宜賓市普通高中2023級(jí)第一次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．2．如圖所示，，則圖中陰影部分表示的集合是（

）

A． B． C． D．3．下列四個(gè)條件中，使成立的充要條件是（

）A． B．C． D．4．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，其回歸直線方程是，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．15．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．7．若函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．-4 B．-3 C．3 D．48．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．10 D．不存在二、多選題9．下列結(jié)論正確的有（

）A．若隨機(jī)變量，則B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則C．在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差比較均勻分布在以取值為的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度越窄表示回歸效果越差D．若隨機(jī)事件A，B滿足：，則事件與相互獨(dú)立10．已知，下面結(jié)論正確的是（）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．在上恰有3個(gè)零點(diǎn)D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱11．已知函數(shù).，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．有唯一零點(diǎn)B．不等式的解集為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．有兩個(gè)極值點(diǎn)三、填空題12．若直線是曲線的一條切線，則.13．已知集合，集合，則集合的元素之和等于.14．甲乙兩人分別從標(biāo)有數(shù)字的13張卡片中各抽取一張，甲乙取得的卡片上的數(shù)字分別記為，，則滿足的個(gè)位數(shù)字為9的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.四、解答題15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角A；（2）已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，且，求的余弦值.16．如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，與均為等邊三角形，且.

（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.17．已知函數(shù).（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得為函數(shù)的極小值點(diǎn).若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若圖象上總存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的取值范圍.18．2025年政府工作報(bào)告明確提出持續(xù)推進(jìn)“人工智能+”行動(dòng).上海某人工智能實(shí)驗(yàn)室的多模態(tài)大模型在某次數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中表現(xiàn)特別突出，所有測(cè)評(píng)試題能得1分的可能性為，能得2分的可能性為，假設(shè)每道試題得分情況相互獨(dú)立.（1）從所有測(cè)評(píng)試題中隨機(jī)抽取4道試題，記這4道題得分總數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從所有測(cè)評(píng)試題中隨機(jī)抽取n道試題，記這n道題得分總數(shù)為的概率為，求的值；（3）已知王老師班有20名學(xué)生分別用模型解答該數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中最后一題.若王老師按照這20人的總分概率最大為依據(jù)，一分獎(jiǎng)勵(lì)一朵小紅花，請(qǐng)問(wèn)王老師應(yīng)該提前準(zhǔn)備多少朵小紅花比較合理？19．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為?，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的左支交于A?B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方）.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將平面沿x軸折疊，記y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）所成的二面角為.（i）如圖1，當(dāng)時(shí)，求折疊后的值；（ii）如圖2，當(dāng)時(shí)，求折疊后的線段長(zhǎng)度的取值范圍.

參考答案1．D【詳解】已知為虛數(shù)單位，則,故選：D2．C【詳解】，，，選項(xiàng)C正確.故選：C.3．D【詳解】對(duì)于AB，取，都滿足，而不成立，因此都不是成立的充分條件，AB不是；對(duì)于C，，因此是成立的充分不必要條件，C不是；對(duì)于D，，因此是成立的充要條件，D是.故選：D4．B【詳解】由可知，.因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，即，將其坐標(biāo)代入方程可得，解得，故選：B.5．A【詳解】因?yàn)榻墙K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則.故選：A6．C【詳解】根據(jù)題意，，，，即，，．故選：C．7．B【詳解】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，得，解得，，所以.故選：B8．A【詳解】展開(kāi)式為，令，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，，因?yàn)?，所以，解得，所以，，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)殡S著的增大而減小，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨著的增大而減小，且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨著的增大而增大，且，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：A9．AD【詳解】對(duì)于，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式，因，所以可得，故正確；對(duì)于，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對(duì)稱，，由對(duì)稱性可知，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差均勻分布在以橫軸為的對(duì)稱軸水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄回歸效果越好，反之越差，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若，則事件相互獨(dú)立，因?yàn)椋郑肟傻?，而，所以事件與相互獨(dú)立，故正確.故選：10．ABD【詳解】，所以，故A正確；令，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且是關(guān)于的一次函數(shù)，且單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；令，則，，解得，，當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，共4個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)為，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故D正確．故選：ABD11．BCD【詳解】對(duì)于A，依題意得，即和是函數(shù)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，求導(dǎo)得，令，，令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，得到，則，令，則即可，所以或，解得，故B正確，對(duì)于C，由題意得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，令，則，可得在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，而，則在上遞增，可得，因此在上遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，而，則，由零點(diǎn)存在性定理得存在，使得，則，當(dāng)時(shí)，，得到在上單調(diào)遞增，則，，即當(dāng)時(shí)，，則，則在上單調(diào)遞減，且由選項(xiàng)C得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，得到在上單調(diào)遞減，而，則，由零點(diǎn)存在性定理得存在作為零點(diǎn)，也是零點(diǎn)，令，，令，，此時(shí)，，令，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由已知得，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，則，而，得到，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，綜上可得，在上單調(diào)遞減，而，則，即，可得在上單調(diào)遞增，綜上可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得到有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.故選：BCD12．【詳解】設(shè)直線與曲線相切于，則；所以，解得，所以；又，所以，解得.故答案為：.13．80【詳解】因?yàn)榧?，集合，可得，所以集合的元素之和?故答案為：80.14．33【詳解】若滿足的個(gè)位數(shù)字為9，則先討論的個(gè)位數(shù)字情況，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的周期為，只能為，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)時(shí)，個(gè)位數(shù)字為，發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的周期為，只能為，若滿足的個(gè)位數(shù)字為9，則有如下情況，的個(gè)位數(shù)字為與的個(gè)位數(shù)字為，的個(gè)位數(shù)字為與的個(gè)位數(shù)字為，的個(gè)位數(shù)字為與的個(gè)位數(shù)字為，當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，有種符合題意的情況，當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，有種符合題意的情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種情況，當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，有種符合題意的情況，當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，有種符合題意的情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種情況，當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，有種符合題意的情況，當(dāng)?shù)膫€(gè)位數(shù)字為時(shí)，有種符合題意的情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種情況，由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有種情況.故答案為：3315．（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，即，即，且，則，可得，即，且，所以.（2）因?yàn)?，，由題意可知：，又因?yàn)?，，則，即；，即；且；可得，所以的余弦值為.16．（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）如圖，作的中點(diǎn)，連接，則；

又，平面，所以平面；又平面，所以；（2）如圖，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交于，則；作的中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形；

設(shè)，則，，由余弦定理得，又，所以，所以；由（1）知，平面，又平面，所以；所以兩兩相互垂直，故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則；所以，所以，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，化簡(jiǎn)得，令，則，所以；易知是平面的一個(gè)法向量；所以；所以平面與平面所成角的余弦值.17．（1）不存在，理由見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）不存在，理由如下：由知的定義域?yàn)?，且，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則，即，解得，此時(shí)，所以是減函數(shù)，與為函數(shù)的極小值點(diǎn)矛盾，所以假設(shè)不成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得為函數(shù)的極小值點(diǎn)；（2）若圖象上總存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則在上有解，即在上有解，整理得，令，得，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在上有解，令，則；①當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，又，所以，所以在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，又，所以，所以在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，又時(shí)，，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知在上必存在零點(diǎn)，符合題意；綜上，的取值范圍是.18．（1）分布列見(jiàn)解析，5；（2）；（3）25朵.【詳解】（1）由題意知得分總數(shù)的所有可能取值為4，5，6，7，8，其中，，，，，所以的分布列為45678.（2）因?yàn)閚道題得分總數(shù)為，所以其中只有1道題得到2分，所以，則，所以，兩式相減得，所以．（3）在這20名學(xué)生中，設(shè)得到1分的人數(shù)為，則得到2分的人數(shù)為，所以得到的總分，此時(shí)得到的總分的概率為，所以，整理得，解得，而，，所以，所以，所以若王老師按照這20人的總分概率最大為依據(jù)，一分獎(jiǎng)勵(lì)一朵小紅花，王老師應(yīng)該提前準(zhǔn)備25朵小紅花比較合理.19．（1）（2）（i）；（ii）【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以，又因?yàn)椋?因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離為1，取漸近線的方程為，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）在折疊前（如圖），可知左焦點(diǎn)，又，所以直線的方程為.將其代入雙曲線方程，消去整理可得，設(shè)交點(diǎn)，，則，，分別代入，可得，，所以，，所以；在折疊后（如圖1），因?yàn)?，所以平面平面，易知原軸正半軸垂直于平面，進(jìn)而原軸正半軸垂直于原軸，也垂直于原軸負(fù)半軸.以射線方向?yàn)檩S正方向，原軸負(fù)方向?yàn)檩S正方向，原軸正方向?yàn)檩S正方向，