第第頁2026年高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬卷（二）一、填空題1．過點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則四邊形的面積為.2．已知在上三個(gè)不等實(shí)根，則的可能取值為.3．已知函數(shù)，對(duì)于，恒成立，求的最大值是.4．若函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)，則a的所有可能取值是．5．已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的組數(shù)是．6．,,,為非負(fù)整數(shù)，對(duì)任意恒成立，則所有的非負(fù)整數(shù)對(duì)為．7．設(shè)展開式為，則．8．，、、是復(fù)數(shù)，且，則的（實(shí)部）最小值為．

二、解答題9．在中，求的最大值的取等條件.10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，滿足，若，求的值，使得取最小值．

11．將10個(gè)不同的球放入編號(hào)1，2，3的3個(gè)盒子，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少于盒的編號(hào)，求放法總數(shù).一、填空題1．過點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則四邊形的面積為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)處切線的斜率，即可得到切線方程，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到四邊形的面積.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則，所以切線方程為，即，令，解得，所以，又拋物線的焦點(diǎn)，所以.故答案為：2．已知在上三個(gè)不等實(shí)根，則的可能取值為.【答案】（區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)，答案不唯一）【分析】通過賦值得到，然后根據(jù)三個(gè)根的范圍求的范圍.【詳解】設(shè)則，設(shè)，，，則，所以，所以，所以.故答案為：（區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)，答案不唯一）.3．已知函數(shù)，對(duì)于，恒成立，求的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)題目得到，從而，故，換元后得到結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】恒成立，，，，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：4．若函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)，則a的所有可能取值是．【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，將問題轉(zhuǎn)化為三次方程求解問題，結(jié)合韋達(dá)定理，可得答案.【詳解】由題意等價(jià)于三次方程存在一個(gè)二重根與一個(gè)根，設(shè)其二重根為m，另一實(shí)根為n，則由韋達(dá)定理可知，解得．故答案為：.5．已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的組數(shù)是．【答案】5【分析】變形得到，分，，，幾種情況，討論得到答案.【詳解】整理得．當(dāng)時(shí)，，只可能是，，；當(dāng)時(shí)，，解得，其中，2，3，4，共4組；當(dāng)時(shí)，，解得，無正整數(shù)解．顯然當(dāng)時(shí)亦無正整數(shù)解，則共有5組正整數(shù)解．故答案為：56．,,,為非負(fù)整數(shù)，對(duì)任意恒成立，則所有的非負(fù)整數(shù)對(duì)為．【答案】【分析】方法一：先取特值，再計(jì)算得，，再取特值即可；方法二：先證明，去分母有，再對(duì)大小關(guān)系分類討論即可.【詳解】方法一：先取，顯然，若，左右奇偶性矛盾，故，此時(shí)，則原式：，不妨令，顯然有，若此時(shí)，若，左右兩邊奇偶性矛盾，故.方法二：當(dāng)?shù)仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以時(shí)，只有當(dāng)時(shí)滿足等式兩邊常數(shù)項(xiàng)都為1，去分母有，當(dāng)時(shí)有，故，取可得，若，則，若，則，矛盾，故，即，故；當(dāng)時(shí)有，，故左側(cè)的系數(shù)為，右側(cè)的系數(shù)為，矛盾，若，左側(cè)等于2，右側(cè)等于1，矛盾，故，當(dāng)時(shí)，有，故，所以，矛盾，綜上，．故答案為：.7．設(shè)展開式為，則．【答案】【分析】利用恒等式計(jì)算即可.【詳解】首先，由二項(xiàng)式定理可知：，因此．我們將使用如下結(jié)論：，證明如下：記，注意到，因此，又因?yàn)?，?lián)立兩式可得，所以．同時(shí)我們也證明了．則，故答案為：.8．，、、是復(fù)數(shù)，且，則的（實(shí)部）最小值為．【答案】【分析】設(shè)，利用已知條件可得，再由柯西不等式得，結(jié)合，解不等式可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，又，所以，可得，所以，兩式相加得，即，，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以，即，，可得，可得，或，由得，解得，由得，解得，所以；由得，解得，由得，顯然，故，解得，所以，綜上所述，，則的（實(shí)部）最小值為.故答案為：.二、解答題9．在中，求的最大值的取等條件.【答案】，【分析】先分析得最大，再利用和差化積公式得到，再利用換元法構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究得最大值，從而得解.【詳解】顯然要使取最大值，則最大，所以，都為銳角，，，由于，所以，則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；令，，構(gòu)造函數(shù)，，所以，令，解得：或(舍去)，因?yàn)?，所以，且，?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；時(shí)，，在單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，即，，所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值.10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，滿足，若，求的值，使得取最小值．【答案】4【分析】由遞推關(guān)系求，求通項(xiàng)，進(jìn)而計(jì)算的前面幾個(gè)值，猜測(cè)分析證明結(jié)論.【詳解】給定的遞推關(guān)系是：，可以改寫為：，兩邊同時(shí)除以：，令，則遞推關(guān)系變?yōu)椋?，，，因此?于是：，根據(jù)：，驗(yàn)證：，但題目給定，所以：，所以.計(jì)算幾個(gè)的值：，，，，，,觀察數(shù)值，在時(shí)取得最小值.對(duì)于，的值增大（從負(fù)到正），因此時(shí)取得最小值.11．將10個(gè)不同的球放入編號(hào)1，2，3的3個(gè)盒子，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少于盒的編號(hào)，求放法總數(shù).【答案】34800【分析】方法一：利用不定方程結(jié)合隔板法得到解的個(gè)數(shù)，然后利用排列數(shù)消序計(jì)算即可；方法二：利用容斥原理來求解計(jì)算；方法三：利用構(gòu)造多項(xiàng)式展開式來研究對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)來求解計(jì)算【詳解】法一（不定方程）：設(shè)盒子1放個(gè)球，盒子2放個(gè)球，盒子3放個(gè)球，由已知得，，，且，令，，，則原方程變?yōu)?，即，其非?fù)整數(shù)解為.但因球是不同的，故對(duì)每個(gè)解的放法種數(shù)又為，其中，（，，），枚舉如下15種：，，，，，，，，，，，，，，，計(jì)算15次并求和，可得放法總數(shù)為34800.法二（容斥）：總放法有，盒子1的球數(shù)0個(gè)時(shí)有，盒子2的球數(shù)是0、1個(gè)有，盒子3的球數(shù)是0、1、2個(gè)時(shí)有，盒子1球數(shù)是0且盒子2球數(shù)時(shí)，有，盒子1球數(shù)是0且盒子3球數(shù)時(shí)，有，盒子2球數(shù)且盒子3球數(shù)時(shí)，有，三