專題04圓與方程9大題型內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程形式過(guò)原點(diǎn)圓心在原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)與x軸相切與y軸相切知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在圓外；（2）點(diǎn)在圓上；（3）點(diǎn)在圓內(nèi).圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離：設(shè)圓心到定點(diǎn)的距離為,圓的半徑為,圓上的動(dòng)點(diǎn)為，則.知識(shí)點(diǎn)3：圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)時(shí),方程表示一個(gè)圓．我們把方程叫做圓的一般方程．2．對(duì)方程的說(shuō)明對(duì)方程配方得，與0的大小關(guān)系對(duì)方程圖形的影響如下表：條件圖形不表示任何圖形表示一個(gè)點(diǎn)表示以為圓心,以為半徑的圓知識(shí)點(diǎn)4：直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，判別式為圖形知識(shí)點(diǎn)5：圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系的判定方法有幾何法和代數(shù)法兩種，如下表：位置關(guān)系幾何法代數(shù)法圖示外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含【題型01求圓的方程】1．以為圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題可知，，所以圓的半徑，又以為圓心，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故選：D．2．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)所求圓的方程是.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，因?yàn)椋遥允侵苯侨切?，所以的斜邊的中點(diǎn)，即為外接圓的圓心，斜邊的一半即為外接圓的半徑，即，所以的外接圓的方程為.故選：D3．已知，，則以為直徑的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以圓心為，即，，所以圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的一般方程為.故選：A.4．在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、，則內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【詳解】由題意可知，直線的方程為，即，由題意可知的角平分線所在直線的方程為，如下圖所示：

設(shè)內(nèi)切圓圓心為，則圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，整理可得，因?yàn)?，解得，故圓心為，圓的半徑為，所以內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.5．已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點(diǎn)分別為，，則圓的方程為．【答案】【詳解】設(shè)圓的方程為，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以，因?yàn)閳A與軸的交點(diǎn)分別為，，所以，所以有，所以圓的方程為.故答案為：6．求經(jīng)過(guò)圓與圓的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程．【答案】【詳解】過(guò)兩圓和交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為：（注：時(shí)表示兩圓公共弦所在直線），整理得，兩邊同除得：，因此所求圓的圓心為，由已知所求圓的圓心在直線：上，，解得，代入圓系方程，則所求圓的方程為．【題型02直線與圓的位置關(guān)系】7．已知直線，圓，則直線和圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】由，可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)，直線和圓相交．故選：A．8．（多選）過(guò)點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可以是（

）A． B．2 C． D．【答案】AD【詳解】法一：由題意，直線l的斜率存在，且設(shè)為k，則直線l的方程為，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以聯(lián)立，得，判別式，解得.法二：設(shè)直線l的方程為，即，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，則，解得.故選：AD9．已知圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑，圓心到直線，即的距離，由圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，得，即，解得或．故選：C．10．若圓：上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【詳解】圓：的圓心，半徑，由圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，得圓心到直線的距離為，則，解得或.故選：D.11．已知曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，變形得到，故曲線軌跡為以為圓心，2為半徑的上半圓，而恒過(guò)定點(diǎn)，把半圓和直線畫出，如下：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，滿足兩個(gè)相異的交點(diǎn)，且此時(shí)取得最大值，最大值為，當(dāng)與相切時(shí)，由到直線距離等于半徑可得，解得，故要想曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，則，故D正確.故選：D【題型03圓與圓的位置關(guān)系】12．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【答案】A【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，因?yàn)?，所以，即，所以圓與圓相交.故選：A.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓，則兩圓的公切線的條數(shù)是．【答案】4【詳解】由圓的方程，即可知圓的圓心為，半徑為；由圓的方程，即可知圓的圓心為，半徑為.所以兩圓的圓心距為，而，所以圓與圓外離，則兩圓的公切線的條數(shù)是4.故答案為：4.14．圓與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以圓心距，又圓與圓相交，所以，即，又，所以解得：，故選：C.15．已知與相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，則，解得或，，兩圓相交，，恒成立，則只需滿足，，化簡(jiǎn)得，解得或，綜上，的取值范圍為，故A正確．故選：A．16．已知圓與圓內(nèi)切，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【詳解】將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由兩圓內(nèi)切得到，則，即，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，右邊等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，左邊等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D.17．求過(guò)直線和圓的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓方程．【答案】【詳解】設(shè)所求圓的方程為：，即，因?yàn)樗髨A過(guò)原點(diǎn)，所以，得，故所求圓的方程為：．18．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求圓的半徑和圓心的坐標(biāo)；(2)若圓與圓相切，求.【答案】(1)圓的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為.(2)或.【分析】【詳解】（1）設(shè)圓.由題意得，解得，所以圓，配方得圓.故圓的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為.（2）由題意得圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式可得，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，，解得，當(dāng)圓與圓外切時(shí)，，解得，所以或.【題型04弦長(zhǎng)問(wèn)題】19．已知直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】易知，所以，且，圓的半徑為，則到的距離為，所以，由知.故選：C20．過(guò)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為.【答案】2【詳解】由于，故點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)圓心到直線的距離為d，則，當(dāng)時(shí)，d取最大值，此時(shí)，則的最小值為，故答案為：221．直線：被圓：所截得的弦長(zhǎng)為.【答案】【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：22．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)的面積為S，則S的最大值是【答案】【詳解】由題意可知圓心，半徑，設(shè)，則圓心到l的距離為，即，所以，則令，顯然，即，當(dāng)時(shí)取得最大值.故答案為：23．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線L與圓C交于兩點(diǎn)，如果，求直線L的方程.【答案】(1)(2)或【分析】【詳解】（1）因?yàn)锳，B的中點(diǎn)為，故AB的垂直平分線所在的直線方程為，由解得，故圓心為，半徑，故圓C的方程為；（2）當(dāng)直線L斜率不存在時(shí)，直線L的方程為，此時(shí)直線L與圓C交于，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線L斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為，即，由，可得圓心到直線L的距離為，解得，故直線L的方程為或.24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能否出現(xiàn)的情況，并說(shuō)明理由；(2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值，并求出該定值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】【詳解】（1）總能出現(xiàn)，理由如下：在中，令，得，因?yàn)椋郧€一定與橫軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，，因此，于是有，所以，所以總能出現(xiàn).（2）因?yàn)?，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心為的中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即，所以圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，在中，令，得，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，是定值.【題型05公共弦問(wèn)題】25．圓與圓的公共弦所在的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C．5 D．【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑，圓圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因此圓與圓相交，將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程：，圓心到直線的距離，因此所求弦長(zhǎng)為.故選：A26．若直線l過(guò)點(diǎn)，且與和的公共弦平行，則直線l的方程為．【答案】【詳解】將兩圓的方程和作差，公共弦所在的直線方程為，整理得.因?yàn)橹本€l與公共弦平行，所以可設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，將的坐標(biāo)代入l的方程可得，解得，所以直線l的方程為.故答案為：.27．已知圓和圓相交，則兩圓的公共弦長(zhǎng)是；若點(diǎn)在兩圓的公共弦所在直線上，則的最小值為．【答案】【詳解】圓和圓，兩圓方程相減，得，化簡(jiǎn)得，兩圓的公共弦所在直線方程為，又圓，其圓心坐標(biāo)，半徑，圓心坐標(biāo)到公共弦所在直線方程為的距離為，兩圓的公共弦長(zhǎng)為，點(diǎn)在兩圓的公共弦所在直線上，，即，，又，故，根據(jù)均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立.的最小值為.故答案為：；.28．已知圓與圓相交于、兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【詳解】圓，即，則圓心為，半徑為1，，設(shè)，由題意可知，為的中點(diǎn)，，，故四邊形的面積為，則，故，所以，所以，又因?yàn)?，所以，得，解得，因此．故選：D．29．已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)過(guò)圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)為、，求經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程．【答案】(1)；(2).【分析】【詳解】（1）∵圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn)，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，∴圓心，半徑，故圓的方程為.（2）由于過(guò)圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線切點(diǎn)為、，則、是以為直徑的圓與圓的交點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)、兩切點(diǎn)的直線方程即為這兩個(gè)圓的公共弦方程．由于，以為直徑的圓的方程為：，整理得：．聯(lián)立，則，所以經(jīng)過(guò)、兩切點(diǎn)的直線方程為.30．已知圓，圓．(1)若圓與圓恰有條公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，圓與圓相交于兩點(diǎn)，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】【詳解】（1）因?yàn)閳A與圓恰有條公切線，所以圓與圓相交，又圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑所以，故，所以，解得；（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程可化成，所以，所以，因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，所以所在的直線方程為，化簡(jiǎn)得：，所以到直線的距離為，所以，又，所以四邊形的面積為【題型06切線問(wèn)題與公切線問(wèn)題】31．過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】圓的圓心為，則直線的斜率，因?yàn)檫^(guò)圓上一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)和圓心所在的直線垂直，即，所以，則切線的斜率，所以直線的方程為，即.故選：C.32．過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以．所以，故選：D33．點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)P向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.【答案】【詳解】由題意得圓的圓心為，將化為一般方程，可得，在直線上取一點(diǎn)P，過(guò)P向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為A．連接，如圖，作出符合題意的圖形，在中，．要使最小，則應(yīng)最?。之?dāng)與直線垂直時(shí)，最小，其最小值為，故由勾股定理得的最小值為．

故答案為：.34．寫出與圓和都相切的一條直線的方程.【答案】，，，(寫一條即可）【詳解】圓的圓心為，，圓的圓心為，，圓心距，兩圓外離，因此存在四條公切線.設(shè)所求直線的方程為，化為一般式為：，依題意得：，解得：或或或，故公切線方程為：，，，.故答案為：，，，（寫一條即可）.35．已知為直線上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，則最短切線長(zhǎng)為．【答案】【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線為切點(diǎn)，連接，如圖3：顯然，在中，，因此，要切線長(zhǎng)最短，當(dāng)且僅當(dāng)線段長(zhǎng)最短即可，而線段長(zhǎng)是定點(diǎn)C與直線l上任意一點(diǎn)P之間的距離，于是得線段長(zhǎng)的最小值是點(diǎn)C到直線l的距離d，而，因此，，所以切線長(zhǎng)最短為．故答案為：．36．如圖，是兩圓輪疊靠在墻邊，已知兩輪半徑分別為2和1，則它們與墻的切點(diǎn)A，B間的距離為.【答案】【詳解】如圖所示，因?yàn)閳A與圓相外切，所以連接，則.延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn).，所以，所以點(diǎn)分別為的中點(diǎn).所以，所以，所以.故答案為：37．已知圓的圓心在直線上，圓與直線相交于兩點(diǎn)，且．(1)求圓的方程；(2)已知直線過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】【詳解】（1）由圓的方程得圓心，因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，故圓心坐標(biāo)為，取中點(diǎn)為，連接，所以，圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以，在直角中，，即，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，則直線方程為，即，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.【題型07與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題】38．已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為，則的值為（

）A． B． C．0 D．4【答案】B【詳解】設(shè)阿波羅尼斯圓的圓心為，半徑為，因?yàn)榘⒉_尼斯圓方程為，所以.因?yàn)?，，所以，代入阿氏圓的常用公式，可得，又，解得.又由阿氏圓的常用公式，可得.所以．故選：B39．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡為（

）A．橢圓 B．圓 C．射線 D．直線【答案】B【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡就是以圓心為，半徑為2的圓.故選：B40．已知圓，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，得為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)，而點(diǎn)在圓上，因此，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B41．設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，且，則點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【詳解】圓的圓心為，半徑，由切圓于點(diǎn)，得，而，則，即，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：42．點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.【答案】【詳解】因?yàn)橹本€即過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，所以，所以M的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為，半徑，由得，點(diǎn)N在圓C的外部，如圖：

，故答案為：.43．已知圓O：，直線l：，點(diǎn)，點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)Q到直線l距離的最大值為.【答案】/8.8【詳解】設(shè)，由有，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)軌跡是以為半徑，圓心為的圓，由圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為：，故答案為：.44．已知，兩點(diǎn)．(1)求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)滿足為的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)．（除兩點(diǎn)）.【分析】【詳解】（1）因?yàn)闉橹睆?，則的中點(diǎn)為，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，（1）知，點(diǎn)的軌跡方程為，將代入得，即.又∵，∴，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．（除兩點(diǎn)）.【題型08與圓有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題】45．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓交于兩點(diǎn)，且的面積為1，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓的方程可化為，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.設(shè)圓心到直線的距離為，根據(jù)的面積為1，得，即，所以，即.設(shè)的中點(diǎn)為，則，，因?yàn)?，所?由，得,的最大值為圓心到直線的距離加上圓的半徑，即，所以的最大值為.故選：B46．已知，，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，由得，，整理得，所以點(diǎn)P在以為圓心，半徑為2的圓上．點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，該圓的圓心為，半徑為1，如圖，有圖可知，當(dāng)，時(shí)，才有可能取得最小值，設(shè)圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則，連接，則，當(dāng)C，M，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值．設(shè)，則，解得，即，所以，則的最小值為．故選：C47．已知直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【詳解】圓變形可得，圓心為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓心，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：A48．已知圓C：，若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，所以，所以，由得，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

故選：D49．已知，是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的最大值是.【答案】【詳解】由題知，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)椋裕O(shè)為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．即點(diǎn)的軌跡是以為圓心半徑為的圓.設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，所以，，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，所以．所以的最大值為18．故答案為：1850．平面內(nèi)有A、B、C、D四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若分別是、的角平分線，線段的最大值為．【答案】4【詳解】由可知E點(diǎn)在線段上，且結(jié)合，知；以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為x軸，過(guò)點(diǎn)E作垂線為y軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，由于CE是的角平分線，故，即，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)C在以為圓心，半徑為2的圓上（不包括軸上的點(diǎn)），同理可得點(diǎn)D也在以為圓心，半徑為2的圓上（不包括軸上的點(diǎn)），則當(dāng)位于圓的直徑的兩端時(shí)，線段取到最大值，最大值為4，故答案為：4【題型09直線與圓的新定義問(wèn)題】51．對(duì)于兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義如下：若兩直線中至少有一條與圓相切，則稱該位置關(guān)系為“平行相切”：若兩直線都與圓相離，則稱該位置關(guān)系為“平行相離”：否則稱為“平行相交”.已知直線，與圓的位置關(guān)系是“平行相交”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，直線與平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意.由圓可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，由與圓相切，可得，由與圓相切，可得，當(dāng)、與圓都相離時(shí)，則，故當(dāng)直線、與圓的位置關(guān)系是“平行相交”時(shí)，實(shí)數(shù)應(yīng)滿足，故實(shí)數(shù)的取值范圍是且.故選：A.52．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，定義為“曼哈頓距離”.若，且，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為；若為圓上任意一點(diǎn)，則最大值是.【答案】【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，可得，則，由，可得，則，由，可得，則，由，可得，則，所以點(diǎn)的軌跡所圍成圖形如下圖示，軌跡是邊長(zhǎng)為的正方形，故其面積為8，由圖及以上分析知，直線上的線段存在點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最大，由的圓心為，半徑，則到的距離為，而到的距離為，到的距離為，顯然，綜上，線段上到圓上點(diǎn)的最大距離.故答案為：8，53．已知點(diǎn)，，定義為，的“對(duì)稱距離”．若點(diǎn)，在圓：上，則，的“對(duì)稱距離”的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】點(diǎn)，的“對(duì)稱距離”，相當(dāng)于點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)的距離，所以當(dāng)點(diǎn)，在圓上時(shí)，點(diǎn)在圓關(guān)于的對(duì)稱圓上，又圓心到直的距離，所以圓與相離，從而圓與圓外離．所以，的“對(duì)稱距離”的最小值，即為兩圓上的點(diǎn)，的距離的最小值，也即點(diǎn)到的距離的最小值的兩倍，其中點(diǎn)到的距離最小值為圓心到直的距離減去半徑，即，所以所求最小值為．故選：D一、單選題1．若直線與圓相切，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【詳解】由配方得，則圓心為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，則,即，解得.故選：C.2．已知直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】由題意知圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線和圓相交.故選：A.3．已知圓C：，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且，，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【詳解】

圓C：，半徑，取中點(diǎn)M，則，記，，所以，在中，由勾股定理，，由極化恒等式，，代入消元得：.故選：B4．已知圓C：，定點(diǎn)，點(diǎn)A為圓C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，，由得：，即，解得：，即，又因?yàn)辄c(diǎn)A為圓C上任意一點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)整理得：．故點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C點(diǎn)坐標(biāo)，而的取值范圍為，經(jīng)計(jì)算易知.故選：A．5．已知圓，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則的值可能為（）A．2 B． C． D．5【答案】D【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)，因?yàn)?，即，整理可得，可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，由題意可知：圓與圓有公共點(diǎn)，則，可得，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)可知ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D．6．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他在《平面軌跡》中提出，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為非1定值的點(diǎn)的軌跡是圓（后人稱為“阿氏圓”）.已知在平面Oxy內(nèi)，，，，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立.設(shè).因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，，所以直線的方程為.由得或因?yàn)樵诰€段上，所以，則的坐標(biāo)為.故選：A二、多選題7．已知直線與圓，設(shè)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相切B．若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離C．若點(diǎn)在圓內(nèi)，且異于原點(diǎn)，則直線與圓相離D．若點(diǎn)在圓上，則直線與軸，軸圍成的三角形面積的最小值為1【答案】ACD【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，選項(xiàng)A：點(diǎn)在直線上，則，此時(shí)，直線與圓相切，故A正確.選項(xiàng)B：點(diǎn)在圓外，則，此時(shí)，直線與圓相交，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：點(diǎn)在圓內(nèi)，則，此時(shí)，直線與圓相離，故C正確.選項(xiàng)D：點(diǎn)在圓上，則.直線與軸交于（），與軸交于（），圍成三角形的面積為.由，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，面積最小值為1，故D正確.故選：ACD8．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，其“歐拉線”為，圓，則下列正確的是（

）A．過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為B．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則C．若，則圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為D．當(dāng)時(shí)，圓與圓的公切線有3條【答案】ACD【詳解】依題意，的重心，直線斜率，邊上的高所在直線方程為，即，直線斜率，邊上的高所在直線方程為，即，由，解得，即的垂心，歐拉線的斜率，方程為，即，圓心，半徑，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則圓心到直線的距離，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離，因此圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，圓心，而圓的圓心，半徑，，則圓與圓外切，有3條公切線，D正確.故選：ACD三、填空題9．過(guò)，，三點(diǎn)圓的方程為.【答案】（或）（兩種形式均正確）【詳解】設(shè)所求圓的方程為，由已知三點(diǎn)在圓上，，解得，所以圓的方程為，即.故答案為：（或）（兩種形式均正確）.10．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線，分別與圓相切于點(diǎn)，，則四邊形的面積最小值為.【答案】【詳解】由題意有：圓，半徑為，所以四邊形的面積為：，當(dāng)最小時(shí)，四邊形的面積最小，又點(diǎn)到直線的距離為：，所以，所以四邊形的面積最小值為，故答案為：.11．若分別為圓，與圓上的動(dòng)點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，又由，可得圓心，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，因?yàn)殛P(guān)于，則，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故