蘇州市重點中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．按照小李的閱讀速度，他看完《三國演義》需要40個小時.2021年12月20日，他開始閱讀《三國演義》，當天他讀了20分鐘，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天增加10分鐘，則他恰好讀完《三國演義》的日期為（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日4．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點使得異面直線與所成角為90°B.存在點使得異面直線與所成角為45°C.存在點使得二面角的平面角為45°D.當時，平面截正方體所得的截面面積為5．拋物線的準線方程為，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.17．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4個月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計該社區(qū)下個月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.588．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．橢圓的一個焦點坐標為，則（）A.2 B.3C.4 D.810．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A. B.C. D.11．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.1212．已知函數(shù)的導數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為___________.14．設(shè)、為正數(shù)，若，則的最小值是______，此時______.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，點M是雙曲線左支上的一點，若，，則雙曲線的離心率是____________16．已知數(shù)列前項和為，且，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項和（1）求列的通項公式；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項和18．（12分）如圖，點是曲線上的動點(點在軸左側(cè))，以點為頂點作等腰梯形，使點在此曲線上，點在軸上.設(shè)，等腰梯的面積為.（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當為何值時，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第6項，…，第項，按原來順序組成一個新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.2、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.3、B【解析】由等差數(shù)列前n項和列不等式求解即可.【詳解】由題知，每天的讀書時間為等差數(shù)列，首項為20，公差為10，記n天讀完.則40小時=2400分鐘，令，得或（舍去），故，即第21天剛好讀完，日期為2022年1月9日.故選：B4、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當為的中點時，可得，可判斷A；與或重合時，直線與所成的角最小可判斷B；當與重合時，二面角的平面角最小，通過計算可判斷C；過作，交于，交于點，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當為中點時，，此時與所成的角為90°，所以A錯誤；當與或重合時，直線與所成角最小，為60°，所以B錯誤；當與重合時，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯誤；對于D，過作，交于，交于點，因為，所以、分別是、的中點，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因為，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.5、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準線方程為，所以.故選：B6、B【解析】先求導，再代入求值.詳解】，所以.故選：B7、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數(shù)，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當時，.故選：B.8、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D9、D【解析】由條件可得，，，，由關(guān)系可求值.【詳解】∵橢圓方程為：，∴，∴，，∵橢圓的一個焦點坐標為，∴，又，∴，∴，故選：D.10、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點：雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì).11、D【解析】設(shè)，，，由向量關(guān)系化為坐標關(guān)系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【詳解】由得焦點，準線方程為，設(shè)，，由得則，化簡得所以故選：D12、B【解析】直接求導，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當時，，解得，所以，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用雙曲線的漸近線的傾斜角，求解，關(guān)系，然后求解離心率，即可求解.【詳解】雙曲線一條漸近線的傾斜角為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.14、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標式子的結(jié)果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當即，時等號成立.故答案為，【點睛】本題考查最值的求法，注意運用“1”的代換法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題15、5【解析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因為，所以，因為，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.16、，.【解析】由的遞推關(guān)系，討論、求及，注意驗證是否滿足通項，即可寫出的通項公式.【詳解】當時，，當且時，，而，即也滿足，∴，.故答案為：，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為18、（1）；（2）當時取到最大值，【解析】（1）設(shè)點，則根據(jù)題意得，，故；（2）令，研究函數(shù)的單調(diào)性，進而得的最值，進而得的最大值.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點，由是曲線上的動點得：，由于橢圓與軸交點為，故，所以即：（2）結(jié)合（1），對兩邊平方得：，令，則，所以當時，，當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到最大值，，所以當時，取到最大值，.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究實際問題，考查數(shù)學應(yīng)用能力與計算能力，是中檔題.19、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當時，，所以當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】因為在上有解，所以在上有解，當時，不等式成立，此時，當時在上有解，令，則由（1）知時，即，當時；當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是.點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍20、（1）答案見解析（2）【解析】(1)求函數(shù)的定義域及導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合已知條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，極值結(jié)合零點存在性定理列不等式求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，恒成立，上單調(diào)遞增，當時，在遞減，在遞增【小問2詳解】當時，恒成立，上單調(diào)遞增，所以至多存一個零點，不符題意，故舍去.當時，在遞減，在遞增；所以有極小值為構(gòu)造函數(shù)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，注意到①當時，，則函數(shù)至多只有一個零點，不符題意，舍去.②當時，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，的極小值為，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在上存在唯一一個零點；，令，構(gòu)造函數(shù)，恒成立.在單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上存在唯一一個零點；當時，函數(shù)怡有兩個零點，即在上各有一個零點.綜上，函數(shù)有兩個不同的零點，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.21、（1），；（2）.【解析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差及通項公式，由求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項公式，.【小問2詳解】由(1)知，，則，因此，，，所以.22、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件推導證得，再借助直角三角形中銳角的正