重難點(diǎn)06：平面向量中的最值（范圍）問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級題感”與應(yīng)變能力近三年：近三年天津高考向量最值/范圍題穩(wěn)定在第14題（5分），以數(shù)量積最值為主，核心是基底/建系+函數(shù)/不等式求最值；2026年將延續(xù)該定位，強(qiáng)化跨模塊融合、情景化建模、思維深度，難度穩(wěn)中有升。三年共性特征，位置分值：第14題（5分），填空壓軸，區(qū)分度強(qiáng)。核心載體：以三角形、正方形為幾何背景，含動點(diǎn)（P在線段上）。核心考點(diǎn)：數(shù)量積最值（三年均考），偶涉模長、系數(shù)范圍。方法偏好：基底法（適合對稱/角度已知）、建系法（適合直角/正方形），結(jié)合二次函數(shù)、基本不等式求最值。趨勢：2024-2025更重坐標(biāo)化與函數(shù)化，計(jì)算量與定義域嚴(yán)謹(jǐn)性要求提高。預(yù)測2026年：結(jié)構(gòu)與分值：仍為第14題（5分），填空壓軸，梯度清晰。核心考點(diǎn)穩(wěn)定，必考點(diǎn)：數(shù)量積最值、模長范圍、線性系數(shù)范圍，與三角形/四邊形+動點(diǎn)結(jié)合。高頻交匯：與解三角形、解析幾何、函數(shù)融合；融入物流優(yōu)化、環(huán)境治理等現(xiàn)實(shí)情景建模。情景化：真實(shí)背景包裝，考查“文字→向量模型”轉(zhuǎn)化。設(shè)問創(chuàng)新：補(bǔ)充條件探究、多結(jié)論選擇、開放型最值（如“寫出一個滿足條件的P點(diǎn)位置并求最值”）。考向1：向量數(shù)量積的最值與范圍數(shù)量積的最值范圍處理方法：（1）運(yùn)用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后，再運(yùn)算；（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理；（3）利用極化恒等式來處理。1．（2025·天津南開·模擬預(yù)測）“天津之眼”摩天輪是天津的地標(biāo)建筑，閃耀著這座城市的宏偉與浪漫．下圖是抽象自“天津之眼”的幾何圖形，圓是以1為半徑的圓，，是關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，且，，為圓上兩個動點(diǎn)，滿足，且是以為始邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所成角的終邊與圓的交點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到滿足，且點(diǎn)在點(diǎn)上方時，則在上的投影向量的模為；（2）當(dāng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動時，的取值范圍是．【答案】/1.5【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)所給條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時得出坐標(biāo)，根據(jù)向量的投影向量的模求解，當(dāng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動時，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式及三角恒等變換化簡，由正弦型函數(shù)值域得解.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，則由，,是關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，，（1）當(dāng)，且點(diǎn)在點(diǎn)上方時，，,則，，所以在上的投影向量的模為；（2）設(shè)，則，由，所以，由，則所以由，可知，所以的取值范圍是.故答案為：；2．（2025·天津和平·三模）若正方形的邊長為1，中心為，過作直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足．（?。┊?dāng)時，；（ⅱ）的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)模長公式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解空1，利用向量的線性運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為，求解的最大值，的最小值即可求解.【詳解】由于，則，，（ⅰ）當(dāng)，則，故，（ⅱ）,由于為相反向量，故，所以，由，故當(dāng)時，取最小值，而的最大值為，因此當(dāng)取最大值，取最小值時，取最小值，故最小值為，故答案為：，3．（2025·天津西青·模擬預(yù)測）在中，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，且，，則.若，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及基本定理解決第一空，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再由坐標(biāo)法求數(shù)量積，最后由二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意，又，且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，所以設(shè)，，則，則，所以，，所以，所以當(dāng)時取得最小值，最小值為；

故答案為：；4．（2025·天津南開·二模）在梯形中，，，，記，，用和表示；若點(diǎn)為上一動點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】（1），再根據(jù)向量之間的關(guān)系進(jìn)行化簡；（2）根據(jù)向量加法的三角形法則，得到，，又，可得，設(shè)，則，，

最后根據(jù)范圍求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，；因?yàn)?，，又，即可得，設(shè)，則，，

當(dāng)時有最大值，故答案為：；.5．（2025·天津紅橋·二模）已知向量是夾角為60°的單位向量，若對任意的且則取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的運(yùn)算，求得模長，整理不等式，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)，可得答案.【詳解】已知向量的夾角為的單位向量，則，所以，所以對任意的，且，則，所以，即，設(shè)，即在上單調(diào)遞減，又時，，解得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，故選：A．考向2：向量模長的最值與范圍處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.1．（2025·天津和平·一模）已知平面四邊形滿足，且，為的中點(diǎn)，則，若、分別為線段、上的動點(diǎn)，且滿足，則的最小值為.【答案】【分析】推導(dǎo)出，，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的模長公式可求得的值；設(shè)點(diǎn)、，其中，，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，則，且，如下圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如上圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、，；設(shè)點(diǎn)、，其中，，，，所以，，可得，因?yàn)椋瑒t，則，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：；.2．在ΔABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設(shè)AB=，AC=

(1)試用，表示；(2)若，求∠ARB的余弦值(3)若H在BC上，且RH⊥BC設(shè)，若，求的范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由，三點(diǎn)共線結(jié)合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及題目條件，結(jié)合兩向量夾角余弦公式可得答案.（3）設(shè)，結(jié)合及（1）可得，即可得答案.【詳解】（1）因P,R,C共線，則存在使，則，整理得.由共線，則存在使，則，整理得.根據(jù)平面向量基本定理，有，則.（2）由（1），，，則，，.則；（3）由（1）知，則.由共線，設(shè).又.則.因，則，則.3．（2026·天津?yàn)I海新·月考）如圖，在中，分別是直線，上的點(diǎn)，，且，則.若是線段上的一個動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/0.5【分析】①先利用向量的數(shù)量積公式及向量線性運(yùn)算，由題可知：，由，可得，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可求得的值；②由①可得，則設(shè)，根據(jù)平面向量的混合運(yùn)算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值.【詳解】①，又，，則：，且原式，解得；②設(shè)，當(dāng)時，有最小值，為故答案為：①，②.4．（2026·天津?yàn)I海新·月考）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長為4，P是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①的最大值為②在方向上的投影向量為③④若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用余弦定理可得，對于①，取的中點(diǎn)為可推出，結(jié)合圖形可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時取得最大值，計(jì)算可知①正確；對于②，根據(jù)投影向量定義計(jì)算可判斷其錯誤；對于③，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可知錯誤；對于④，將點(diǎn)坐標(biāo)代入所求函數(shù)，整理并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得其最小值為，可知④錯誤.【詳解】易知正八邊形的每條邊所對的圓心角都是，所以，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)，在中，由余弦定理，,可得，且.對于①，取的中點(diǎn)為，則,且；則；由正八邊形的對稱性可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，取得最大值，不妨取，則，則,所以，因此，即①正確；對于②，易知，所以在方向上的投影向量為，因此②錯誤；對于③，易知，而，因此，即③錯誤；對于④，易知由可得：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，取得最小值，所以函數(shù)的最小值為，因此④錯誤.因此只有①正確.故選：B5．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）已知是邊長2為正三角形，是的中心，過點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，，，則；的最小值為．【答案】3【詳解】

連接AO，并延長交BC于點(diǎn)D，易知點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以，.又因?yàn)槭堑闹行模允堑闹匦?，即，所?因?yàn)?，，所以，，所?因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以，所以，.因?yàn)?，，所以，，又，所以?由，得，，令，當(dāng)和重合時，為上中線，此時,所以，則，得.根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，所以，.因?yàn)?，所以，根?jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以的最小值為.故答案為：3，.考向3：向量夾角的的最值與范圍求兩個非零向量夾角的步驟第一步：由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個向量的模；第三步：根據(jù)公式求解出這兩個向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個向量夾角的范圍是及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角。1．（2025·天津武清·月考）已知，，與的夾角為．(1)求；(2)求；(3)若向量與夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)且.【分析】（1）先由數(shù)量積公式求出，故；（2）利用數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出的值；（3）且與不同向共線，從而得到不等式，求出且..【詳解】（1），故；（2）；（3）由題意得且與不同向共線，，解得令，即，解得，則，綜上，且.2．已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若，求的值.(3)若與的夾角是鈍角，求的取值范圍.【答案】(1)或3：(2)1或(3)【分析】（1）利用即可；（2）利用得出值，再利用求模公式；（3）利用且不共線即可.【詳解】（1）若，則.整理得，解得或.故的值為或3.（2）若，則有，即，解得或當(dāng)時，，則，得；當(dāng)時，，則，得.綜上，的值為1或.（3）因與的夾角是鈍角，則，即，得，又當(dāng)與共線時，有，得，不合題意，則綜上，的取值范圍為.3．（2025·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測）已知，，與的夾角為，求的值；若向量與的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解；再利用向量夾角公式及共線向量定理列式求解.【詳解】依題意，，；由向量與的夾角是銳角，得，且與不共線，即，且，整理得，且，解得且所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；4．若向量，，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)向量夾角為鈍角的條件，借助數(shù)量積公式來確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，與的夾角為鈍角，所以且，即且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知，與的夾角為，若向量與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】利用向量數(shù)量積定義計(jì)算可得，再根據(jù)兩向量與的夾角為鈍角可得其數(shù)量積小于零，且它們不反向，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】依題意可得，若向量與的夾角是鈍角，可得且向量與不反向，所以，解得；當(dāng)兩向量方向相反時可得，且，解得；因此可得或；即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：考向4：向量系數(shù)的最值與范圍此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解。（1）平面向量共線定理：已知，若三點(diǎn)共線，反之亦然；（2）等和線：平面內(nèi)一組基底，及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立。我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。=1\*GB3①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；=2\*GB3②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線直線時，；=3\*GB3③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時，；=4\*GB3④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時，；=5\*GB3⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對稱，則定值互為相反數(shù)。1．（2025·天津·一模）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，，點(diǎn)F為邊上的點(diǎn)．若點(diǎn)F滿足，且，則；若點(diǎn)F為線段上的動點(diǎn)，則的取值范圍為．

【答案】【分析】由題意得，從而；對于第二問，設(shè)，首先分解，然后由數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)換成關(guān)于的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域即可求解.【詳解】由題意所以，設(shè)，，，，，設(shè)，對稱軸是，故單調(diào)遞增，從而當(dāng)點(diǎn)F為線段上的動點(diǎn)時，的取值范圍為.故答案為：；.2．（2025·天津南開·月考）在梯形中，，動點(diǎn)和分別在線段和上，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在梯形中，利用向量的線性運(yùn)算,得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最值，即可得到的取值范圍【詳解】

如圖，在梯形中，，且，，由，解得，設(shè)，則，令，解得，所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的最小值為，又，，即的最大值為，則的取值范圍為.故選：D.3．如圖，在等腰梯形中，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，為半徑的圓弧上變動，E為圓弧與的交點(diǎn)．若，其中，則的取值范圍是．

【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示條件，得出的表達(dá)式，運(yùn)用正弦函數(shù)求出結(jié)果.【詳解】依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，由題意可知，，，，，，，則，，．因?yàn)?，所以，則，解得，所以．又，所以．故答案為：．

4．（2025·天津南開·模擬預(yù)測）在直角梯形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若，其中，，則的取值范圍是.【答案】【分析】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再由得到，，從而得到，由此可求得的取值范圍.【詳解】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)，如圖所示：.則，，，，，，則，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故，即.故答案為:5．（2025·天津靜?！ぴ驴迹┮阎呅雾旤c(diǎn)的字母依次按逆時針順序確定的邊長為，點(diǎn)是內(nèi)含邊界的動點(diǎn)．設(shè)、，則的取值范圍是．【答案】【分析】如圖，連接,設(shè)與交于,證明求出即得解.【詳解】解：如圖，連接,所以,設(shè)與交于,所以，設(shè)與的夾角為，所以,所以,即.故答案為：（建議用時：60分鐘）1．（2025·天津河?xùn)|·二模）《哪吒2》的玉虛宮，形態(tài)由九宮八卦陣演變而來，設(shè)計(jì)靈感來源于漢代，內(nèi)飾充滿了中國文化符號．某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組將玉虛宮輪廓抽象為正八邊形，結(jié)合向量知識進(jìn)行主題探究活動．如圖，正八邊形ABCDEFGH，邊長為2，，點(diǎn)P在線段CH上，且，則的值為；若點(diǎn)Q為線段CD上的動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】0【分析】在正八邊形中，各邊夾角都是已知的，各邊長也是已知的，把目標(biāo)向量用邊長向量表示出來，再根據(jù)向量乘法運(yùn)算律求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,連接，因?yàn)槿c(diǎn)共線，且，解得，則，與夾角為,與夾角為,.設(shè),可知,,,,,,當(dāng)或時,有最小值,最小值為0.故答案為:；0.2．（2025·天津河西·二模）在平行四邊形中，，，，四邊形的面積為6，則的最小值為；當(dāng)在上的投影向量為時，.【答案】【分析】（1）首先利用基底法表示數(shù)量積，再結(jié)合四邊形面積公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根據(jù)第一問的過程，結(jié)合投影向量公式，可以求，，再代入數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】由條件可知，,，所以，所以，，，，，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為；在上的投影向量為，則，即,因?yàn)?，所以，得，，則.故答案為：；.3．（2025·天津·二模）在中，.（1）若，則向量在向量上的投影向量的模為；（2）邊和的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為和的交點(diǎn)，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，則的最小值為.【答案】4；【分析】根據(jù)三角形面積公式可得，即可根據(jù)投影向量的定義求解（1），根據(jù)重心的性質(zhì)，結(jié)合基底表達(dá)，即可根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律，結(jié)合基本不等式求解（2）即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，則，結(jié)合，解得，由投影向量公式得在向量上的投影向量為，故向量在向量上的投影向量的模為，（2）如圖，根據(jù)題意可知為的重心，故，

又為線段上靠近的三等分點(diǎn)，故,因此，，，由（1）知，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則的最小值為.故答案為：4，4．（2025·天津·二模）在中，已知，且，則；若為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】3【分析】由題意，求得，結(jié)合，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，求得；再由，得到為直角三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，且，因?yàn)?，所以，即，所以；因?yàn)?，所以為直角三角形，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)滿足，即為（靠近的三等分點(diǎn)），可得，由為線段上的動點(diǎn)，可得設(shè)，其中，則，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故答案為：；.5．（2025·天津河北·二模）如圖，已知矩形的邊，，點(diǎn)，分別在邊，上.若，，則用和表示；若，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)已知及向量加減、數(shù)乘的幾何意義用和表示，若且，，由已知得，，應(yīng)用向量數(shù)量積的定義求值.【詳解】由，，則，，由，若且，，則，所以，，所以，而，，所以的最小值為.故答案為：；6．（2025·天津·一模）在邊長為的菱形中，，且，，則；若為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】依題意可得，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及基本定理求出、，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用坐標(biāo)法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，由，所以，所以，因?yàn)闉榫€段上的動點(diǎn)，設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)時取得最小值，且最小值為.故答案為：；7．（2025·天津·模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，，向量在向量上的投影向量為，若，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，過點(diǎn)作，因向量在向量上的投影向量為，則為線段的中點(diǎn)，則，在中，以為原點(diǎn)，、所在直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，又，則且，則，則，設(shè)，則，當(dāng)時，有最小值.故答案為：.8．（2025·天津武清·一模）已知正方形的邊長為，，若，其中，為實(shí)數(shù)，則；設(shè)是線段上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則可得，再根據(jù)平面向量基本定理求，，由此可得；根據(jù)向量線性運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律可得，結(jié)合圖形確定的最小值，由此可求的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)樵O(shè)是線段上的動點(diǎn)，又為鈍角，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，，所以，所以，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取最小值，最小值為.故答案為：；.9．（2025·天津和平·二模）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點(diǎn)，則；若為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】由平行四邊形的面積為，可得，再由數(shù)量的定義可求出的值；由已知得，然后根據(jù)三點(diǎn)共線即可得，從而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為，所以，得，所以，如圖，連接，則，所以因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：；10．在菱形中，，，，，已知點(diǎn)M在線段上，且，則，若點(diǎn)N為線段上一個動點(diǎn)，則的最小值為．【答案】7【分析】設(shè)，進(jìn)一步將其表示成以，為基底的向量，結(jié)合已知條件，可得關(guān)于和的方程組，解之，再根據(jù)模長的計(jì)算方法，得的值；設(shè)，，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，推出，然后由配方法，得解．【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，可設(shè)，而，所以，解得，，所以，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)，可設(shè)，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為．故答案為：7，．11．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）在梯形中，，，，，，點(diǎn)滿足，則；若與相交于點(diǎn)，為線段延長線上的動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【分析】利用可得到大小，根據(jù)梯形上下底平行可得線段比例關(guān)系，取中點(diǎn)，利用向量數(shù)量積可得，通過求的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】由得，，解得，故.設(shè)交于點(diǎn)，由題意得，.在中，由余弦定理得，，故.由得，，，所以.取中點(diǎn)，連接，則，，所以，故.因?yàn)?，所以?dāng)最小時，有最小值，的最小值為點(diǎn)到直線的距離.由得，，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，故點(diǎn)到直線的距離為，由得點(diǎn)到直線的距離為，即，此時.故答案為：；.12．（2025·天津?yàn)I海新·三模）在平行四邊形中，，，點(diǎn)在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為（請用表示）；若，點(diǎn)，分別為線段，上的動點(diǎn)，滿足，則的最小值為