統(tǒng)計知識試題及答案1.單選題1.1某市調查1200名成年人的每日步數(shù)，得到樣本均值xˉ=8420A.0.185??B.0.195??C.0.205??D.0.215答案：B解析：變異系數(shù)CV=。線性變換y=后，新均值yˉ=1.2設隨機變量X~N(A.??B.??C.??D.答案：A解析：E(1.3在簡單隨機抽樣下，樣本容量從100增加到400，則樣本均值的標準誤將A.減半??B.變?yōu)樵瓉?/4??C.變?yōu)樵瓉?/√4??D.不變答案：C解析：標準誤，n變?yōu)?倍，標準誤變?yōu)?倍。1.4對同一組數(shù)據(jù)分別建立線性回歸y=+x+εA.二次模型一定更大??B.線性模型一定更大??C.二者相等??D.無法確定答案：A解析：調整懲罰復雜度，但二次模型因新增顯著解釋變量，其增加的解釋力足以抵消懲罰，故調整必上升。1.5設,…,為來自U(0,θ)A.無偏估計??B.最大似然估計??C.矩估計??D.貝葉斯估計答案：A解析：E()=1.6在雙因素方差分析中，若交互作用顯著，則A.主效應檢驗失去意義??B.主效應檢驗仍可進行但需解釋交互??C.誤差項自由度增加??D.總平方和減少答案：B解析：交互顯著說明因素效應依賴彼此水平，主效應仍可在邊際均值層面解釋，但需結合交互圖。1.7對0–1變量序列,…,，樣本比例p^A.??B.??C.??D.答案：A解析：伯努利總體方差p(1?p)1.8若X~Poisson(A.λ??B.??C.λ+??D.?答案：C解析：Var(1.9在Bootstrap置信區(qū)間構造中，若原始樣本存在極端異常值，則A.百分位區(qū)間仍穩(wěn)健??B.BCa區(qū)間可自動校正偏態(tài)??C.樣本量足夠大則無關??D.必須刪除異常值答案：B解析：BCa（偏差校正加速）區(qū)間通過估計偏態(tài)與加速系數(shù)，對異常值導致的分布偏斜進行修正。1.10對同一總體，采用不放回簡單隨機抽樣抽取10%個體，與放回抽樣相比，估計量的方差A.更大??B.更小??C.相等??D.取決于總體大小答案：B解析：不放回抽樣利用有限總體校正因子1?2.多選題2.1下列哪些統(tǒng)計量對尺度變換具有不變性A.皮爾遜相關系數(shù)??B.斯皮爾曼等級相關系數(shù)??C.變異系數(shù)??D.偏度系數(shù)答案：A、B解析：尺度變換即線性變換a+bX2.2關于邏輯回歸，正確的有A.參數(shù)估計可用Newton-Raphson??B.因變量可為多分類??C.系數(shù)符號表示邊際效應方向??D.似然比檢驗比較嵌套模型答案：A、B、D解析：邏輯回歸系數(shù)符號僅說明自變量增加時logit增減方向，邊際效應還依賴當前概率值，故C錯。2.3下列哪些方法可用于檢驗正態(tài)性A.Jarque-Bera??B.Shapiro-Wilk??C.Kolmogorov-Smirnov??D.Q-Q圖答案：A、B、C、D解析：四者均為經典正態(tài)性診斷工具。2.4在時間序列中，若ACF拖尾、PACF截尾，則可能模型包括A.AR(1)??B.AR(2)??C.MA(1)??D.ARMA(1,1)答案：A、B解析：PACF截尾提示純AR模型，階數(shù)由截尾點確定。2.5關于主成分分析，正確的有A.主成分方向使投影方差最大??B.各主成分正交??C.第一主成分對應最小特征值??D.可用于降維去噪答案：A、B、D解析：第一主成分對應最大特征值，C錯。3.填空題3.1設X~t(答案：0.025解析：查t分布表，雙側0.05對應單尾0.025。3.2若樣本偏度==答案：=解析：正態(tài)假設下偏度標準誤。3.3對2×答案：0.5解析：Yates校正每項減0.5后取絕對值。3.4若隨機變量X的矩母函數(shù)(t)=答案：2解析：對應卡方分布(k)，方差3.5在控制圖應用中，若過程均值發(fā)生1.5倍標準差偏移，則CUSUM圖相對于常規(guī)Shewhart圖平均運行長度ARL的減少比例約為________%（取整）。答案：73解析：查CUSUM表，ARL由370降至100，減少73%。4.計算題4.1某生產線袋裝食品標稱500g，標準差未知。隨機抽取16袋，測得平均495g，樣本標準差8g。（1）求均值95%置信區(qū)間；（2）若要求估計誤差不超過2g，在同樣標準差下至少需抽取多少袋？答案：（1）n=16，(15（2）n≥4.2設(X,Y)服從二元正態(tài)，=1，=2，（1）求E(（2）求Var(答案：（1）回歸線E(（2）條件方差(14.3某電商平臺測試兩種頁面設計，隨機分配1000名用戶，A組600人，轉化84人；B組400人，轉化48人。（1）構建轉化率差異的90%置信區(qū)間；（2）在顯著性水平0.1下，能否認為兩種設計轉化率不同？答案：（1）=0.14，=0.12，差異p90%區(qū)間0.02±（2）區(qū)間含0，故不拒絕原假設，無顯著差異。4.4設,…,來自密度（1）求θ的最大似然估計θ^（2）計算E(答案：（1）似然函數(shù)L=?令導數(shù)為零得θ^（2）令=?ln，則~ExpE存在偏差，非無偏。4.5某城市連續(xù)30天記錄PM2.5濃度，得序列。經檢驗樣本ACF在滯后1處顯著，其余衰減，PACF在滯后1后截尾。（1）寫出可能的ARIMA模型；（2）若擬合AR(1)得?^答案：（1）PACF截尾提示AR(1)，ACF拖尾與之一致，模型(1（2）p值0.32>0.05，不拒絕殘差白假設，模型充分。5.綜合應用題5.1醫(yī)療研究追蹤200名高血壓患者，隨機分為兩組，各100人。A組采用新藥，B組用安慰劑。一年后，A組12人發(fā)生心血管事件，B組28人。（1）給出事件發(fā)生率差異及相對風險；（2）構建相對風險的95%置信區(qū)間；（3）若用Logistic回歸調整年齡（連續(xù)變量）與性別（二分類），寫出模型方程并解釋系數(shù)意義；（4）假設年齡每增加1歲，事件odds增加3%，求60歲男性相對于50歲女性的odds比（設男性性別編碼1）。答案：（1）差異?=0.12?（2）對數(shù)變換法：lnRS區(qū)間ln0.429±1.96（3）模型log為藥物組log-odds差異，調整年齡性別后因果解釋。（4）年齡差10歲，odds比=1.34，性別odds比，設=0.5，則總odds比1.345.2某零售公司收集50家門店2023年月度銷售額（萬元）與周邊人口密度（人/平方公里）、競爭對手數(shù)量、營業(yè)面積（㎡）數(shù)據(jù)，建立多元線性回歸。（1）寫出總體回歸模型；（2）若VIF顯示人口密度VIF=8.5，競爭對手VIF=1.2，營業(yè)面積VIF=9.1，請診斷并給出后續(xù)處理建議；（3）經Box-Cox變換估計最優(yōu)λ=（4）若殘差呈現(xiàn)輕微漏斗形，應采取何種措施？答案：（1）=++++，其中人口密度，競爭對手數(shù)，（2）VIF>5提示人口密度與營業(yè)面積存在多重共線，可剔除其一或做主成分/Ridge回歸。（3）λ=0.3表明對銷售額做（4）漏斗形暗示方差隨均值增大，可采用加權最小二乘或對數(shù)變換。5.3某質檢部門對電子元件壽命（小時）進行抽檢，歷史數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布。現(xiàn)抽取25件，平均壽命850h。（1）在顯著性水平0.05下，檢驗是否低于標準1000h；（2）若真實均值為900h，求檢驗功效；（3）若改用Gamma分布Gamma(（4）解釋為何指數(shù)分布常用于壽命建模。答案：（1）指數(shù)分布:μ=1000，檢驗統(tǒng)計量T=2（2）功效P(T<（3）令樣本均值Xˉ=kθ，樣本方差（4）指數(shù)分布無記憶性，故障率恒定，數(shù)學處理簡單，適合描述隨機失效機制。6.證明題6.1設,…,獨立同分布，E()=μ，證明：記∑(E相減得E(∑(6.2對簡單線性回歸=++，~N(0證明：可寫成∑其中=，則∑=0，故Cov7.案例分析簡答7.1某社交App進行A/B測試，比較兩種推薦算法對用戶次日留存率的影響。實驗持續(xù)7天，每日新增用戶10萬，隨機分流。結果算法A留存率42.1%，算法B41.9%，p值0.018。問題：（1）p值含義；（2）業(yè)務是否應全量上線A；（3）若實驗僅持續(xù)1天，結論是否可靠；（4）如何解釋效應量僅0.2個百分點卻顯著。答案：（1）p值0.018表示若兩算法真實留存相同，觀察到差異≥0.2百分點的概率為1.8%。（2）需權衡效應量與成本，0.2百分點提升若每日新增10萬，則多留存200人，長期價值需折算，若收益高于部署成本可上線。（3）1天數(shù)據(jù)易受周末效應、外部事件干擾，且新用戶留存曲線尚未穩(wěn)定，結論不可靠。（4）大樣本下標準誤極小，微小差異也能被檢測到，需結合業(yè)務意義與置信區(qū)間下限判斷是否值得。7.2政府統(tǒng)計部門發(fā)布季度GDP