北師大版四年級數(shù)學(xué)上冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)同學(xué)們，四年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)承上啟下的重要階段，我們將接觸到更多新的數(shù)學(xué)概念和方法。這份知識(shí)點(diǎn)總結(jié)旨在幫助大家系統(tǒng)梳理本學(xué)期所學(xué)內(nèi)容，鞏固基礎(chǔ)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的根基。請大家結(jié)合課堂筆記和課本，認(rèn)真理解每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。第一章認(rèn)識(shí)更大的數(shù)在這一章，我們將眼界拓展到比萬更大的數(shù)，探索它們的奧秘。1.數(shù)一數(shù)與“十萬”的認(rèn)識(shí)我們以前學(xué)過萬以內(nèi)的數(shù)，當(dāng)數(shù)字變得更大時(shí)，我們需要新的計(jì)數(shù)單位。十萬是比“萬”高一級的計(jì)數(shù)單位，10個(gè)一萬是十萬。通過實(shí)際情境（如書本的頁數(shù)、城市的人口等），我們可以感受“十萬”究竟有多大，它在生活中并不遙遠(yuǎn)。2.計(jì)數(shù)單位、數(shù)位與數(shù)級*計(jì)數(shù)單位：個(gè)（一）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計(jì)數(shù)單位。每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10，這種計(jì)數(shù)方法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。*數(shù)位：計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。例如，“5”在個(gè)位上表示5個(gè)一，在十位上就表示5個(gè)十。*數(shù)級：為了便于讀、寫大數(shù)，我們通常把數(shù)位進(jìn)行分級。從右邊起，每四個(gè)數(shù)位為一級，分別是個(gè)級（個(gè)位、十位、百位、千位）、萬級（萬位、十萬位、百萬位、千萬位）、億級（億位、十億位、百億位、千億位）……3.大數(shù)的讀寫*讀數(shù)：讀數(shù)時(shí)，先把這個(gè)數(shù)從右往左每四位分一級（用虛線或空格隔開）。從高位讀起，一級一級地往下讀。讀億級或萬級的數(shù)時(shí)，先按照個(gè)級的數(shù)的讀法來讀，再在后面加上一個(gè)“億”字或“萬”字。每級末尾的0都不讀，其他數(shù)位有一個(gè)0或連續(xù)幾個(gè)0，都只讀一個(gè)零。*寫數(shù)：寫數(shù)時(shí)，同樣從高位寫起，一級一級地往下寫。哪個(gè)數(shù)位上一個(gè)計(jì)數(shù)單位也沒有，就在那個(gè)數(shù)位上寫0占位。寫完后，記得分級檢查一下，確保沒有多寫或少寫0。4.比較數(shù)的大小比較兩個(gè)數(shù)的大小，先看它們的位數(shù)。位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大；如果位數(shù)相同，就從最高位比起，最高位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；如果最高位上的數(shù)相同，就比較下一個(gè)數(shù)位上的數(shù)，以此類推，直到比較出大小為止。5.大數(shù)的改寫與求近似數(shù)*整萬、整億數(shù)的改寫：為了讀寫方便，我們常常把整萬的數(shù)改寫成用“萬”作單位的數(shù)，方法是去掉末尾的4個(gè)0，再加上“萬”字；把整億的數(shù)改寫成用“億”作單位的數(shù)，方法是去掉末尾的8個(gè)0，再加上“億”字。*求近似數(shù)（“四舍五入”法）：在生活中，我們有時(shí)不需要非常精確的數(shù)，這時(shí)就需要用到近似數(shù)。求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，要看它省略的尾數(shù)部分的最高位上的數(shù)字。如果這個(gè)數(shù)字小于5，就把尾數(shù)部分全部舍去，改寫成0；如果這個(gè)數(shù)字大于或等于5，就向前一位進(jìn)1，再把尾數(shù)部分全部舍去，改寫成0。這種方法叫做“四舍五入”法。我們通常會(huì)說“精確到萬位”或“精確到億位”。第二章線與角這一章，我們將走進(jìn)圖形的世界，學(xué)習(xí)關(guān)于線和角的基本知識(shí)。1.認(rèn)識(shí)線段、射線和直線*線段：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，可以測量長度。比如，我們用直尺畫出來的、有明確起點(diǎn)和終點(diǎn)的線就是線段。*射線：射線只有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一端無限延伸，無法測量長度。生活中的手電筒光、探照燈光都可以近似看作射線。*直線：直線沒有端點(diǎn)，可以向兩端無限延伸，也無法測量長度。我們可以用直尺畫出直線的一部分來表示。*聯(lián)系與區(qū)別：線段和射線都是直線的一部分。線段可以度量，射線和直線不可度量。2.相交與垂直*相交：當(dāng)兩條直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)。*垂直：如果兩條直線相交成直角（90度），那么這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。我們用符號“⊥”來表示垂直。例如，直線AB垂直于直線CD，可以寫成AB⊥CD。*畫垂線：可以使用三角尺或量角器來畫已知直線的垂線，以及過直線上一點(diǎn)或直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線。3.平移與平行*平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。*平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。我們用符號“∥”來表示平行。例如，直線AB平行于直線CD，可以寫成AB∥CD。*畫平行線：可以使用直尺和三角尺來畫已知直線的平行線。4.認(rèn)識(shí)角*角的定義：從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。*角的度量：角的大小可以用量角器來測量，度量單位是度，用符號“°”表示。把一個(gè)半圓平均分成180份，每一份所對的角的大小就是1度，記作1°。*量角器的使用：量角時(shí)，要把量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合，0°刻度線與角的一條邊重合，角的另一條邊所對的量角器上的刻度，就是這個(gè)角的度數(shù)。*角的分類：*銳角：小于90°的角叫做銳角。*直角：等于90°的角叫做直角。*鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。*平角：等于180°的角叫做平角（一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)半周所成的角）。*周角：等于360°的角叫做周角（一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所成的角）。*角的大小比較：角的大小與角的兩邊張開的程度有關(guān)，與邊的長短無關(guān)。張開得越大，角就越大；張開得越小，角就越小。*畫指定度數(shù)的角：利用量角器可以畫出指定度數(shù)的角。步驟與量角類似，先畫一條射線作為角的一邊，再對準(zhǔn)量角器相應(yīng)的刻度點(diǎn)上點(diǎn)，最后連接頂點(diǎn)和這個(gè)點(diǎn)，畫出角的另一邊，并標(biāo)上度數(shù)。第三章乘法乘法是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的重要組成部分，本章我們將學(xué)習(xí)更復(fù)雜的乘法計(jì)算。1.三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算*計(jì)算方法：三位數(shù)乘兩位數(shù)，先用兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘三位數(shù)，得到一個(gè)積（末位與個(gè)位對齊）；再用兩位數(shù)十位上的數(shù)去乘三位數(shù)，得到另一個(gè)積（末位與十位對齊，因?yàn)槭簧系臄?shù)表示幾個(gè)十）；最后把兩次乘得的積加起來。*注意事項(xiàng)：計(jì)算過程中，要注意進(jìn)位問題，每一步相乘的積滿幾十就要向前一位進(jìn)幾，并且不要忘記加上進(jìn)位的數(shù)。2.較大數(shù)的估計(jì)在解決實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)不需要精確計(jì)算，只需要估算出結(jié)果的大致范圍。估算時(shí)，我們通常把乘數(shù)看作與它接近的整十?dāng)?shù)、整百數(shù)或幾百幾十?dāng)?shù)，再進(jìn)行口算。估算可以幫助我們快速判斷計(jì)算結(jié)果是否合理。3.有趣的算式通過探索一些特殊算式的規(guī)律，我們可以感受到數(shù)學(xué)的趣味性，同時(shí)培養(yǎng)觀察、分析和推理能力。例如，某些算式的積具有一定的對稱性，或者隨著乘數(shù)的變化，積呈現(xiàn)出某種規(guī)律性的變化。第四章運(yùn)算律運(yùn)算律是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本規(guī)律，掌握它們可以使計(jì)算更簡便。1.加法交換律和結(jié)合律*加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。用字母表示為：a+b=b+a。*加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。用字母表示為：(a+b)+c=a+(b+c)。*應(yīng)用：在連加運(yùn)算中，靈活運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，可以把能湊成整十、整百、整千的數(shù)先加起來，使計(jì)算更簡便。2.乘法交換律、結(jié)合律和分配律*乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。用字母表示為：a×b=b×a。*乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。用字母表示為：(a×b)×c=a×(b×c)。*乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加。用字母表示為：(a+b)×c=a×c+b×c。有時(shí)也會(huì)遇到“兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘”的情況，同樣適用類似的規(guī)律：(a-b)×c=a×c-b×c。*應(yīng)用：乘法交換律和結(jié)合律常一起使用，例如計(jì)算連乘時(shí)，可以交換乘數(shù)的位置，將能湊成整十、整百、整千的數(shù)先乘起來。乘法分配律則在乘加或乘減混合運(yùn)算中應(yīng)用廣泛，可以將復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡單的口算。3.運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算學(xué)習(xí)運(yùn)算律的目的在于運(yùn)用它們進(jìn)行簡便計(jì)算。在計(jì)算時(shí)，要仔細(xì)觀察算式中各個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，判斷可以運(yùn)用哪個(gè)運(yùn)算律使計(jì)算更簡便。有時(shí)還需要根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，將某個(gè)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱郑龠\(yùn)用運(yùn)算律。第五章方向與位置在生活中，我們經(jīng)常需要確定物體的位置和辨別方向，本章將學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)和方法。1.確定位置（一）——用方向和距離確定位置*方向：我們通常所說的方向有東、南、西、北、東北、東南、西北、西南八個(gè)基本方向?？梢越柚改厢榿肀鎰e方向。*距離：在確定了方向之后，還需要知道物體與觀測點(diǎn)之間的距離，才能準(zhǔn)確確定物體的位置。*描述方法：通常我們會(huì)說“某物在觀測點(diǎn)的XX方向XX距離處”。例如，學(xué)校在小明家的東北方向200米處。2.確定位置（二）——用數(shù)對確定位置*數(shù)對的含義：在方格紙上，我們可以用數(shù)對來表示一個(gè)點(diǎn)的位置。數(shù)對由兩個(gè)數(shù)組成，中間用逗號隔開，外面通常加上小括號。例如，（3，5）。*數(shù)對的表示方法：數(shù)對中的第一個(gè)數(shù)表示這個(gè)點(diǎn)在水平方向（通常叫列）上從左往右數(shù)的第幾個(gè)格；第二個(gè)數(shù)表示這個(gè)點(diǎn)在垂直方向（通常叫行）上從下往上（或從上往下，具體看題目規(guī)定）數(shù)的第幾個(gè)格。書寫時(shí)，要先寫列數(shù)，再寫行數(shù)。例如，在方格圖中，小明坐在第4列第3行，可以用數(shù)對（4，3）表示。第六章除法除法與乘法互為逆運(yùn)算，本章我們將深入學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法。1.除數(shù)是兩位數(shù)的除法的筆算*試商：計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法時(shí)，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)試商。我們通常把除數(shù)看作與它接近的整十?dāng)?shù)來試商。如果除數(shù)個(gè)位上的數(shù)小于5，就“四舍”成整十?dāng)?shù)；如果大于或等于5，就“五入”成整十?dāng)?shù)。*計(jì)算步驟：1.看：先用除數(shù)試除被除數(shù)的前兩位。如果前兩位比除數(shù)小，再試除前三位。2.商：除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫在那一位的上面。3.乘減：每次除得的商與除數(shù)相乘，再用被除數(shù)相應(yīng)的那部分減去這個(gè)積。4.比：比較余下的數(shù)與除數(shù)的大小，余數(shù)必須比除數(shù)小。5.落：把被除數(shù)下一位上的數(shù)落下來，和余數(shù)合在一起繼續(xù)除。*調(diào)商：試商后，如果發(fā)現(xiàn)商太大（積大于被除數(shù)），就要把商調(diào)??；如果商太小（余數(shù)大于或等于除數(shù)），就要把商調(diào)大。調(diào)商是試商過程中常見的情況，需要同學(xué)們耐心嘗試。2.商不變的規(guī)律*規(guī)律內(nèi)容：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。這就是商不變的規(guī)律。*應(yīng)用：利用商不變的規(guī)律，可以簡化一些除法計(jì)算。例如，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0時(shí)，可以同時(shí)去掉相同個(gè)數(shù)的0，再進(jìn)行計(jì)算（注意余數(shù)的變化）。3.常見的數(shù)量關(guān)系*路程、速度與時(shí)間：路程=速度×?xí)r間；速度=路程÷時(shí)間；時(shí)間=路程÷速度。*總價(jià)、單價(jià)與數(shù)量：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量；單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量；數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)。*這些數(shù)量關(guān)系在解決實(shí)際問題中經(jīng)常用到，要理解并牢記它們之間的關(guān)系，能夠靈活運(yùn)用。第七章生活中的負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)是與正數(shù)表示相反意義的量，本章我們將初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。1.認(rèn)識(shí)正負(fù)數(shù)*正數(shù)：我們以前學(xué)過的像1、2、3、100、3.5這樣的數(shù)都是正數(shù)，有時(shí)為了明確表示，正數(shù)前面可以加上“+”號（讀作“正號”），如+1、+5.8等。*負(fù)數(shù)：為了表示與正數(shù)相反意義的量，我們引入了負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)前面通常有“-”號（讀作“負(fù)號”），如-1、-3.2、-20等。*0的特殊性：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。2.正負(fù)數(shù)在生活中的應(yīng)用負(fù)數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如：*溫度：零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負(fù)數(shù)表示。如零上5攝氏度寫作5℃或+5℃，零下3攝氏度寫作-3℃。*海拔高度：高于海平面的高度用正數(shù)表示，低于海平面的高度用負(fù)數(shù)表示。如珠穆朗瑪峰的海拔約為8848米，吐魯番盆地的海拔約為-155米。*收支情況：收入用正數(shù)表示，支出用負(fù)數(shù)表示。*方向：如果規(guī)定一個(gè)方向?yàn)檎?，那么與之相反的方向就為負(fù)。第八章可能性在生活中，很多事情的發(fā)生是不確定的，本章我們將學(xué)習(xí)如何描述事件發(fā)生的可能性。1.感受不確定現(xiàn)象有些事件的發(fā)生是確定的，有些則是不確定的。*確定事件：一定會(huì)發(fā)生的事件，我們用“一定”來描述；一定不會(huì)發(fā)生的事件，我們用“不可能”來描述。*不確定事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，我們用“可能”來描述。2.可能性的大小*可能性有大小：在不確定事件中，有些結(jié)果發(fā)生的可能性大，有些結(jié)果發(fā)生的可能性小。*判斷方法：事件發(fā)生的可