第第頁(yè)2026年高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬卷（三）一、填空題1．在數(shù)字和中，更大的數(shù)字是．2．設(shè)空間區(qū)域中存在四個(gè)點(diǎn)兩兩距離都是，則的最大值為．3．已知，若，滿(mǎn)足的最小k為.4．已知凸四邊形滿(mǎn)足，則符合題意且不相似的凸四邊形的個(gè)數(shù)為.5．將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)字進(jìn)行重新排列，得到新排列，若對(duì)于，，則新排列的個(gè)數(shù)為．6．正三棱錐，底邊長(zhǎng)4，、、中點(diǎn)分別為、、，中點(diǎn)為，外接球球心為，，則為．7．的所有極值點(diǎn)依次為的，則．8．四面體中，，，，求與所成角的余弦值的取值范圍．二、解答題9．已知，求的值．

10．方程有多少對(duì)整數(shù)解．

設(shè)是次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其中．證明：若的個(gè)根都是實(shí)數(shù)，則的個(gè)根也都是實(shí)數(shù)．一、填空題1．在數(shù)字和中，更大的數(shù)字是．【答案】【分析】同時(shí)取e為底的對(duì)數(shù)，則轉(zhuǎn)換為比較和的大小，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】同時(shí)取e為底的對(duì)數(shù)，得，，則轉(zhuǎn)換為比較和的大小，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，由，所以，則，即，所以在數(shù)字和中，更大的數(shù)字是.故答案為：.2．設(shè)空間區(qū)域中存在四個(gè)點(diǎn)兩兩距離都是，則的最大值為．【答案】/【分析】根據(jù)區(qū)域要求，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求能放進(jìn)單位半球內(nèi)的正四面體的棱長(zhǎng)最大值再進(jìn)行求解.【詳解】

由，，即表示區(qū)域?yàn)閱挝磺蛟谳S的上半部分，故問(wèn)題等價(jià)于求能放進(jìn)單位半球內(nèi)的正四面體的棱長(zhǎng)最大值，不妨設(shè)正四面體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)最大的頂點(diǎn)，我們首先考慮底面在平面上的情形，此時(shí)易得正四面體的高為1，令邊長(zhǎng)為，則有，解得，當(dāng)?shù)酌娌辉谄矫嫔蠒r(shí)，此時(shí)顯然有正四面體的高，進(jìn)而棱長(zhǎng)小于，故的最大值為.故答案為：.3．已知，若，滿(mǎn)足的最小k為.【答案】6073【分析】根據(jù)遞推公式，逐步計(jì)算各項(xiàng)分析即可.【詳解】由題意，為奇數(shù)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，…故，….則，即，，，.故滿(mǎn)足的最小k為6073.故答案為：60734．已知凸四邊形滿(mǎn)足，則符合題意且不相似的凸四邊形的個(gè)數(shù)為.【答案】2【分析】先說(shuō)明凸四邊形是平行四邊形，然后設(shè)對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)為,固定對(duì)角線(xiàn)，則點(diǎn)在固定的射線(xiàn)上，只需求出該射線(xiàn)上滿(mǎn)足的點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.由此借助圓冪定理以及正弦定理進(jìn)行說(shuō)明，可得到結(jié)論.【詳解】對(duì)凸四邊形，由，有;由，有,故四邊形為平行四邊形.如圖，設(shè)對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)為,下面固定對(duì)角線(xiàn)，則點(diǎn)在固定的射線(xiàn)上，只需求出該射線(xiàn)上滿(mǎn)足的點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.記過(guò)且與射線(xiàn)相切的圓為（這樣的圓存在且唯一），切點(diǎn)為，由圓冪定理知,從而.首先說(shuō)明.該結(jié)論等價(jià)于，即.設(shè)，知.在中，由正弦定理，，即，注意到，所以，且當(dāng)時(shí)等號(hào)不成立，故，結(jié)論得證.則射線(xiàn)上在的左右兩側(cè)各有一個(gè)滿(mǎn)足的點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件的形狀不同的凸四邊形有兩個(gè)，故答案為：2.5．將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)字進(jìn)行重新排列，得到新排列，若對(duì)于，，則新排列的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】記的有效新排列的個(gè)數(shù)為，考慮數(shù)字在排列中的位置，根據(jù)遞推法確定，進(jìn)而可得新排列的個(gè)數(shù).【詳解】由于對(duì)于，，則每個(gè)數(shù)字可以是或記的排列的個(gè)數(shù)為，考慮數(shù)字在排列中的位置：（1）如果，則剩下的排列個(gè)數(shù)為；（2）如果，則；因此剩下的排列個(gè)數(shù)為，故，由于，故.故這10個(gè)數(shù)的新排列的個(gè)數(shù)為.故答案為：.6．正三棱錐，底邊長(zhǎng)4，、、中點(diǎn)分別為、、，中點(diǎn)為，外接球球心為，，則為．【答案】/【分析】利用球的冪可求側(cè)棱長(zhǎng)，從而可求體積.【詳解】如圖，如果在球外，則過(guò)作球的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，作球的割線(xiàn)，由圓中切割線(xiàn)定理可得為定值，且定值為.

而當(dāng)在球的內(nèi)部時(shí),為過(guò)的動(dòng)弦，則由圓中相交弦定理可得.

在上述兩種情況種，我們把定值定義為關(guān)于球的冪，記為.設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，

由題設(shè)在球的內(nèi)部，而在球的外部，故，，又為的中點(diǎn)，設(shè)射線(xiàn)與球的球面的交點(diǎn)為，射線(xiàn)與球的球面的交點(diǎn)為，則，而，故，故即即，故正三棱錐的高為，故體積為，故答案為：.7．的所有極值點(diǎn)依次為的，則．【答案】【分析】先證明的所有極值點(diǎn)恰為其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后研究在上的零點(diǎn)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】由于，而當(dāng)時(shí)，所以的極值點(diǎn)都不小于.同時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，有，即.假設(shè)，則，得.但，矛盾，所以，故.這表明，的全體極值點(diǎn)就是的全體零點(diǎn).由于題目所求的是，而在有限區(qū)間上只有有限個(gè)零點(diǎn)，故我們可以只考慮在上的零點(diǎn).此時(shí)，若，則由，知，從而由，知.而對(duì)有，，其符號(hào)總是恒定的，所以在上單調(diào).結(jié)合，，知.這表明，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)均落入某個(gè)，且在每個(gè)上恰有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)上的零點(diǎn)為，則.而，，故.而，故.同理有.所以.這就得到，所以.故答案為：.8．四面體中，，，，求與所成角的余弦值的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系求的范圍，再通過(guò)平行關(guān)系構(gòu)造異面直線(xiàn)所成的角，根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】如圖，取，分別為，的中點(diǎn)．，，，所以，在中，，當(dāng)，重合時(shí)取等．過(guò)作于，設(shè)，則,即，即，得．所以．當(dāng)，，，共面時(shí)取等．取中點(diǎn)，則，，所以所求的角即為或其補(bǔ)角，于是由知，于是，所以與所成角的余弦值的取值范圍為故答案為：二、解答題9．已知，求的值．【答案】【詳解】解：由題意可知此時(shí)10．方程有多少對(duì)整數(shù)解．【答案】6【分析】可以看作是關(guān)于的二次方程，由題意必須是完全平方數(shù)，不妨設(shè)，其中，注意到，由此可得可能為：，對(duì)分類(lèi)討論即可得解.【詳解】方程即可以看作是關(guān)于的二次方程，此時(shí)，為了使為整數(shù)，則必須是完全平方數(shù)，不妨設(shè)，其中，所以，所以可能為：，當(dāng)時(shí)，是整數(shù)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，不是完全平方數(shù)，不滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，是整數(shù)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，方程即，解得，所以是方程的兩個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程即，解得或，所以是方程的兩個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程即，解得或，所以是方程的兩個(gè)整數(shù)解，綜上所述，方程有：，共六對(duì)整數(shù)解.11．設(shè)是次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其中．證明：若的個(gè)根都是實(shí)數(shù)，則的個(gè)根也都是實(shí)數(shù)．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】借助兩個(gè)引理：引理1：若有兩個(gè)根與，其中為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式且，則存在使得是其導(dǎo)函數(shù)的根；引理2：設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的重根，，則也是其導(dǎo)函數(shù)的重根；即可證明.【詳解】我們首先證明兩個(gè)引理．引理1：若有兩個(gè)根與，其中為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式且，則存在使得是其導(dǎo)函數(shù)的根；證明：若在區(qū)間有正有負(fù)，則由零點(diǎn)存在定理知結(jié)論成立；若不然，在區(qū)間恒正或恒負(fù)，則在區(qū)間上單調(diào)，這與矛盾；引理2：設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的重根，，則也是其導(dǎo)函數(shù)的重根；證明：不妨設(shè)，其中為不以為根的多項(xiàng)式，則，由于，所以是的重根；證明：由題不妨令為互不相等的單根，為互不相等的重根（重?cái)?shù)分別為），則，其中，令，則，則，從而由引理1知在任意的兩個(gè)相鄰根之間存在一個(gè)實(shí)根，共有個(gè)，記為；另一方面，由引理2