【新高一數(shù)學(xué)銜接講義系列一：函數(shù)的概念與基本性質(zhì)初探】引言：承前啟后，平穩(wěn)過(guò)渡親愛(ài)的同學(xué)們，恭喜你們邁入高中階段，即將開(kāi)啟一段更為豐富多彩的數(shù)學(xué)探索之旅。初中數(shù)學(xué)為我們打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而高中數(shù)學(xué)則是在此基礎(chǔ)上的延伸與深化，它將帶領(lǐng)我們進(jìn)入一個(gè)更抽象、更嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用更廣泛的領(lǐng)域。本系列銜接講義旨在幫助同學(xué)們回顧初中核心知識(shí)，并初步接觸高中數(shù)學(xué)的思維方式與核心概念，從而實(shí)現(xiàn)從初中到高中的平穩(wěn)過(guò)渡?！昂瘮?shù)”無(wú)疑是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，它不僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，也是理解現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型。初中階段，我們已經(jīng)對(duì)函數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)等。高中階段，我們將對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行更精確的界定，研究更復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)，并學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)思想解決更廣泛的問(wèn)題。因此，本講將聚焦于函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，既是對(duì)初中知識(shí)的回顧與升華，也是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。一、函數(shù)概念的深化與再認(rèn)識(shí)1.1從“變量關(guān)系”到“對(duì)應(yīng)關(guān)系”初中階段，我們對(duì)函數(shù)的定義通常描述為：“在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)?！边@個(gè)定義直觀易懂，側(cè)重于“變化過(guò)程”和“變量”。進(jìn)入高中，我們需要從更本質(zhì)的角度來(lái)理解函數(shù)。高中教材中，函數(shù)被定義為：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A?！竞诵慕庾x】*兩個(gè)非空數(shù)集A、B：明確了函數(shù)的研究對(duì)象是“數(shù)”，集合A稱為函數(shù)的定義域（即自變量x的取值范圍），集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的值域（即函數(shù)值y的取值范圍），顯然值域是B的子集。*對(duì)應(yīng)關(guān)系f：這是函數(shù)的核心，它描述了從x到y(tǒng)的轉(zhuǎn)換規(guī)則。這個(gè)“f”可以是一個(gè)解析式，可以是一個(gè)圖表，也可以是一段文字描述，但關(guān)鍵在于其“確定性”和“唯一性”。*任意一個(gè)x，唯一確定的y：“任意”體現(xiàn)了定義域的整體性，“唯一確定”則強(qiáng)調(diào)了對(duì)應(yīng)的單值性，這是判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的關(guān)鍵。思考與辨析：初中我們學(xué)過(guò)“圓的面積S是半徑r的函數(shù)”，如何用高中的函數(shù)定義來(lái)描述它？（提示：明確A、B及f）1.2函數(shù)的三要素由上述定義可知，一個(gè)函數(shù)由定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域三個(gè)要素構(gòu)成。*定義域：自變量x的取值范圍，是函數(shù)的“源頭”。在研究函數(shù)時(shí)，首先要考慮定義域，離開(kāi)了定義域談函數(shù)是沒(méi)有意義的。*對(duì)應(yīng)關(guān)系：即“f”，是函數(shù)的“靈魂”，決定了輸入如何轉(zhuǎn)化為輸出。*值域：函數(shù)值y的集合，由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同確定。重要結(jié)論：兩個(gè)函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致。（與表示自變量和因變量的字母無(wú)關(guān)）例如：函數(shù)y=x與函數(shù)s=t，雖然字母不同，但它們的定義域（均為實(shí)數(shù)集R）和對(duì)應(yīng)關(guān)系（都是“自變量本身”）完全相同，因此它們是同一個(gè)函數(shù)。二、函數(shù)的表示方法初中我們已經(jīng)接觸過(guò)函數(shù)的表示方法，主要有解析法、圖像法和列表法。高中階段，我們將繼續(xù)使用這些方法，并對(duì)其有更深刻的理解。2.1解析法（公式法）用數(shù)學(xué)表達(dá)式（解析式）來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是最常用的方法。例如：y=2x+1，y=x2-3x+2等。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，便于進(jìn)行理論分析和運(yùn)算。注意：用解析法表示函數(shù)時(shí)，通常會(huì)隱含定義域，即自變量的取值范圍是使解析式有意義的所有實(shí)數(shù)。如果題目對(duì)定義域有特殊限制，則必須明確指出。常見(jiàn)解析式有意義的條件：*分式的分母不為零；*偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；*零次冪的底數(shù)不為零（后續(xù)學(xué)習(xí)）。2.2圖像法用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來(lái)表示函數(shù)關(guān)系。圖像上的每一個(gè)點(diǎn)(x,y)都滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)。優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，能清晰地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)、最值等性質(zhì)。注意：函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線（如一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像），也可以是離散的點(diǎn)，或者是由幾段不同的曲線（或直線）組成。思考：如何判斷一個(gè)圖像是否為某個(gè)函數(shù)的圖像？（提示：結(jié)合函數(shù)定義中的“唯一確定”）2.3列表法通過(guò)列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，數(shù)學(xué)用表中的平方表、平方根表，以及生活中常見(jiàn)的工資表、成績(jī)表等。優(yōu)點(diǎn)：具體、直接，不需要計(jì)算就能查到函數(shù)值。適用場(chǎng)景：自變量取值為有限個(gè)或可以按一定順序列舉時(shí)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常需要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的表示方法，有時(shí)也會(huì)將多種方法結(jié)合起來(lái)使用。三、幾種重要的基本初等函數(shù)（回顧與拓展）初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)和二次函數(shù)。這些是構(gòu)成更復(fù)雜函數(shù)的“基本積木”，在高中數(shù)學(xué)中具有極其重要的地位。我們將對(duì)它們進(jìn)行回顧，并適當(dāng)拓展。3.1一次函數(shù)與正比例函數(shù)定義：形如y=kx+b（k,b為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx（k≠0），稱為正比例函數(shù)。定義域與值域：均為實(shí)數(shù)集R。圖像：一條直線。其中，k稱為斜率，決定直線的傾斜程度；b稱為截距，是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。*當(dāng)k>0時(shí)，直線從左到右上升；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左到右下降。*正比例函數(shù)y=kx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線。性質(zhì)：*單調(diào)性：一次函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)。k>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；k<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減。*奇偶性：正比例函數(shù)y=kx是奇函數(shù)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；當(dāng)b≠0時(shí)，一次函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。應(yīng)用示例：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(-2,-3)，求此函數(shù)的解析式。（解法提示：設(shè)y=kx+b，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)，解方程組）3.2二次函數(shù)定義：形如y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。定義域：實(shí)數(shù)集R。圖像：一條拋物線。*開(kāi)口方向：由a的符號(hào)決定。a>0時(shí)，開(kāi)口向上；a<0時(shí)，開(kāi)口向下。*對(duì)稱軸：直線x=-b/(2a)。*頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。解析式的三種形式：*一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，適用于已知圖像上三點(diǎn)坐標(biāo)的情況。*頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。適用于已知頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸的情況。*交點(diǎn)式（兩根式）：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)，其中x?,x?是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根）。適用于已知圖像與x軸交點(diǎn)的情況。性質(zhì)（以a>0為例）：*單調(diào)性：在區(qū)間(-∞,-b/(2a)]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[-b/(2a),+∞)上單調(diào)遞增。*最值：當(dāng)x=-b/(2a)時(shí)，函數(shù)取得最小值y=(4ac-b2)/(4a)。（若a<0，則取得最大值）*奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+c是偶函數(shù)（關(guān)于y軸對(duì)稱）；當(dāng)b≠0時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。拓展思考：二次函數(shù)的值域如何確定？（提示：結(jié)合開(kāi)口方向和頂點(diǎn)縱坐標(biāo)）例題：求二次函數(shù)y=x2-4x+3的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出其單調(diào)區(qū)間及最值。（解法提示：可通過(guò)配方化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-2)2-1，或直接利用公式）四、函數(shù)的基本性質(zhì)初探除了上述具體函數(shù)的性質(zhì)外，我們還將從更一般的角度研究函數(shù)的某些共同特性。在本講中，我們先初步認(rèn)識(shí)單調(diào)性和奇偶性。4.1函數(shù)的單調(diào)性（增減性）描述性定義：對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)y=f(x)：*如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x?,x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，簡(jiǎn)稱增函數(shù)。*如果對(duì)于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x?,x?，當(dāng)x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，簡(jiǎn)稱減函數(shù)。*如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。理解要點(diǎn)：*單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，離開(kāi)了具體區(qū)間，談?wù)搯握{(diào)性是沒(méi)有意義的。*“任意”二字非常關(guān)鍵，不能用特殊值代替。*單調(diào)性反映了函數(shù)值隨自變量變化的趨勢(shì)。判斷方法：*圖像法：觀察函數(shù)圖像在給定區(qū)間上是上升還是下降。*定義法：嚴(yán)格按照定義進(jìn)行證明（后續(xù)將詳細(xì)學(xué)習(xí)）。例如：一次函數(shù)y=2x+1在R上是增函數(shù)；二次函數(shù)y=x2在(-∞,0]上是減函數(shù)，在[0,+∞)上是增函數(shù)。4.2函數(shù)的奇偶性定義：*如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做奇函數(shù)。*如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù)。理解要點(diǎn)：*奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。*“任意”二字依然是核心。*奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。判斷步驟：1.檢查函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若不對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。2.計(jì)算f(-x)，并與f(x)、-f(x)進(jìn)行比較。例如：正比例函數(shù)y=kx（k≠0）是奇函數(shù)；二次函數(shù)y=ax2（a≠0）是偶函數(shù)；一次函數(shù)y=kx+b（b≠0）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。例題：判斷函數(shù)f(x)=x3的奇偶性。（解：函數(shù)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以f(x)=x3是奇函數(shù)。）五、總結(jié)與展望本講我們對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了深化，從初中的“變量說(shuō)”過(guò)渡到高中的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，明確了函數(shù)的三要素和表示方法，并回顧與拓展了初中學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)（正比例函數(shù)）和二次函數(shù)，初步探討了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。這些內(nèi)容是高中函數(shù)學(xué)習(xí)的基石，務(wù)必扎實(shí)掌握。函數(shù)的世界廣闊而深邃，后續(xù)我們還將學(xué)習(xí)更多類型的函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，以及更復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注意：*數(shù)形結(jié)合：函數(shù)的圖像是理解函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，要養(yǎng)成畫(huà)圖、識(shí)圖、用圖的習(xí)慣。*概念辨析：準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，對(duì)于易混淆的概念要仔細(xì)甄別。*勤于思考：多問(wèn)“為什么”，理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，而不是死記硬背。*適量練習(xí)：通過(guò)練習(xí)鞏固知識(shí)，提升解題技能，但要注意避免題海戰(zhàn)術(shù)，注重解題后的反思與總結(jié)。希望同學(xué)們能以本講為起點(diǎn)，帶著好奇心和求知欲，積極探索函數(shù)的奧秘，為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)開(kāi)一個(gè)