15.3可化為一元一次方程的分式方程第1課時

可化為一元一次方程的分式方程及其解法1.掌握解分式方程的基本思路和解法.(重點)2.理解分式方程可能無解的原因.(難點)知識點1分式方程的有關(guān)概念

輪船在順?biāo)泻叫?0千米所需的時間和在逆水中航行60千米所需的時間相同,已知水流的速度是3千米/時,求輪船在靜水中的速度.問題1分析：設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時，根據(jù)題意，得

為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園,某校團(tuán)總支號召同學(xué)們自愿捐款.已知第一次捐款總額為4800元,第二次捐款總額為5000元,第二次捐款人數(shù)比第一次多20人,而且兩次人均捐款額恰好相等.如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為x人,那么x應(yīng)滿足怎樣的方程？問題2

一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時,它沿江以最大航速順流航行90千米所用時間,與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等.設(shè)江水的流速為x千米/時,根據(jù)題意可列方程

.這些方程是我們以前學(xué)過的方程嗎？它們與一元一次方程有什么區(qū)別？問題3

由上面的問題,我們得到了三個方程,它們有什么共同特點？分母中都含有未知數(shù)分式方程的特征:

方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程.(1)是方程；(2)方程中含有分母；(3)分母中含有未知數(shù).分式方程的概念:

下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？整式方程分式方程解題技巧:判斷一個方程是否為分式方程,主要是看分母中是否含有未知數(shù).(注意:π不是未知數(shù))你能試著解這個分式方程嗎？(2)怎樣去分母？(3)在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個分母都約去？(4)這樣做的依據(jù)是什么？

解分式方程最關(guān)鍵的問題是什么？(1)如何把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？“去分母”知識點2分式方程的解法方程各分母最簡公分母是:(30+x)(30-x)解:方程兩邊同乘(30+x)(30-x),得

檢驗:將x=6代入原分式方程中,左邊==右邊,因此x=6是原分式方程的解.90(30-x)=60(30+x),解得x=6.x=6是原分式方程的解嗎？將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊都乘以同一個整式，所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.這也是解分式方程的一般方法.解分式方程的基本思路:下面我們再討論一個分式方程:解:方程兩邊同乘(x+5)(x-5),得x+5=10,解得x=5.x=5是原分式

方程的解嗎？知識點3分式方程的增根檢驗:將x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都為0,相應(yīng)的分式無意義.因此x=5雖是整式方程x+5=10的解,但不是原分式方程的解,實際上,這個分式方程無解.上面兩個分式方程中,為什么

去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？真相揭秘:分式兩邊同乘了不為0的式子,所得整式方程的解與分式方程的解相同.

我們再來觀察去分母的過程:90(30-x)=60(30+x)兩邊同乘(30+x)(30-x)當(dāng)x=6時,(30+x)(30-x)≠0真相揭秘:分式兩邊同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母為0,這個整式方程的解就不是原分式方程的解(或根)，這種根通常稱為增根.因此，在解分式方程時必須進(jìn)行檢驗.x+5=10兩邊同乘(x+5)(x-5)當(dāng)x=5時,(x+5)(x-5)=0解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為0,所以分式方程的解必須檢驗．怎樣檢驗？這個整式方程的解是不是原分式的解呢？分式方程解的檢驗——必不可少的步驟檢驗方法:將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則,這個解不是原分式方程的解.解分式方程時,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程所求得整式方程的根,使原分式方程中最簡公分母(或分母)為零,這種根通常稱為增根.1.關(guān)于x的方程有增根,則增根是

.練習(xí)

x=3令x-3=02.關(guān)于x的方程

有增根,則增根是

.x=0,1-1法二：令x=0,x-1=0,x(x+1)=0法一：令最簡公分母x(x-1)(x+1)=0x=0,1-1.

解方程:解:

方程兩邊乘(x－1)(x

+

2),得

x(x+2)－(x－1)(x+2)=3.

解得x=1.檢驗:當(dāng)x=1時,(x－1)(x+2)=0.因此x=1不是原分式方程的解.所以,原分式方程無解.1.在方程的兩邊都乘以最簡公分母,約去分母,化成

整式方程；2.解這個整式方程；3.把整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母

的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解,

否則需舍去；4.寫出原方程的根.簡記為:“一化二解三檢驗”.“去分母法”解分式方程的步驟:例1

解方程:解:兩邊都乘以最簡公分母(x+1)(x-1),得x+1=2,解得x=1.檢驗:把x=1代入原方程,最簡公分母為0,分式無意義.因此x=1不是原分式方程的解,從而原方程無解.

(x+1)(x-1)解:方程兩邊都乘最簡公分母x(x－7),得解這個整式方程,得

x=10.檢驗:把

x=10代入最簡公分母,得

因此x

=10是原分式方程的解．

x(x-7)100(x-7)=30x.x(x－7)≠0,分析：去分母,得2x＋a＝x－1,解得x＝－a－1.∵關(guān)于x的方程的解是正數(shù),∴x＞0且x≠1,

∴－a－1＞0且－a－1≠1,解得a＜－1且a≠－2,

∴a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.解題技巧：求出方程的解(用未知字母表示),然后根據(jù)解的正負(fù)性,列關(guān)于未知字母的不等式求解,特別注意分母不能為0.a＜－1且a≠－2例2關(guān)于x的方程的解是正數(shù),則a的取值范圍是________________．

若關(guān)于x的分式方程無解,求m的值．分析：先把分式方程化為整式方程,再分兩種情況討論求解：一元一次方程無解與分式方程有增根．例3解：方程兩邊都乘以(x＋2)(x－2),

得2(x＋2)＋mx＝3(x－2),即(m－1)x＝－10.①當(dāng)m－1＝0時,此方程無解,此時m＝1；②方程有增根,則x＝2或x＝－2.當(dāng)x＝2時,代入(m－1)x＝－10,得(m－1)×2＝－10,解得m＝－4；當(dāng)x＝－2時,代入(m－1)x＝－10,得(m－1)×(－2)＝－10,解得m＝6.∴m的值是1,－4或6.解題技巧：分式方程無解與分式方程有增根所表達(dá)的意義是不一樣的：分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為0的數(shù)；分式方程無解不但包括使最簡公分母為0的數(shù)，而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無解的數(shù)．D2.要把方程化為整式方程,方程兩邊可以同乘以()A.3y-6B.3yC.3(3y-6)D.3y(y-2)1.下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是(

)A.B.C.D.D3.若關(guān)于x的分式方程

無解，則m的值為()A.－1，5 B.1C.－1.5或2D.－0.5或－1.5D4.解方程:(1)解:(1)方程兩邊乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.檢驗:當(dāng)x=9時,x(x-3)≠0.所以,原分式方程的解為x=9.(2)(2)去分母，得解得檢驗:把代入所以原方程的解為5.若關(guān)于x的方程有增根，求m的值.解：方程兩邊同乘以x-2,得