湖北省荊州市2026屆高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若對，直線與圓總有2個公共點，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．7．科技公司為破解某密碼鎖的密碼，采用技術(shù)手段測得其密碼鍵盤1、2、4、6這4個數(shù)字鍵磨損較大，于是判斷密碼由這4個數(shù)字組成，且每個數(shù)字至少出現(xiàn)1次.通過密碼鎖生產(chǎn)廠家了解得知，該密碼是6位數(shù)，且連續(xù)輸入錯誤5次就會被永久鎖定.若以上判斷和信息均正確且再無其他線索，科技公司隨機嘗試5次密碼，能成功破解該密碼的概率為（

）A． B．C． D．8．已知平面上的點，，則的最小值為（

）A．1 B．C． D．二、多選題9．某校教學(xué)比武活動有7名評委現(xiàn)場打分，7名評委對某位選手的評分分別為a，b，c，d，e，f，g.設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、眾數(shù)分別為，s，m，z，根據(jù)計分規(guī)則，去掉一個最高分和一個最低分后，余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)、眾數(shù)分別為，，，，則以下判斷一定正確的有（

）A． B．C． D．10．如圖，在直三棱柱中，，，且，點D在線段上運動，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．平面 B．與不可能平行C．與不可能垂直 D．四棱錐的外接球面積為11．“局部周期遞歸函數(shù)”是在定義域的局部有“自相似”等類似于周期函數(shù)性質(zhì)的一類函數(shù)，我們可以采用類似于研究周期函數(shù)的方法進行研究.函數(shù)就是一個“局部周期遞歸函數(shù)”.則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．方程有5個不同的解D．若方程有10個不同的解，則三、填空題12．已知，（i為虛數(shù)單位），則函數(shù)的最大值為.13．已知拋物線，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，點是與在第一象限的一個交點，且（為原點）.則橢圓的方程是.14．已知等差數(shù)列首項為2，公差為2，前項和為，數(shù)列前項和為，且滿足.若對于任意，成立，則的最小值為.四、解答題15．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，且.點E為線段的中點.(1)在線段上取一點F，使得平面，求此時線段的長；(2)對于（1）中所求的點F，求二面角的余弦值.16．如圖，在中，，，D，E分別是邊，的中點，且.

(1)求的面積；(2)求.17．某電商平臺對其售賣的一款家電開展甲、乙兩種促銷活動，活動規(guī)則如下：參加活動的消費者只能在甲、乙兩種活動中選擇一個參加，且僅能參加一次，最多購買一臺家電；活動甲設(shè)有4個不同的選擇題、3個不同的填空題，活動乙設(shè)有3個不同的選擇題、2個不同的填空題；參加活動的消費者在所選擇的促銷活動中先后抽取2個不同的題目作答，若兩題都答對，則享受按2折購買的優(yōu)惠，答對一題可享受按5折購買的優(yōu)惠，全部答錯只能享受按8折購買的優(yōu)惠.小黃對該家電有購買需求，決定參加活動，其答對每道選擇題的概率均為0.8，答對每道填空題的概率均為0.4，每次答題相互獨立.(1)若小黃選擇參加活動乙，求第二題抽到的題目是填空題的概率；(2)該款家電原價為a元/臺，小黃應(yīng)該選擇參加甲、乙中的哪個活動？請說明理由.18．如圖，，分別為雙曲線的左、右焦點.分別為雙曲線左、右支上位于軸上方的點，且滿足，設(shè)直線與相交于點.(1)若，求直線的斜率；(2)當(dāng)點在雙曲線上運動時，（?。┳C明：為定值；（ⅱ）證明：點在一個橢圓上運動，并求出該橢圓方程.19．設(shè)函數(shù).(1)若對，成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)（?。┊?dāng)時，比較與的大?。唬áⅲ┳C明；當(dāng)，時，.

參考答案1．C【詳解】因為，則，又集合，，可得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.2．A【詳解】因為，所以.故選：A.3．C【詳解】，，，，，由，通分整理得：，，，即，，，，，故選：C4．D【詳解】記直線直線為，則直線恒過定點，記已知圓為，圓的方程，配方得：，所以圓心為，半徑，，即.當(dāng)點在已知圓外時，總存在，使得直線與圓沒有公共點，不合題意；當(dāng)點在已知圓上時，代入圓的方程得，此時圓的半徑為，圓心與軸的距離為，所以圓與軸不相切，所以一定存在，使得直線與圓相切，即只有一個公共點，不合題意；當(dāng)點在圓內(nèi)部時，對于，直線與圓都相交，即有2個公共點，符合題意.點在圓內(nèi)部時，，解得：，綜上，的取值范圍是.故選：D.5．B【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式即為，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，且，，則，整理可得，解得或，所以滿足的x的取值范圍是.故選：B.6．A【詳解】由題意知將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故，令，即，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，A正確；對于B，當(dāng)時，，由于在上不單調(diào)，故不是的單調(diào)增區(qū)間，B錯誤；對于C，時，，由于在上不單調(diào)，故不是的單調(diào)增區(qū)間，C錯誤；對于D，時，，由于在上單調(diào)遞減，故是的一個單調(diào)減區(qū)間，D錯誤；故選：A7．B【詳解】根據(jù)題意，6位數(shù)由4個數(shù)字組成，那么總可能數(shù)為種，排除“缺少1個數(shù)字”的情況：選1個數(shù)字不出現(xiàn)，剩余3個數(shù)字組成6位數(shù)，共種；補回“缺少2個數(shù)字”的情況（容斥原理）：選2個數(shù)字不出現(xiàn)，剩余2個數(shù)字組成6位數(shù)，共種；排除“缺少3個數(shù)字”的情況：選3個數(shù)字不出現(xiàn)，剩余1個數(shù)字組成6位數(shù)，共種；根據(jù)容斥原理，符合條件的密碼數(shù)為.所以能成功破解該密碼的概率為.故選：B.8．D【詳解】因為點在直線上，點在曲線上，又因為，，令，解得，可得，的最小值即為點到直線的距離.故選：D.9．BC【詳解】選項A，設(shè)，則，，無法比較的大小，故選項A錯誤；選項B，，，去掉一個最高分和一個最低分后，數(shù)據(jù)的波動性減小，故，故選項B正確；選項C，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，去掉一個最高分和一個最低分后的新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故，故選項C正確；選項D，眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，去掉一個最高分和一個最低分后，眾數(shù)可能發(fā)生變化，可能不發(fā)生變化，故不一定有，故選項D錯誤.故選：BC.10．ABD【詳解】A：由題平面，平面，所以，又因，且，平面，所以平面，因平面，所以，又，則四邊形為正方形，所以，因，平面，所以平面，故A正確；B：如圖，以點為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)，，得，所以，，假設(shè)與平行，則，即，則，無解，所以假設(shè)不成立，故與不可能平行，故B正確；C：，，若與垂直，則，則，即，又因，所以假設(shè)成立，故C錯誤；D：四棱錐的外接球就是直三棱柱的外接球，因為，可將直三棱柱補成長方體，則長方體外接球即為直三棱柱的外接球，長方體的體對角線長為(為外接球半徑)，解得，所以外接球面積為，故D正確.故選：ABD.

11．BCD【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)或時，，作出函數(shù)的圖象如下：由圖可知，函數(shù)的值域為，故A錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；由于函數(shù)與有5個交點，則方程有5個不同的解，故C正確；對于D，令，因為方程有10個不同的解，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)，顯然，則這兩個根分別在、內(nèi)，有，解得，故D正確.故選：BCD12．/【詳解】因為，整理得，所以，解得：，，所以，利用輔助角公式化簡得，又因為余弦函數(shù)的值域是，所以當(dāng)時，取得最大值，即.故答案為：.13．【詳解】由拋物線方程可得，因為點是與在第一象限的一個交點，且，所以軸，設(shè)，代入解得，由題意可得橢圓的左焦點為，右焦點為，則，所以，，，所以橢圓的方程是，故答案為：.14．/【詳解】因為數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，，所以，所以，對于任意，成立，只需即可，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值，所以，即，所以的最小值為，故答案為：15．(1)1(2)【詳解】（1）因為底面，，以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，可得，且平面的一個法向量為，若平面，則，可得，解得，所以線段的長為1.（2）由（1）可知：，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.16．(1)(2)【詳解】（1）以點A為坐標(biāo)原點，為x軸，過點A作垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，由于，則，則，故，而，故，即，即，結(jié)合，得，即得，則，故的面積為；（2）結(jié)合（1）的分析可知，的面積為,則，即,故.17．(1)(2)應(yīng)該選擇參加乙活動，理由見解析【詳解】（1）由題意，小黃第1題抽到選擇題的概率為，第1題抽到填空題的概率為，則小黃第二題抽到的題目是填空題的概率為.（2）由題意，小黃答對每道選擇題的概率均為，答對每道填空題的概率均為，若小黃選擇參加甲活動，設(shè)答對題目數(shù)為，則的可能取值為，所以，，，則小黃參加甲活動花費金額的數(shù)學(xué)期望為；若小黃選擇參加乙活動，設(shè)答對題目數(shù)為，則的可能取值為，所以，，，則小黃參加乙活動花費金額的數(shù)學(xué)期望為.由于，所以小黃應(yīng)該選擇參加乙活動.18．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）雙曲線兩個焦點坐標(biāo)為，由可知，，故，兩條平行線設(shè)為，分別與聯(lián)立，得，進而有將②-①×9得，，代入①式得，因為，所以，故，所求斜率為.（2）（?。┓謩e延長線段與雙曲線交于，由于，由雙曲線的對稱性可知，，四邊形是平行四邊形，其中心為原點，關(guān)于原點對稱，故，設(shè)，且，聯(lián)立，，，所以.由兩點距離公式，，所以，由韋達定理，，（ⅱ）設(shè)，由(i)知，即：，由雙曲線的定義知，，由于，根據(jù)平面幾何知識，，所以，，由橢圓定義知，點在以為焦點，長軸長為的橢圓上