有理數找規(guī)律專項分類練習（三）各位同學，大家好。在有理數的學習旅程中，找規(guī)律問題如同散落的珍珠，需要我們用敏銳的觀察力和嚴謹的邏輯思維將其串聯。經過前兩期的專項練習，相信大家對基本的數字排列、符號變化等規(guī)律已有一定掌握。本期專項練習（三）將在此基礎上，更側重于規(guī)律的綜合運用、遞推關系的探尋以及與圖形、算式結合的復雜規(guī)律，希望能幫助大家進一步提升分析問題和解決問題的能力。一、數與式的排列規(guī)律深化這類問題不僅要求我們關注數字本身的變化，更要洞察數字背后隱藏的運算邏輯或遞推關系。（一）遞增與遞減中的倍數與和差例題1：觀察下列數列，按規(guī)律填空：1，3，7，15，31，（），（）思路點撥：首先觀察相鄰兩項的差值：3-1=2，7-3=4，15-7=8，31-15=16...差值分別為2,4,8,16...這是一個以2為公比的等比數列。那么下一個差值應為32，再下一個為64。因此，括號內的數依次為31+32=63，63+64=127。或者，我們也可以從另一個角度看：1=2^1-1，3=2^2-1，7=2^3-1，15=2^4-1，31=2^5-1，故第n項為2^n-1。嘗試解答：（），（）例題2：觀察下列數列，按規(guī)律填空：5，8，13，20，29，（），（）思路點撥：同樣先看差值：8-5=3，13-8=5，20-13=7，29-20=9...差值依次為3,5,7,9...這是一個公差為2的等差數列。下一個差值應為11，再下一個為13。所以括號內的數為29+11=40，40+13=53。嘗試解答：（），（）（二）符號交替與絕對值規(guī)律例題3：觀察下列數列，按規(guī)律填空：-1/2，2/3，-3/4，4/5，-5/6，（），（）思路點撥：此數列的符號正負交替，奇數項為負，偶數項為正。再看絕對值部分：分子依次是1，2，3，4，5...分母依次是2，3，4，5，6...即第n項的絕對值為n/(n+1)。綜合符號，第n項為(-1)^n*(n/(n+1))。因此，第六項（偶數項）為6/7，第七項（奇數項）為-7/8。嘗試解答：（），（）（三）周期循環(huán)規(guī)律例題4：觀察下列數列，按規(guī)律填空：1，-2，3，-4，1，-2，3，-4，（），（），（）思路點撥：不難發(fā)現，“1，-2，3，-4”這四個數重復出現，構成一個周期。周期長度為4。因此，接下來的三個數應為周期內的第一個、第二個、第三個數，即1，-2，3。嘗試解答：（），（），（）二、數與形結合的規(guī)律數與形的結合往往能使抽象的規(guī)律變得直觀，這類問題需要我們從圖形的變化中提煉出數量關系。（一）圖形中的點、線、面數量規(guī)律例題5：如圖所示，是由若干個點組成的圖形，第1個圖形有1個點，第2個圖形有3個點，第3個圖形有6個點，第4個圖形有10個點，...，按此規(guī)律，第n個圖形有多少個點？（*此處應有圖形示意：第1個是單點，第2個是三角形頂點3點，第3個是三角形內加一點形成小三角形共6點，第4個類似共10點——即三角形數*）思路點撥：我們把每個圖形的點數寫出來：1，3，6，10...觀察這些數：3=1+2，6=3+3，10=6+4...即第n個圖形的點數是第(n-1)個圖形的點數加上n。也可以理解為第n個圖形的點數是1+2+3+...+n。這是一個典型的“三角形數”數列，其通項公式為n(n+1)/2。嘗試解答：第n個圖形有個點。（二）表格或數陣中的排列規(guī)律例題6：觀察下面的數表，尋找規(guī)律并在空格處填上適當的數。1...:---:---:---:---:--35...7911...13151719..................思路點撥：觀察數表，每行的數字都是連續(xù)的奇數。第一行1個數，第二行2個數，第三行3個數，第四行4個數...且每行的第一個數與上一行有什么關系呢？第一行第一個數1；第二行第一個數3=1+2；第三行第一個數7=3+4；第四行第一個數13=7+6；...即每行第一個數比上一行第一個數依次多2,4,6,...（連續(xù)偶數）?；蛘邠Q個角度，前n行共有1+2+3+...+n=n(n+1)/2個數。這些數是從1開始的連續(xù)奇數。第n行第m個數是整個數列中的第[(n-1)n/2+m]個奇數。奇數數列的第k項為2k-1。因此，第n行第m個數為2*[(n-1)n/2+m]-1=n(n-1)+2m-1。例如，第2行第2個數：n=2,m=2，2*1+4-1=5，正確。第3行第3個數：3*2+6-1=11，正確。嘗試解答：第2行第3個空格（若存在）應填，第5行第2個數應填。三、方法總結與提升解決有理數找規(guī)律問題，通常遵循以下步驟：1.觀察：仔細觀察已知數據（或圖形）的特征，包括數字的大小、符號、變化趨勢、重復出現的現象等。2.比較：對相鄰數據、間隔數據、分組數據進行比較，尋找它們之間的和、差、積、商、倍數、乘方等關系。3.歸納：嘗試用代數式、文字描述等方式概括出規(guī)律。對于數列，常假設第n項的表達式。4.驗證：將歸納出的規(guī)律代入已知項進行檢驗，確保其正確性；并用規(guī)律預測未知項。溫馨提示：*注意符號的單獨規(guī)律，有時符號規(guī)律與絕對值規(guī)律是分開的。*若數列忽增忽減或有重復現象，考慮周期規(guī)律。*對于與圖形結合的問題，要耐心數出前幾個圖形的數量，再從數字入手找規(guī)律。*多嘗試，多聯想，不要怕犯錯，規(guī)律往往在多次嘗試后顯現。四、自我檢測與鞏固練習請同學們運用上述方法，解決以下問題：1.填空：2，5，10，17，26，（），（）2.填空：1，-1/2，1/3，-1/4，1/5，（），（）3.觀察數列：0，3，8，15，24，...第n個數是。4.如圖，用棋子擺成正方形圖案，第1個圖案有4枚棋子，第2個圖案有8枚棋子，第3個圖案有12枚棋子，...，則第n個圖案有枚棋子。（*此處應有圖形示意：第1個是邊長為2的正方形邊框，第2個是邊長為3的正方形邊框，內無棋子，等等*）5.觀察下面三行數：第一行：-1，2，-4，8，-16，32，...第二行：0，3，-3，9，-15，33，...第三行：-2，4，-8，16，-32，64，...（1）第一行的第7個數是；（2）第二行的第n個數與第一行的第n個數