2026年線性代數(shù)二次型正規(guī)化測試試題及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026年線性代數(shù)二次型正規(guī)化測試試題及答案考核對象：高等院校理工科專業(yè)學(xué)生（中等級別）題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)是正定二次型。2.任何實(shí)二次型都可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。3.矩陣\(A\)的秩等于其二次型對應(yīng)的矩陣的秩。4.若二次型\(f(x)\)正定，則其對應(yīng)的矩陣\(A\)的特征值均為正數(shù)。5.二次型的慣性指數(shù)由其對應(yīng)的矩陣的行列式唯一確定。6.正定矩陣的行列式一定大于零。7.任意二次型都可以通過配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形。8.若二次型\(f(x)\)負(fù)定，則其對應(yīng)的矩陣\(A\)的所有偶數(shù)階主子式均為負(fù)。9.二次型的正負(fù)慣性指數(shù)之和等于其秩。10.正交變換不改變二次型的正負(fù)慣性指數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個矩陣是正定矩陣？A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)2.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣為？A.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)3.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的秩為？A.1B.2C.3D.44.若二次型\(f(x)\)通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形\(f(y)=2y_1^2+3y_2^2-y_3^2\)，則其慣性指數(shù)為？A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)5.下列哪個矩陣不是正定矩陣？A.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}\)6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣的特征值為？A.0,1,3B.1,1,1C.2,2,2D.1,2,37.若二次型\(f(x)\)正定，則其對應(yīng)的矩陣\(A\)的順序主子式？A.均大于零B.均小于零C.交替正負(fù)D.部分大于零8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的慣性指數(shù)為？A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)9.下列哪個矩陣是負(fù)定矩陣？A.\(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣是否可逆？A.可逆B.不可逆C.部分可逆D.無法判斷---三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些條件可以判斷二次型正定？A.所有特征值均為正B.順序主子式均大于零C.對稱矩陣可逆D.慣性指數(shù)為(3,0,0)2.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的矩陣的秩可能為？A.1B.2C.3D.43.下列哪些矩陣是正定矩陣？A.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}\)4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣的特征值可能為？A.0B.1C.3D.-15.下列哪些條件可以判斷二次型負(fù)定？A.所有特征值均為負(fù)B.順序主子式交替正負(fù)C.對稱矩陣可逆D.慣性指數(shù)為(0,2,0)6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的慣性指數(shù)可能為？A.(2,0,1)B.(1,1,1)C.(1,0,2)D.(0,2,1)7.下列哪些矩陣是負(fù)定矩陣？A.\(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣是否可逆？A.可逆B.不可逆C.部分可逆D.無法判斷9.下列哪些條件可以判斷二次型半正定？A.所有特征值均為非負(fù)B.順序主子式均大于等于零C.對稱矩陣可逆D.慣性指數(shù)為(3,0,0)10.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)的矩陣的秩可能為？A.1B.2C.3D.4---四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)，求其矩陣，并判斷其是否正定。2.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，求其矩陣的特征值，并判斷其是否正定。3.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3\)，求其標(biāo)準(zhǔn)形，并給出正負(fù)慣性指數(shù)。---五、論述題（每題11分，共22分）1.論述二次型的正定性及其判定條件，并舉例說明。2.論述二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及其求解方法，并舉例說明。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（正定需所有特征值正，此處有負(fù)特征值）2.√（實(shí)二次型可通過正交變換對角化）3.√（秩等于對應(yīng)矩陣的秩）4.√（正定矩陣特征值全正）5.×（慣性指數(shù)由正負(fù)慣性指數(shù)決定）6.√（正定矩陣行列式大于零）7.×（配方法不適用于所有二次型）8.√（負(fù)定矩陣偶數(shù)階主子式負(fù)）9.×（正負(fù)慣性指數(shù)之和等于秩減去正慣性指數(shù)）10.√（正交變換不改變慣性指數(shù)）二、單選題1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.A8.A9.C10.A三、多選題1.A,B2.B,C3.A,B,D4.B,C5.A,B,D6.A,B,D7.A,C8.A9.A,B10.B,C四、案例分析1.矩陣為\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&0\\3&0&3\end{pmatrix}\)，順序主子式為1,2,3，均大于零，故正定。2.矩陣為\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)，秩為1，特征值為3,0,0，故不正定。