結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)，離不開大量習(xí)題的練習(xí)。通過對(duì)典型習(xí)題的深入剖析與獨(dú)立求解，能夠幫助我們更好地理解基本概念、掌握分析方法、提升解決實(shí)際工程問題的能力。本文選取若干結(jié)構(gòu)力學(xué)中的典型習(xí)題，涵蓋幾何組成分析、靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算等核心內(nèi)容，力求通過清晰的解題思路與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯疬^程，為讀者提供有益的參考。一、幾何組成分析幾何組成分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)的入門基礎(chǔ)，其目的在于判斷給定體系是否為幾何不變體系，以及有無多余約束，從而確定其是否能作為結(jié)構(gòu)使用。1.1平面體系的幾何不變性判定習(xí)題1：幾何不變體系的判定（無多余約束）習(xí)題描述：試對(duì)圖示平面體系進(jìn)行幾何組成分析，判定其是否為幾何不變體系，若為幾何不變體系，說明有無多余約束。體系由基礎(chǔ)、剛性桿AC、BC以及鉸C組成，A、B兩點(diǎn)為固定鉸支座與基礎(chǔ)相連。解題思路：幾何組成分析的關(guān)鍵在于運(yùn)用基本組成規(guī)則，判斷體系是否具備幾何不變性。對(duì)于此類由少數(shù)桿件和鉸組成的簡(jiǎn)單體系，可嘗試直接應(yīng)用兩剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則進(jìn)行分析。首先需明確各部件（剛片），再分析它們之間的連接方式（約束）是否滿足規(guī)則要求。解答過程：1.確定剛片：基礎(chǔ)本身可視為一個(gè)大剛片（剛片Ⅰ）。桿件AC和BC均為剛性桿，可分別視為剛片Ⅱ和剛片Ⅲ。2.分析連接：*剛片Ⅱ（AC）與剛片Ⅰ（基礎(chǔ)）通過A點(diǎn)的固定鉸支座連接，構(gòu)成一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)，提供兩個(gè)約束。*剛片Ⅲ（BC）與剛片Ⅰ（基礎(chǔ)）通過B點(diǎn)的固定鉸支座連接，構(gòu)成一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)，提供兩個(gè)約束。*剛片Ⅱ（AC）與剛片Ⅲ（BC）通過C點(diǎn)的鉸連接，構(gòu)成一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)，提供兩個(gè)約束。3.應(yīng)用規(guī)則：我們考察剛片Ⅱ、Ⅲ與基礎(chǔ)（剛片Ⅰ）的連接。剛片Ⅱ與Ⅰ由鉸A連接，剛片Ⅲ與Ⅰ由鉸B連接，剛片Ⅱ與Ⅲ由鉸C連接。此時(shí)，三個(gè)剛片（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）通過不在同一直線上的三個(gè)鉸（A、B、C）兩兩相連，符合三剛片規(guī)則。4.結(jié)論：該體系為幾何不變體系，且無多余約束。小結(jié)：三剛片規(guī)則是判定幾何不變體系的重要依據(jù)之一，其核心在于三個(gè)剛片間的三個(gè)鉸（或等效鉸）不共線。在分析時(shí)，正確選擇剛片并識(shí)別鉸的位置至關(guān)重要。習(xí)題2：含有多余約束的幾何不變體系判定習(xí)題描述：試分析圖示平面體系的幾何組成。體系由四根等長(zhǎng)的剛性桿AB、BC、CD、DA鉸接成菱形，在對(duì)角線位置增設(shè)一根剛性桿AC。A點(diǎn)為固定鉸支座，B點(diǎn)為可動(dòng)鉸支座。解題思路：對(duì)于此類由多個(gè)桿件鉸接而成的體系，可先從不考慮某些桿件時(shí)的體系狀態(tài)入手，分析其幾何不變性，再判斷所增設(shè)的桿件是否為多余約束。解答過程：1.初步觀察：若暫不考慮對(duì)角線AC桿，體系由AB、BC、CD、DA四根桿鉸接成菱形ABCD，A為固定鉸，B為可動(dòng)鉸。此時(shí)，ABCD構(gòu)成一個(gè)鉸接四邊形，其形狀可以改變（如菱形可變?yōu)槠叫兴倪呅危?，因此是一個(gè)幾何可變體系（常變體系）。2.添加約束：增設(shè)對(duì)角線AC桿后，將鉸接四邊形ABCD分割成兩個(gè)三角形ABC和ADC。三角形是幾何不變的基本單元。3.分析整體：三角形ABC中，A為固定鉸，B為可動(dòng)鉸，形成一個(gè)幾何不變的基本部分。三角形ADC通過鉸A和鉸C與ABC相連，鉸A為固定鉸，鉸C使ADC與ABC剛性連接，因此整體構(gòu)成幾何不變體系。4.檢查約束數(shù)量：計(jì)算體系的自由度或約束數(shù)目有助于驗(yàn)證。對(duì)于平面體系，自由度W=3m-2h-r（m為剛片數(shù)，h為單鉸數(shù)，r為支座鏈桿數(shù)）。此處，剛片數(shù)m=5（AB、BC、CD、DA、AC），單鉸數(shù)h：A、B、C、D各為一個(gè)單鉸，每個(gè)鉸連接2個(gè)剛片，故h=4。支座鏈桿數(shù)r：固定鉸A提供2個(gè)，可動(dòng)鉸B提供1個(gè)，共r=3。則W=3*5-2*4-3=15-8-3=4。然而，這種計(jì)算方式有時(shí)會(huì)因剛片選擇和鉸的計(jì)算方式產(chǎn)生混淆，更直觀的是，一個(gè)幾何不變且無多余約束的平面體系，其W=0?，F(xiàn)在W=4，顯然不合理，說明之前的剛片計(jì)數(shù)方式有誤。*更簡(jiǎn)便的方法：對(duì)于鉸接體系，若將每個(gè)結(jié)點(diǎn)視為自由度為2的對(duì)象，每個(gè)鏈桿視為一個(gè)約束。結(jié)點(diǎn)數(shù)n=4（A、B、C、D），鏈桿數(shù)：AB、BC、CD、DA、AC共5根，支座鏈桿3根（A處2，B處1）?？偧s束數(shù)c=5+3=8。自由度W=2n-c=2*4-8=0。此時(shí)W=0，說明體系幾何不變且無多余約束？這與之前的直觀感受矛盾。*問題辨析：?jiǎn)栴}出在對(duì)“剛片”和“鏈桿”的界定。在鉸接體系中，每一根直桿都是鏈桿，每個(gè)單鉸連接兩根鏈桿。上述第二種方法（結(jié)點(diǎn)法）計(jì)算自由度W=2n-(b+r)，其中b為體系內(nèi)部鏈桿數(shù)，r為支座鏈桿數(shù)。此處n=4，b=5（AB,BC,CD,DA,AC），r=3。W=2*4-(5+3)=0。這表明體系是幾何不變且無多余約束的。那么，為何最初認(rèn)為無AC桿時(shí)是可變體系？因?yàn)闊oAC桿時(shí)，b=4，W=2*4-(4+3)=1>0，確為可變體系。添加AC桿后，W=0，變?yōu)椴蛔凅w系，且無多余約束。5.修正結(jié)論：原體系（含AC桿）為幾何不變體系，且無多余約束。小結(jié)：自由度計(jì)算是輔助判斷幾何組成的有效工具，但需注意公式的適用條件和參數(shù)的正確選取。對(duì)于鉸接體系，結(jié)點(diǎn)法計(jì)算自由度（W=2j-b-r）較為便捷。當(dāng)W≤0時(shí)，體系可能為幾何不變，但需進(jìn)一步結(jié)合幾何組成規(guī)則判斷是否存在瞬變或常變情況。二、靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算是結(jié)構(gòu)力學(xué)的核心內(nèi)容之一，其基本方法是利用靜力平衡條件求解。2.1多跨靜定梁的內(nèi)力圖繪制習(xí)題3：多跨靜定梁的彎矩圖與剪力圖繪制習(xí)題描述：試?yán)L制圖示多跨靜定梁的彎矩圖和剪力圖。梁由AB和BC兩段組成，A端為固定鉸支座，B處為中間鉸，C端為可動(dòng)鉸支座。在AB段中點(diǎn)作用一集中荷載P，在BC段全跨作用均布荷載q。解題思路：多跨靜定梁由基本部分和附屬部分組成，計(jì)算時(shí)應(yīng)遵循“先附屬后基本”的原則，即先計(jì)算附屬部分的約束力，將其反向施加于基本部分，再計(jì)算基本部分的內(nèi)力。繪制內(nèi)力圖時(shí)，需明確各控制截面的內(nèi)力值，并注意荷載作用對(duì)內(nèi)力圖形狀的影響。解答過程：1.結(jié)構(gòu)組成分析：該多跨靜定梁中，BC段通過中間鉸B與AB段相連。若去除AB段，BC段在B處（可視為固定鉸）和C處（可動(dòng)鉸）支撐，能獨(dú)立承受荷載，故BC段為基本部分；AB段則需依靠BC段通過鉸B提供支撐才能保持穩(wěn)定，故AB段為附屬部分。（*編者注：此處原分析有誤，通常將直接與基礎(chǔ)相連，能獨(dú)立承受荷載并保持平衡的部分視為基本部分。正確分析應(yīng)為：AB段A端固定鉸，B端中間鉸，可獨(dú)立承受荷載，為基本部分；BC段B端中間鉸，C端可動(dòng)鉸，需依附于AB段，為附屬部分。以下按正確分析進(jìn)行。*）*修正：AB段A為固定鉸，B為中間鉸，可直接與基礎(chǔ)形成穩(wěn)定支撐，是基本部分。BC段B為中間鉸，C為可動(dòng)鉸，其自身不能獨(dú)立承受荷載并保持平衡（會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)），需通過鉸B與AB段相連，故BC段為附屬部分。因此，應(yīng)先計(jì)算附屬部分BC的內(nèi)力和約束力。2.計(jì)算附屬部分（BC段）的支座反力：*取BC段為隔離體，B處為鉸，C處為可動(dòng)鉸。均布荷載q作用于全跨，跨度設(shè)為L(zhǎng)（BC段長(zhǎng)度）。*由∑MC=0：FBy*L-qL*(L/2)=0→FBy=qL/2(↑)*由∑Fy=0：FCy+FBy-qL=0→FCy=qL-qL/2=qL/2(↑)*B處水平反力FBx=0（無水平荷載）。3.計(jì)算基本部分（AB段）的支座反力：*將附屬部分BC段對(duì)B鉸的作用力FBy=qL/2反向施加于基本部分AB段的B端，即AB段B端受到向下的力qL/2。*AB段A端為固定鉸，承受豎向反力FAy和水平反力FAx（此處FAx=0），B端（鉸）有向下的力qL/2，中點(diǎn)作用集中荷載P。設(shè)AB段跨度為2L（為方便計(jì)算，設(shè)AB段長(zhǎng)度為2L，中點(diǎn)在距A、B各L處）。*由∑MA=0：FBy'*2L-P*L=0（FBy'=qL/2，方向向下）→(qL/2)*2L=P*L→qL2=PL→P=qL(此為根據(jù)平衡條件得出的P與qL的關(guān)系，若題目給定P和q、L的具體數(shù)值，則可直接計(jì)算。此處假設(shè)P=qL以簡(jiǎn)化后續(xù)計(jì)算，實(shí)際解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目給定值計(jì)算)。*由∑Fy=0：FAy-P-FBy'=0→FAy=P+qL/2=qL+qL/2=3qL/2(↑)。4.繪制剪力圖（Q圖）：*AB段：*A端右側(cè)截面：Q=FAy=3qL/2(↑)。*荷載P左側(cè)截面：Q=3qL/2。*荷載P右側(cè)截面：Q=3qL/2-P=3qL/2-qL=qL/2。*B端左側(cè)截面：Q=qL/2-FBy'(注意FBy'是AB段B端的外力，方向向下，在計(jì)算剪力至B端時(shí)，Q=qL/2)。*BC段：*B端右側(cè)截面：Q=FBy=qL/2(↑)。*C端左側(cè)截面：Q=qL/2-qL=-qL/2。*根據(jù)上述各控制截面剪力值，繪制剪力圖。AB段無均布荷載，剪力圖為水平直線；BC段有均布荷載，剪力圖為斜直線。5.繪制彎矩圖（M圖）：*AB段：*A端：M_A=0。*荷載P作用點(diǎn)（AB中點(diǎn)）：M=FAy*L-P*0=3qL/2*L=3qL2/2(下側(cè)受拉)。*B端：M_B=FAy*2L-P*L=3qL/2*2L-qL*L=3qL2-qL2=2qL2；或從右側(cè)看，M_B=0（鉸處彎矩為零）。這里出現(xiàn)矛盾，是因?yàn)橹凹僭O(shè)P=qL是基于∑MA=0，此時(shí)計(jì)算M_B應(yīng)為0。重新檢查AB段∑MA=0：FAy*2L-P*L-FBy'*2L=0→FAy*2L=P*L+(qL/2)*2L→FAy=(PL+qL2)/(2L)=(P+qL)/2。若不假設(shè)P與qL的關(guān)系，則保留表達(dá)式。設(shè)AB長(zhǎng)為L(zhǎng)_AB，BC長(zhǎng)為L(zhǎng)_BC，此處為簡(jiǎn)化，取L_AB=L_BC=L。則：*對(duì)BC段：FBy=qL/2(↑)。*對(duì)AB段：A端，B端（受FBy向下的力qL/2），跨中P。*∑MA=0：FBy*L_AB-P*(L_AB/2)=0→(qL/2)*L-P*(L/2)=0→qL2/2=PL/2→P=qL。可見，當(dāng)AB與BC等長(zhǎng)時(shí)，P=qL才能使B鉸處彎矩為零，這是合理的。因此，M_B=0。*AB段跨中彎矩M=FAy*(L/2)。FAy=P+FBy=qL+qL/2=3qL/2。所以M=3qL/2*L/2=3qL2/4。*BC段：*B端：M_B=0。*C端：M_C=0。*跨中最大彎矩在剪力為零處，即BC段中點(diǎn)。M_max=FBy*(L/2)-q*(L/2)^2/2=(qL/2)(L/2)-qL2/8=qL2/4-qL2/8=qL2/8(上側(cè)受拉)。*根據(jù)各控制截面彎矩值及荷載情況繪制彎矩圖：AB段在集中荷載P作用下，彎矩圖為兩條相連的斜直線，在P作用點(diǎn)達(dá)到最大值；BC段在均布荷載q作用下，彎矩圖為拋物線。小結(jié)：繪制多跨靜定梁內(nèi)力圖的關(guān)鍵在于正確區(qū)分基本部分和附屬部分，遵循“先附屬后基本”的求解順序。鉸結(jié)點(diǎn)處的彎矩必為零，這是重要的控制條件。內(nèi)力圖的形狀應(yīng)與荷載分布規(guī)律相對(duì)應(yīng)。2.2靜定剛架的內(nèi)力圖繪制習(xí)題4：靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算與內(nèi)力圖繪制習(xí)題描述：試計(jì)算圖示靜定剛架的彎矩、剪力和軸力，并繪制內(nèi)力圖。剛架由立柱AB和橫梁BC組成，A端為固定端，C端為自由端。橫梁BC上作用有均布荷載q，在B結(jié)點(diǎn)處作用一水平向右的集中力P。各桿長(zhǎng)度均為L(zhǎng)。解題思路：靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算通常采用截面法，即截取隔離體，利用平衡方程求解控制截面的內(nèi)力。對(duì)于由直桿組成的剛架，應(yīng)逐桿分析，注意結(jié)點(diǎn)處的內(nèi)力平衡條件。繪制內(nèi)力圖時(shí)，彎矩圖通常繪在桿件受拉一側(cè)，剪力圖和軸力圖需標(biāo)明正負(fù)號(hào)。解答過程：1.計(jì)算支座反力：*剛架A端為固定端，有三個(gè)支座反力：水平反力FAx、豎向反力FAy和彎矩MA。C端自由。*整體受力分析：*∑Fx=0：FAx-P=0→FAx=P(←)*∑Fy=0：FAy-qL=0→FAy=qL