第二章物體幾何要素的投影2.1投影法的基本知識(shí)2.2點(diǎn)的投影2.3直線的投影2.4平面的投影2.5直線與平面、兩平面的相對(duì)位置投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法2.1投影法的基本知識(shí)一、投影法

投射線通過物體，向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法叫投影法。所得圖形叫投影，選定的平面叫投影面。二、投影法分類畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫工程圖樣及正軸測(cè)圖

投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差。不適于繪制機(jī)械圖樣。優(yōu)點(diǎn)：直觀性好、立體感強(qiáng)，適于繪制建筑物的透視圖投影特性:中心投影法斜角投影法投影特性：投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān);度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。直角（正）投影法平行投影法三種投影法的比較：三、正投影的基本特性

（1）平行性。

空間平行兩直線，在其同一投影面上的投影一定相互平行。（2）從屬性。

點(diǎn)在直線（或平面）上，則該點(diǎn)投影一定在直線（或平面）的同面投影上（3）定比性。

點(diǎn)分割線段之比投影后該比例不變；空間平等的兩線段之比投影后該比例不變

（4）不變性。

當(dāng)平面或直線與投影面平行時(shí)，其投影反映實(shí)形(或?qū)嶉L)，這種投影特性稱為不變性。如:P、AB（5）積聚性。

當(dāng)平面或直線與投影面垂直時(shí)，則在投影面上的投影積聚為一條線或一個(gè)點(diǎn)，這種投影特性稱為積聚性。如：面B、線CD

（6）類似性（形）。

當(dāng)平面或直線與投影面傾斜時(shí),其投影的面積變小或長度變短，但投影的形狀仍與原來形狀類似,這種投影特性稱為類似性。如：面R

注意：（1)投影不等于影子（2)僅有一個(gè)投影不能準(zhǔn)確、真實(shí)地表達(dá)物體的形狀。

Pb

●●AP解決方法：采用三面投影。

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。一、

點(diǎn)在三投影面體系中的投影a

●2.2點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影仍為點(diǎn)1.三投影面體系以三個(gè)相互垂直的平面作為投影面，便組成了三投影面的體系。正平面V：正立放置，即正立投影面水平面H：水平放置，即水平投影面?zhèn)绕矫鎃：側(cè)立放置，即側(cè)立投影面三個(gè)面的交點(diǎn)為投影原點(diǎn)O，V與H面的交線為OX投影軸，V與W面的交線為OZ投影軸，H與W面的交線為OY投影軸，如圖所示。HWVOXZY兩種投影體系的比較第三角畫法也是以正投影法為主，與第一角的區(qū)別在于觀察者、投影面和物體三者之間的相對(duì)位置關(guān)系不同。

第一角畫法是將物體置于第一角內(nèi)，物體在人與投影面之間，保持“人—物體—投影面”的相互位置關(guān)系。而第三角畫法是將物體置于第三分角內(nèi)，投影面在人與物體之間，保持“人—投影面—物體”的位置關(guān)系。假想投影面是透明的，是一種透視效果。WHVOXa

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a

●a●a

●A●ZY2.點(diǎn)的三面投影WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動(dòng)aaZaa

yayaXYHYWO

●●az●x投影面展開畫圖時(shí)，不必畫出投影面的邊框線和投影軸上的ax、ayH、ayW、az；

其中W面上的一段垂直O(jiān)YW，H面上的一段垂直O(jiān)YH，中間可用折線、45。斜線或以O(shè)為圓心的圓弧聯(lián)系起來?！馴aa

XYHYW

●a●xaazyaayOVHW將三投影面體系看直角坐標(biāo)系，空間點(diǎn)A的位置用三個(gè)坐標(biāo)（XA、YA、ZA）表示。3.點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系●●●●XYZOVHWA(XA,YA,ZA)aa

a

xaaz●●YZaza

(YA,ZA)XYaYWOa(XA,YA)axaYHa

(XA,ZA)●aYxyzAa

=oax=aax=a

az=YAAa=oaz=a

ax=a

ay=ZAAa

=oax=aay=

a

az=XA可知：a由XA、YA確定a

由XA、ZA確定a

由YA、ZA確定4.點(diǎn)的三面投影特性1.a

a⊥OX軸3.aayH

⊥OYH,

a

ayW⊥OYW

●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYayWOaaxayHa

●2.a

a

⊥OZ軸（1）點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸aax=a

az=YA

=A到V面的距離a

ax=a

ay=ZA＝A到H面的距離aay=a

az=XA＝A到W面的距離aaZaa

yayaXYH

YWO

●●az●x（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于點(diǎn)的坐標(biāo)，也等于該點(diǎn)到相鄰?fù)队懊娴木嚯x:根據(jù)點(diǎn)的投影特性，由點(diǎn)的任意兩個(gè)投影，即可確定點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)，并求出第3個(gè)投影；或由空間坐標(biāo)確定點(diǎn)的三面投影5.特殊位置點(diǎn)的投影（1）投影面上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)為零，其在該投影面上的投影與該點(diǎn)重合，另兩個(gè)投影在相應(yīng)的投影軸上（如點(diǎn)B、C）。（2）投影軸上的點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)為零，其在包含這條軸的兩個(gè)投影面上的投影都與該點(diǎn)重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)O（如點(diǎn)D）。（3）處于原點(diǎn)的點(diǎn)，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合，坐標(biāo)為（0,0,0）1、點(diǎn)的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸。2、點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于空間點(diǎn)到投影面的距離。小結(jié)：Zaa

XYH

YWO

●●a●xaazyaayX●●●●Z●●●●YOVHWAaa

a

xaazayc

例1已知點(diǎn)C的兩個(gè)投影c

和c

，求作其水平投影c?！馽

●ccz通過作45°轉(zhuǎn)寬線使c

cz=ccxXZYHYwcywcyHo●cx●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一解法二a

●例2 已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。XoYHYwZXYwZYHo練習(xí)：1.已知點(diǎn)A

的兩面投影（H面、W面）求點(diǎn)A

的第三面投影；2.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（25，20，30），求點(diǎn)B

的三面投影。兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x

坐標(biāo)大的在左；y

坐標(biāo)大的在前；z坐標(biāo)大的在上。二、兩點(diǎn)的相對(duì)位置點(diǎn)A在點(diǎn)B的左前上方。例：如圖，已知點(diǎn)A的三投影，另一點(diǎn)B在點(diǎn)A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求點(diǎn)B的三個(gè)投影。作圖步驟：

1)在a′左方12mm，上方8mm處確定b′；

2)作b′b⊥OX，且在a前10mm處確定b；

3)按投影關(guān)系求得b″

空間兩點(diǎn)位于對(duì)投影面的同一條投影線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，稱這兩點(diǎn)為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。A、C為V面的重影點(diǎn)（被擋的加括號(hào)）H面重影點(diǎn)，上者可見（上遮下）V面重影點(diǎn)，前者可見（前遮后）W面重影點(diǎn)，左者可見（左遮右）重影點(diǎn)練習(xí)：

習(xí)題集P13

2.

習(xí)題集P14

6.aa

a

b

b

b●●●●●●

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的同面投影。一、直線及直線上點(diǎn)的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性線段平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB

反映實(shí)形線段傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=Abcosα類似性●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●2.3直線的投影YWYHZXO由正投影的基本特性可知：（1）直線的投影一般仍為直線：（2）直線上點(diǎn)的投影，必在直線的同名投影上；C∈AB，則有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。即，如果點(diǎn)的各個(gè)投影均在直線的同面投影上，則點(diǎn)在直線上。在圖中，C點(diǎn)在直線AB上，而D、E兩點(diǎn)均不滿足上述條件，所以都不在AB直線上。

◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。并將線段的同面投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a定比定理XO（3）直線上點(diǎn)分割直線段之比等于其投影之比。點(diǎn)C不在直線AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●點(diǎn)C在直線AB上例1 判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。XOXOa

b

●k

因k

不在a

b

上，故點(diǎn)K不在AB上。方法二：應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●例2 判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。YHXZOYW例2－1（P30）投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線二、三投影面體系中各種位置直線的投影特性投影特性：①三個(gè)投影都縮短，且都傾斜于投影軸。

②都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面的真實(shí)傾角。1.一般位置直線b

a

aba

b

b

aa

b

ba

①在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長，該投影與投影軸的夾角分別反映直線對(duì)另兩投影面的真實(shí)傾角。②另兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且長度小于實(shí)長。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α；與V面的角:β;與W面的夾角:γ。實(shí)長實(shí)長實(shí)長βγααβba

aa

b

b

2.投影面平行線YHYWXZOYHYWZOXYHYWZOX一投影反映實(shí)長,另兩投影平行投影軸鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另兩個(gè)投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且長度反映空間線段的實(shí)長。①在所垂直的投影面上，投影積聚為一點(diǎn)。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)3.投影面垂直線YHYWXZOYHYWXZOYHYWXZO一投影具有積聚性,另兩投影垂直投影軸且為實(shí)長AB、BC為水平線；AC為側(cè)垂線；SB為側(cè)平線；SA、SC為一般位置直線

練習(xí)1：判斷下列立體中的AB、BC、AC、SA、SB、SC線段屬于那類線段。AB為正平線；AC為正垂線；AD為鉛垂線

練習(xí)2：判斷線段AB、AC和AD屬于那類線段空間兩直線的相對(duì)位置分為三種：（1）兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

三、兩直線的相對(duì)位置XO平行相交交叉同面直線異面直線abcdc

a

b

d

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①例1 判斷圖中兩條直線是否平行。XOb

d

c

a

cbadd

b

a

c

對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。②例2 判斷圖中兩條直線是否平行YHXZOYWHVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

判別方法：

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)（2）兩直線相交XOXO●●cabb

a

c

d

k

kd先作正面投影例 過點(diǎn)C作水平線CD與AB相交。XOd

b

a

abcdc

XO1

(2

)3(4)投影特性：同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。123

4

●●兩直線相交嗎？（3）兩直線交叉●●練習(xí)：習(xí)題集P17，2四、一邊平行于投影面的直角的投影直角投影定理：1.空間兩直線成直角（相交或交叉），若兩邊都與某投影面平行，則在該投影面的投影成直角；2.若兩邊都與某投影面傾斜，則在該投影面上的投影不是直角；3.若其中一邊平行于某一投影面，則在該投影面上的投影仍是直角。反之，若相交（包括交叉）兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，若其中一條為該投影面的平行線，則這兩直線是空間互相垂直的兩直線。見P36圖2－14ABVHbb

a

A0B0αZB-ZAβYB-YAZB-ZAa′b′abα實(shí)長直角三角形法：

利用一般位置直線的投影求作實(shí)長和傾角的方法

即：以直線在某一投影面上的投影長為一直角邊，以直線兩端點(diǎn)與這個(gè)投影面的距離差為另一直角邊，形成的直角三角形的斜邊是直線的實(shí)長，投影長與斜邊的夾角就是直線對(duì)這個(gè)投影面的傾角。

|zA-zB|ABABbb

aa

CXO

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab對(duì)Ｈ面傾角和實(shí)長ABbb

aa

CXO|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

|YA-YB|AB

|YA-YB|

對(duì)Ｖ面傾角與實(shí)長XZYOABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

對(duì)Ｗ面傾角與實(shí)長例：求線段CD的實(shí)長及β角cdc′d′Yd-Yc實(shí)長βdcc′d′實(shí)長例2－2

試過點(diǎn)A作一等腰直角三角形ABC。AB、BC為直角邊，BC屬于已知正平線MN。直角三角形法要點(diǎn)2、投影、坐標(biāo)差、實(shí)長和角度四個(gè)要素知道其中二個(gè)就可以求其它二個(gè)1、角度、投影、坐標(biāo)差和投影之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系α角——水平投影——z坐標(biāo)差——線段實(shí)長β角——正面投影——y坐標(biāo)差——線段實(shí)長γ角——側(cè)面投影——x坐標(biāo)差——線段實(shí)長3、解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個(gè)長度來作直角邊不能搞錯(cuò)一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形2.4平面的投影XOXOXOXOXO平行垂直傾斜實(shí)形性類似性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性二、三投影面體系中各種位置平面的投影特性投影特性平面平行投影面——投影反映實(shí)形平面垂直投影面——投影積聚成直線平面傾斜投影面——投影類似原平面平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫嫫矫嬖谌队懊骟w系中的投影特性a

b

c

a

c

b

abc三個(gè)投影都類似，且面積縮小，不反映平面對(duì)投影面的傾角。投影特性：1.一般位置平面YHXZOYW*無論平面處于什么位置，三個(gè)投影中至少有一個(gè)是線框。而這一線框表示物體上表面的投影。abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。γβ2.投影面垂直面YHXZOYW

在垂直的投影面上的投影積聚成與投影軸傾斜的直線；另兩個(gè)投影面上的投影為空間平面的類似形。正垂面:垂直V面鉛垂面:垂直H面?zhèn)却姑?垂直W面各種位置垂面的投影特點(diǎn)a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。3.投影面平行面YHXZOYW

平行投影面上的投影反映實(shí)形；另兩投影面上的投影積聚為直線，且平行于投影軸。各種位置平行面的投影特點(diǎn)正平面:平行V面水平面:平行H面?zhèn)绕矫?平行V面判斷直線在平面內(nèi)的方法定理一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。三、平面內(nèi)的點(diǎn)和直線兩點(diǎn)定一線一點(diǎn)一線定一線（1）平面上取任意直線：abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一例1已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。XOXOn

m

nm10c

a

b

cab例2在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。

XO先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1 已知點(diǎn)K在平面ABC上，求點(diǎn)K的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解（2）平面上取點(diǎn)XOXObckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc解法一解法二例2

已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。XOXO見P41例2－52.5直線與平面、兩平面的相對(duì)位置一、平行問題1.若直線平行某平面內(nèi)一直線，則直線與該平面平行。這是作直線平行于平面或