任意力系的三個(gè)平衡方程（∑Fx=0,∑Fy=0,∑Mo=0）應(yīng)用最為廣泛，需熟練掌握其各種形式（一矩式、二矩式、三矩式）及附加條件。*物體系統(tǒng)的平衡：求解由多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，關(guān)鍵在于選擇合適的研究對(duì)象（單個(gè)物體、部分物體組成的子系統(tǒng)或整體），并靈活運(yùn)用平衡方程。應(yīng)盡可能使一個(gè)平衡方程只含一個(gè)未知量，以簡(jiǎn)化計(jì)算。注意區(qū)分內(nèi)力與外力。*靜定與超靜定問題的概念：若系統(tǒng)的未知量數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則系統(tǒng)是靜定的，可由平衡方程唯一求解；否則為超靜定問題，僅用靜力學(xué)平衡方程無法完全求解。典型例題與解析：例題2：圖示水平梁AB，A端為固定端，B端受一斜向集中力F作用，力F與水平線夾角為θ。梁長為L，不計(jì)梁自重。試求A端的約束力。（*此處應(yīng)有圖示：懸臂梁AB，A為固定端，自由端B受斜力F。*）解析：1.取梁AB為研究對(duì)象，畫受力圖：固定端A處的約束力有三個(gè)：水平分力FAx，豎直分力FAy，以及力偶矩MA（阻止轉(zhuǎn)動(dòng)）。B端受主動(dòng)力F。2.建立坐標(biāo)系，列平衡方程：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸，豎直向上為y軸。*∑Fx=0:FAx-Fcosθ=0→FAx=Fcosθ*∑Fy=0:FAy-Fsinθ=0→FAy=Fsinθ*∑MA=0:MA-F*Lsinθ=0→MA=FLsinθ(逆時(shí)針方向)3.結(jié)果討論：A端的約束力為FAx=Fcosθ(→)，F(xiàn)Ay=Fsinθ(↑)，MA=FLsinθ(逆時(shí)針)。解題要點(diǎn)：固定端約束力偶矩容易被遺漏，需特別注意。對(duì)于力對(duì)軸之矩的計(jì)算，要明確力臂或采用解析法（力的分量與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的代數(shù)和）。材料力學(xué)篇：探究構(gòu)件的承載能力材料力學(xué)研究構(gòu)件在外力作用下的內(nèi)力、變形和強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題，以確保構(gòu)件安全正常工作。其核心是通過內(nèi)力分析、應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度條件的建立，解決構(gòu)件的承載能力問題。2.1內(nèi)力分析與內(nèi)力圖重點(diǎn)難點(diǎn)解析：*內(nèi)力的概念與求解：構(gòu)件在外力作用下，內(nèi)部各部分之間的相互作用力稱為內(nèi)力。通常采用“截面法”求解指定截面上的內(nèi)力（軸力N、剪力Q、彎矩M、扭矩T）。截面法的關(guān)鍵步驟：截開、代替、平衡。需明確內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定（特別是剪力和彎矩）。*內(nèi)力圖的繪制：內(nèi)力圖（軸力圖、剪力圖、彎矩圖）是表示內(nèi)力沿構(gòu)件軸線變化規(guī)律的圖形，是后續(xù)強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)。繪制內(nèi)力圖的基本方法是：根據(jù)外力（荷載和約束力）的變化，分段建立內(nèi)力方程，再根據(jù)方程作圖。也可利用荷載集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系（dQ/dx=q(x),dM/dx=Q(x)）快速繪制或校核彎矩圖和剪力圖。難點(diǎn)在于準(zhǔn)確判斷彎矩圖的凹凸性和極值點(diǎn)位置。*扭矩圖：對(duì)于受扭構(gòu)件，需計(jì)算橫截面上的扭矩，并繪制扭矩圖。扭矩的正負(fù)號(hào)通常采用右手螺旋法則判定。典型例題與解析：例題3：試?yán)L制圖示簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖，并求出最大剪力和最大彎矩及其所在位置。已知梁長L，在C點(diǎn)處受集中力F作用，AC=a，CB=b(a+b=L)。（*此處應(yīng)有圖示：簡(jiǎn)支梁AB，A為固定鉸支座，B為輥軸支座，在距離A端a處作用一豎直向下的集中力F。*）解析：1.求約束力：對(duì)整體列平衡方程：∑MA=0:FB*L-F*a=0→FB=F*a/L(↑)∑MB=0:F*b-FA*L=0→FA=F*b/L(↑)（或∑Fy=0:FA+FB=F，可校核）2.分段建立剪力方程和彎矩方程：*AC段(0≤x≤a)：用假想截面在x處將梁截開，取左段為研究對(duì)象。剪力Q(x)=FA=Fb/L(正值，按剪力正負(fù)號(hào)規(guī)定，使微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正)彎矩M(x)=FA*x=(Fb/L)x(下側(cè)受拉為正)*CB段(a≤x≤L)：同樣取左段研究（或右段）。剪力Q(x)=FA-F=Fb/L-F=-F(L-b)/L=-Fa/L(負(fù)值)彎矩M(x)=FA*x-F(x-a)=(Fb/L)x-F(x-a)=Fa(L-x)/L3.繪制剪力圖和彎矩圖：*剪力圖：AC段：Q為常數(shù)Fb/L，是一條平行于x軸的水平線。CB段：Q為常數(shù)-Fa/L，也是一條平行于x軸的水平線，但在x軸下方。在集中力F作用點(diǎn)C處，剪力圖發(fā)生突變，突變值等于F的大小。*彎矩圖：AC段：M(x)是x的一次函數(shù)，圖形為一條斜直線。當(dāng)x=0時(shí)，M=0；當(dāng)x=a時(shí)，M=Fab/L。CB段：M(x)也是x的一次函數(shù)，圖形為一條斜直線。當(dāng)x=a時(shí)，M=Fab/L；當(dāng)x=L時(shí)，M=0。整個(gè)彎矩圖為一個(gè)三角形（或梯形，若有多個(gè)荷載），在集中力作用點(diǎn)C處達(dá)到最大值。4.最大剪力和最大彎矩：*最大剪力|Qmax|=max(Fb/L,Fa/L)，若a>b，則在CB段，Qmax=Fa/L(絕對(duì)值)。*最大彎矩Mmax=Fab/L，發(fā)生在集中力F作用點(diǎn)C處。解題要點(diǎn)：熟練掌握截面法，正確應(yīng)用內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)則。利用微分關(guān)系可以快速判斷內(nèi)力圖的形狀：無荷載區(qū)段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；集中力作用處，剪力圖突變，彎矩圖轉(zhuǎn)折；集中力偶作用處，剪力圖不變，彎矩圖突變。2.2應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論重點(diǎn)難點(diǎn)解析：*一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的概念：構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是指該點(diǎn)在所有不同方位截面上應(yīng)力的集合。通過單元體（微正六面體）可以全面描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。一般情況下，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量（三個(gè)正應(yīng)力，三個(gè)切應(yīng)力）確定。*平面應(yīng)力狀態(tài)分析：對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)（僅在x、y平面內(nèi)有應(yīng)力分量，σz=τzx=τzy=0），可通過解析法（應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式）或圖解法（應(yīng)力圓，莫爾圓）求解任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。主應(yīng)力和主平面是平面應(yīng)力狀態(tài)分析的核心，主平面上切應(yīng)力為零，主應(yīng)力是該點(diǎn)所有方位截面上正應(yīng)力的極值。*廣義胡克定律：描述在線彈性范圍內(nèi)，一點(diǎn)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。需注意公式的適用條件（各向同性、線彈性、小變形）。*強(qiáng)度理論：材料的破壞形式主要有脆性斷裂和塑性屈服兩類。強(qiáng)度理論是建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞條件的假說。常用的四個(gè)強(qiáng)度理論（第一至第四強(qiáng)度理論）分別適用于不同類型的材料和破壞形式。應(yīng)能根據(jù)構(gòu)件的受力情況求出危險(xiǎn)點(diǎn)的主應(yīng)力，然后選擇合適的強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。典型例題與解析：例題4：已知某構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=30MPa）。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力，并按第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。已知材料的許用應(yīng)力[σ]=160MPa。（*此處應(yīng)有圖示：一個(gè)平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，x面上作用有σx=80MPa（拉）和τxy=30MPa（上表面向左，下表面向右），y面上作用有σy=-40MPa（壓）和τyx=30MPa（右表面向下，左表面向上）。*）解析：1.求主應(yīng)力：對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力計(jì)算公式為：σ?,?=[(σx+σy)/2]±√[((σx-σy)/2)2+τxy2]代入數(shù)據(jù)：σx=80MPa,σy=-40MPa,τxy=30MPa(σx+σy)/2=(80-40)/2=20MPa(σx-σy)/2=(80-(-40))/2=60MPa√[((σx-σy)/2)2+τxy2]=√(602+302)=√(3600+900)=√4500≈67.08MPa因此：σ?=20+67.08≈87.08MPa(拉應(yīng)力)σ?=20-67.08≈-47.08MPa(壓應(yīng)力)另一個(gè)主應(yīng)力σ?=0(平面應(yīng)力狀態(tài)下，垂直于紙面方向的主應(yīng)力為零)。按主應(yīng)力大小排序：σ?≈87.08MPa,σ?=0,σ?≈-47.08MPa。2.求最大切應(yīng)力：對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)，最大切應(yīng)力τmax=(σ?-σ?)/2=(87.08-(-47.08))/2≈(134.16)/2≈67.08MPa。（也可由應(yīng)力圓的半徑直接得到，即√[((σx-σy)/2)2+τxy2]）3.按第三強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度：第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）的強(qiáng)度條件為：σr3=σ?-σ?≤[σ]計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力σr3=87.08MPa-(-47.08MPa)=134.16MPa已知[σ]=160MPa，因?yàn)?34.16MPa<160MPa，所以該點(diǎn)強(qiáng)度滿足要求。解題要點(diǎn)：正確記憶和應(yīng)用平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的計(jì)算公式。理解主應(yīng)力的排序原則。根據(jù)構(gòu)件材料的類型和可能的破壞形式選擇合適的強(qiáng)度理論，脆性材料常采用第一、第二強(qiáng)度理論，塑性材料常采用第三、第四強(qiáng)度理論。結(jié)語：勤思多練，融會(huì)貫通工程力學(xué)的學(xué)習(xí)，既要深刻理解基本概念、基本原理和基本方法，也要通過大量的習(xí)題練習(xí)來鞏固知識(shí)