2026年數(shù)學(xué)建模與問題求解模擬題第一部分：問題求解（共3題，每題10分，合計30分）第1題（10分）：城市交通信號燈優(yōu)化問題某城市中心區(qū)域有四個主要交叉口（A、B、C、D），形成一個矩形交通網(wǎng)絡(luò)。高峰時段，各交叉口的平均車流量（雙向）分別為：A口120輛/分鐘，B口150輛/分鐘，C口130輛/分鐘，D口100輛/分鐘。當前信號燈配時方案為：綠燈30秒、黃燈5秒、紅燈25秒，各路口循環(huán)。假設(shè)車輛到達服從泊松分布，交通延誤成本為每輛車每分鐘5元。試通過數(shù)學(xué)建模，設(shè)計一個優(yōu)化信號燈配時方案，以最小化整個網(wǎng)絡(luò)的總延誤成本，并要求相鄰路口信號燈有最小相位差（不小于10秒）。第2題（10分）：農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)鏈庫存優(yōu)化問題某農(nóng)業(yè)合作社種植有機蔬菜，其供應(yīng)和需求受季節(jié)影響。已知每批蔬菜的采購成本為10元/公斤，庫存持有成本為2元/公斤·天，缺貨成本為5元/公斤。未來30天的需求預(yù)測（公斤）為：[200,180,220,250,300,280,260,240,220,200,180,160,150,140,130,120,110,100,90,80,70,60,50,40,30,20,10,5,3]。若每天的最大采購量不超過500公斤，且初始庫存為0，請建立數(shù)學(xué)模型，確定每日最優(yōu)采購量，以最小化總成本（采購成本+庫存持有成本+缺貨成本）。第3題（10分）：能源消耗與碳排放平衡問題某工業(yè)園區(qū)包含5家企業(yè)，其能源消耗以電力為主，單位電力碳排放因子為0.5噸CO2/萬千瓦時。各企業(yè)當前電力消耗量（萬千瓦時/月）為：企業(yè)1-300，企業(yè)2-250，企業(yè)3-400，企業(yè)4-350，企業(yè)5-200。園區(qū)計劃通過引入太陽能發(fā)電和節(jié)能改造來降低碳排放。已知：①每安裝1千瓦太陽能光伏板，可替代0.8萬千瓦時電力，成本為200元/千瓦；②每家企業(yè)通過節(jié)能改造可減少電力消耗10%-20%（均勻分布），成本為100元/千瓦時。若園區(qū)碳排放總量需控制在2000噸/月以內(nèi)，請建立數(shù)學(xué)模型，計算最優(yōu)的太陽能裝機量和節(jié)能改造方案，以最低成本實現(xiàn)目標。第二部分：數(shù)學(xué)建模（共4題，每題25分，合計100分）第4題（25分）：人口流動與疫情防控策略優(yōu)化問題某城市由三個區(qū)域（A、B、C）組成，人口規(guī)模分別為：A區(qū)50萬人，B區(qū)70萬人，C區(qū)80萬人。近期出現(xiàn)流感爆發(fā)，區(qū)域間流動情況（日均萬人）為：A→B：5，A→C：3，B→A：4，B→C：6，C→A：2，C→B：5。為控制疫情，政府可采取的措施包括：①區(qū)域間交通管制（成本100萬元/月，可降低某條線路流動率的50%）；②強制疫苗接種（成本200萬元/月，可降低區(qū)域內(nèi)傳播概率30%）。假設(shè)流感傳播服從SIR模型，且當前感染人數(shù)A區(qū)1000人，B區(qū)800人，C區(qū)600人。請建立數(shù)學(xué)模型，確定最優(yōu)防控策略組合（交通管制與疫苗接種），在感染人數(shù)控制在總?cè)丝诘?%以下的前提下，最小化防控總成本。第5題（25分）：銀行貸款風險評估模型某商業(yè)銀行需對個人住房貸款申請進行風險評估。歷史數(shù)據(jù)包含2000份貸款記錄，其中變量包括：年齡（歲）、收入（萬元/年）、貸款金額（萬元）、貸款期限（年）、是否違約（1/0）。部分數(shù)據(jù)如下表所示（示意）：|年齡|收入|貸款金額|貸款期限|違約||||-|-|||30|15|80|20|0||45|30|200|30|1||28|8|50|10|0||...|...|...|...|...|要求：①建立分類模型（如邏輯回歸或決策樹）預(yù)測貸款違約概率；②設(shè)計一個評分卡，將預(yù)測概率轉(zhuǎn)化為信用評分（如0-100分）；③若銀行設(shè)定違約率上限為5%，請確定貸款審批閾值（如最低收入要求、最高貸款金額限制），以在控制風險的前提下最大化業(yè)務(wù)量。第6題（25分）：智慧農(nóng)業(yè)灌溉系統(tǒng)優(yōu)化問題某農(nóng)場種植水稻，需根據(jù)土壤濕度、氣象數(shù)據(jù)和作物生長階段進行精準灌溉。監(jiān)測數(shù)據(jù)（過去30天）如下表所示（示意）：|日期|土壤濕度(%)|溫度(℃)|氣壓(hPa)|作物生長階段|灌溉量(m3/畝)||--|||-|--|-||2023-06-01|65|28|1013|幼苗期|10||2023-06-02|60|30|1012|幼苗期|15||...|...|...|...|...|...|要求：①建立多元線性回歸模型，分析土壤濕度、溫度、氣壓對灌溉量的影響；②引入模糊邏輯控制，根據(jù)生長階段和氣象異常（如暴雨）調(diào)整灌溉策略；③若灌溉成本為1元/m3，水資源限制為每日總灌溉量不超過500m3/畝，請優(yōu)化未來7天的灌溉方案，在保證作物生長需求（濕度≥60%）的前提下最小化成本。第7題（25分）：共享單車調(diào)度問題某城市共享單車運營商在五個區(qū)域（A-E）投放車輛，當前車輛分布（輛）為：A-200,B-150,C-300,D-100,E-250。騎行需求（輛/小時）預(yù)測如下：-工作日8-9點：A→B：50，B→A：30，C→A：40；-周末下午：D→E：60，E→D：40。調(diào)度規(guī)則：①單車轉(zhuǎn)運成本為10元/輛·公里，②每小時最多調(diào)度200輛，③車輛總量不超過1000輛。若運營商目標是最小化用戶平均候車時間（假設(shè)需求服從泊松分布，當前各區(qū)域平均候車時間見下表），請建立優(yōu)化模型，確定每小時各區(qū)域最優(yōu)調(diào)度量。答案與解析問題求解部分第1題-模型：用排隊論M/M/c/N模型模擬各交叉口延誤，設(shè)c=2（綠燈期可通過車輛數(shù)），N=5（隊列長度上限）?？傃诱`成本=Σ[排隊長度×平均停留時間×延誤成本]。-優(yōu)化：通過Lingo求解信號燈周期（最小滿足流量需求的T）與相位差（ΔT≥10s），計算各路口綠燈時間分配，目標函數(shù)為總延誤成本最小。第2題-模型：采用（R，Q）庫存策略，設(shè)R為安全庫存，Q為訂貨批量。用動態(tài)規(guī)劃逆向求解：f(k)=min[10Q+2k(k-1)/2+5(max(0,d_k-k))]+f(k+1)-結(jié)果：通過遍歷計算每日最優(yōu)采購量（如第1天采購200公斤，第2天150公斤等），總成本約1.5萬元。第3題-模型：設(shè)x_i為第i企業(yè)節(jié)能改造比例（0-0.2），y_i為太陽能裝機量（單位千瓦）。目標函數(shù)：min[200Σy_i+100Σ0.2x_i500]-約束：Σ(0.8y_i+0.9500x_i)-當前電力需求≤2000噸CO2。-結(jié)果：最優(yōu)方案為A區(qū)改造15%、B區(qū)20%，太陽能裝機400千瓦，成本1.1億元。數(shù)學(xué)建模部分第4題-模型：用SIR模型構(gòu)建方程組，交通管制降低β_ij（傳播率），疫苗接種降低γ（移除率）。目標函數(shù)：min[100I_ij+200U_k]-結(jié)果：最優(yōu)策略為B→C線路管制+全區(qū)疫苗接種，防控成本0.3億元。第5題-模型：用邏輯回歸擬合數(shù)據(jù)，評分卡轉(zhuǎn)化公式：Score=50+20logit(p)，p為違約概率。-審批閾值：設(shè)p=0.05，計算得出收入≥12萬元/年，貸款金額≤150萬元。第6題-模型：回歸模型：灌溉量=β_0+β_1濕度+β_2溫度+β_3氣壓+β_4階段。模糊邏