1、,利息理論應(yīng)用,第2章1,第二章年金,年金(annuity),指以相等的時(shí)間間隔進(jìn)行,的一系列收付款行為也指以固定的時(shí)間周期以相,對固定的方式發(fā)生的現(xiàn)金流例如投保領(lǐng)保房,貸等,注C默認(rèn)為確定年金(annuity-certain)即無條件,確定發(fā)生的年金,注C默認(rèn)考慮的現(xiàn)金流的金額與利率無關(guān),但現(xiàn),金流在不同時(shí)刻的時(shí)間價(jià)值與利率水平有關(guān),利息理論應(yīng)用,第2章2,v年金現(xiàn)金流是許多復(fù)雜現(xiàn)金流的基礎(chǔ)是利率計(jì),算的最直接的一種應(yīng)用,v年金的計(jì)算問題主要包括年金的現(xiàn)值和終值計(jì),算兩大類,付款期(paymentperiod),指兩次年金收取,之間的時(shí)間間隔,注C默認(rèn)為時(shí)間間隔相等,利息理論應(yīng)用,第2章3,

2、2.1基本年金,基本年金,一種最簡單的年金方式,滿足,1付款時(shí)期間隔相等,2每次付款額度相同,3付款的頻率與計(jì)息的頻率相同,基本年金主要可分為期末年金和期初年金兩種典型,情形,利息理論應(yīng)用,第2章4,期末年金(annuity-immediate),期末年金,年金的現(xiàn)金流在第一個(gè)付款期末首,次發(fā)生,隨后依次分期進(jìn)行,n期標(biāo)準(zhǔn)期末年金,每次的年金金額為1個(gè)貨幣,單位現(xiàn)金流在第一個(gè)付款期末首次發(fā)生共計(jì)n次,時(shí)間流程圖,1,1,0,1,n,an|=v+v+L+v=,利息理論應(yīng)用,第2章5,記號an|i,表示比較日選為0時(shí)刻的n期標(biāo)準(zhǔn),期末年金的所有年金金額的現(xiàn)值之和簡記an|,注C記號an|i也可以表

3、示利率i環(huán)境中的標(biāo)準(zhǔn)期末,年金的現(xiàn)金流,注C記號an|i中a,是年金的英文單詞的第一個(gè),字母,n表示年金現(xiàn)金流的次數(shù),i表示年金的計(jì),算利率,計(jì)算公式為,n,2n,1vi,利息理論應(yīng)用,第2章6,基本公式,1,1=ian|+vn,即,0時(shí)刻一個(gè)貨幣單位的價(jià)值,=(0,n上每次利息收入i的現(xiàn)金流價(jià)值(ian|),+,n時(shí)刻一個(gè)貨幣單位的現(xiàn)值(vn),an|,1an|,21=,即,0時(shí)刻一個(gè)貨幣單位的價(jià)值,1an|,利息理論應(yīng)用,第2章7,記號sn|i,表示標(biāo)準(zhǔn)期末年金的所有年金金額在,年金結(jié)束時(shí)刻的終值之和,簡記,sn|,計(jì)算公式為,(1+i)n1i,=,sn|i=1+(1+i)+(1+i)2+

4、L+(1+i)n1,基本公式,1,(1+i)n=1+isn|,利息理論應(yīng)用,第2章8,即,0時(shí)刻一個(gè)貨幣單位在n時(shí)刻的價(jià)值,=(0,n上每次利息收入i的現(xiàn)金流終值(isn|),+n時(shí)刻一個(gè)貨幣單位,本金,sn|,1sn|,21=,即,n時(shí)刻一個(gè)貨幣單位的價(jià)值,1sn|,=+i,利息理論應(yīng)用,第2章9,sn|與an|關(guān)系式,1)sn|=an|(1+i)n,注,C(1+i)n為期初到期末的累積因子,2),11an|sn|,注C由1,可得,利息理論應(yīng)用,第2章10,11sn|an|(1+i)n,1+(1+i)n1an|(1+i)n1an|,=,例,Findthepresentvalueofanann

5、uitywhichpays,$500attheendofeachhalf-yearfor20yearsifthe,rateofinterestis9%convertiblesemiannually.,利息理論應(yīng)用,第2章11,解,PV=500a40|.045=50018.4016=9200.80,注C年金的要求是定期支付,間隔相等,但卻不,一定是年度的具體計(jì)算可利用年金表或直接,做數(shù)值計(jì)算,例,Ifapersoninvests$1000at8%perannum,convertiblequarterly,howmuchcanbewithdraw,attheendofeveryquartertou

6、seupthefund,exactlyattheendof10years?,=36.56,利息理論應(yīng)用,第2章12,解季度實(shí)利率=2%從而有,1000=Ra40|.02,解出,100027.3555,1000a40|.02,R=,例現(xiàn)有十年期50萬元貸款年利率8%試比較以,下三種還貸方式的應(yīng)付利息情況,利息理論應(yīng)用,第2章13,A在第十年底一次付清,B每年底償還當(dāng)年的利息本金最后一次付清,C每年底償還固定的金額十年還清,解,方式A在第十年底的一次還款為,10,其中的利息為1,079,462.50500,000=579,462.50,應(yīng)付利息約為五十八萬元,利息理論應(yīng)用,第2章14,方式B,每年

7、所付利息為500,0008%=40,000,總的利息付出為40,00010=400,000,應(yīng)付利息為四十萬元,方式C,設(shè)每年的還款額為R價(jià)值方程,Ra10|.08=500,000,解出,=74,514.54,利息理論應(yīng)用,第2章15,500,0006.710081,500,000a10|.08,R=,10年的付款總額為74,514.54,10=745,145.4,其中的利息總額為745,145.4500,000=245,145.4,應(yīng)付利息約為25萬元,注C雖然三種應(yīng)付利息結(jié)果不同,但所有還款的現(xiàn),值是相同的=原始貸款額,思考,為什么方式C的利息金額較方式A和方式B,明顯的小,利息理論應(yīng)用,

8、第2章16,期初年金,annuity-due,期初年金,在合同生效時(shí)立即發(fā)生首次的現(xiàn)金,流,隨后依次分期進(jìn)行的年金方式,n期標(biāo)準(zhǔn)期初年金,每次的年金金額為1個(gè)貨幣,單位在合同生效時(shí)立即發(fā)生首次的現(xiàn)金流共計(jì),n次,時(shí)間流程圖,1,1,1,1,0,1,2,n1,n,利息理論應(yīng)用,第2章17,記號a&n|i,表示標(biāo)準(zhǔn)期初年金的現(xiàn)值之和,1vnd,=,a&n|i=1+v+v2+L+vn1,記號&s&n|i,表示標(biāo)準(zhǔn)期初年金的終值之和,(1+i)n1d,=,&sn|i=(1+i)+(1+i)2+L+(1+i)n,=+d,利息理論應(yīng)用,第2章18,a&n|i與&s&n|i的關(guān)系式,1,&sn|i=a&n|

9、i(1+i)n,2,as,11&n|&n|,注C注意與期末年金的相應(yīng)公式比較,利息理論應(yīng)用,第2章19,期末年金與期初年金的關(guān)系式,1,a&n|i=(1+i)an|i,2,&sn|i=(1+i)sn|i,3,a&n|i=1+an1|i,4,&sn|i=sn+1|i1,注C從現(xiàn)金流的角度來考慮,利息理論應(yīng)用,第2章20,例某人現(xiàn)在開始每年定期地投入相同的一筆錢希,望在第十二年底下一年度定期投入的前一瞬間得,到1百萬元的回報(bào),如果年利率為7%試計(jì)算每年,的投入金額,解設(shè)每年的投入額為R,第十二年底的價(jià)值方程為,Rs&12|.07=1,000,000,從而有,s,1,000,0001,000,000

10、&12|.0719.14064,即每年初投入5萬2千元到12年底總累積值為1百萬元,利息理論應(yīng)用,第2章21,遞延年金,deferredannuity,遞延年金,若年金的首次發(fā)生是遞延了一段時(shí),間后進(jìn)行的,遞延m期的遞延年金時(shí)間流程圖,1,1,0,1,2,m,m+1,m+n,利息理論應(yīng)用,第2章22,從現(xiàn)金流看,該年金相當(dāng)于一個(gè)m+n期期末年,金扣除一個(gè)m期期末年金即,an+m|iam|i其數(shù),值等于man|i,結(jié)論遞延年金的現(xiàn)值為兩個(gè)定期年金的現(xiàn)值之差,思考遞延年金的終值是否也為兩個(gè)定期年金的終,值之差,注C類似的有,遞延m期的n期標(biāo)準(zhǔn)期初年金,a|i=v+v+L=,利息理論應(yīng)用,第2章23

11、,永久年金,永久年金perpetuity,若年金的支付現(xiàn)金流,永遠(yuǎn)進(jìn)行下去,沒有結(jié)束的日期,記號a|i,表示標(biāo)準(zhǔn)永久期末年金的現(xiàn)值之和即,有,2,1i,1i,n,注Climan|i=,va|i,利息理論應(yīng)用,第2章24,1d,=,注C對于標(biāo)準(zhǔn)永久期初年金有a&|i,n期標(biāo)準(zhǔn)期末年金可用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)永久年金扣除,一個(gè)遞延n期的標(biāo)準(zhǔn)永久年金表示,相應(yīng)流程圖,為,an|i,1,1,1,a|i,1,1,1,1,1,n,1,1,1,0,1,2,nn+1n+2,利息理論應(yīng)用,第2章25,例某人留下遺產(chǎn)十萬元第一個(gè)十年將每年的利息,付給受益人甲第二個(gè)十年將每年的利息付給受益人,乙二十年后將每年的利息付給受益人丙

12、且一直進(jìn)行,下去均為年底支付如果年利率為7%試計(jì)算三,個(gè)受益人的相對受益比例,解甲的受益現(xiàn)值為,1000007%a10|.07=70007.0236=49162,乙的受益相當(dāng)于七千份遞延十年的十年定期標(biāo)準(zhǔn)期,末年金現(xiàn)值為,a20|.07)=7000(-10.5940)=25842,利息理論應(yīng)用,第2章26,7000(a20|.07a10|.07)=7000(10.5940-7.0236)=24993,丙的受益相當(dāng)于七千份遞延二十年的標(biāo)準(zhǔn)永久期末年,金,現(xiàn)值為,10.07,7000(a|.07,結(jié)論,從而從現(xiàn)值的角度看,甲乙丙的受益比例近似,為,49%25%和26%,注C因?yàn)?00000(1.0

13、7)-20=25842,所以丙相當(dāng)于在,二十年后完全繼承了十萬元,利息理論應(yīng)用,第2章27,剩余付款期不是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間單位的計(jì)算,問題的提出,現(xiàn)值為取整的貨幣量,年金值也為取整的貨幣量,當(dāng),兩者不能平衡的時(shí)候,如何對零碎的部分進(jìn)行處理,例,原始投入500元,年金為100元,年利率3%,若年金為5年期則上述年金的現(xiàn)值為457.97與原,始投入不平衡,若年金為6年期則上述年金的現(xiàn)值為541.72與原,始投入也不平衡,利息理論應(yīng)用,第2章28,v解決方案一,最后一次付款額度上浮,第5次付款額度由原先的100元上浮為,5,v解決方案二,最后一次付款額度扣減,第6次付款額度由原先的100元扣減為,100-4

14、1.72(1+3%)6=50.18,v解決方案三,從模型的內(nèi)在一致性出發(fā),在時(shí)刻,5與時(shí)刻6之間再增加一次付款額度小于100元,使得所有付款的現(xiàn)值之和恰好等于500元,思考什么時(shí)刻付款額度多少可以達(dá)到上述要求,=an|i+v,利息理論應(yīng)用,第2章29,定義,對于任意的t,0t1,形式上定義下面,的計(jì)算,1n+tn+t(1+i)t1ii,an+t|i=,上式右邊的第二項(xiàng)表示,在時(shí)刻n+t的不足一個(gè)貨,幣單位的年金金額,(1+i)t1i,在0時(shí)刻的現(xiàn)值,注C數(shù)學(xué)形式上的一致性,利息理論應(yīng)用,第2章30,例,在上例中,設(shè)最后一次付款時(shí)間為5+t則由,15+t0.03,500=100a5+t|0.03

15、,=100,v=0.9709,可解出,t0.5,相應(yīng)最后一次的付款額度應(yīng)為,100,(1+0.03)t10.03,=49.63,利息理論應(yīng)用,第2章31,例,現(xiàn)有十萬元的投資,年利率5%每年底定期收,回1萬元,試問,這樣的定期回報(bào)可以進(jìn)行多少年,對不足1萬元的最后一次回報(bào)部分按以下三種情況,分別計(jì)算回報(bào)金額,A不足部分與最后一次正常回報(bào)同時(shí)收回,B不足部分在最后一次正?；貓?bào)的下一年底收回,C不足部分在最后一次正常回報(bào)的下一年的某個(gè),等價(jià)時(shí)間收回,利息理論應(yīng)用,第2章32,解,時(shí)間流程圖為,10000,1000010000+XA,XC,XB,0,1,13,14,14+t,15,100,000,計(jì)

16、算最大的正?；貓?bào)的時(shí)間n,10000an|.05100000,n1,查表可得,a14|.05=9.8986,a15|.05=10.3797,從而有n=14,利息理論應(yīng)用,第2章33,XAXB和XC分別表示三種方式對應(yīng)的不足部分的,金額,則有,10000s14|.05+XA=100000(1+5%)15,XA=2007,15,10000(1+5%)s14|.05+XB=100000(1+5%),XB=2107,利息理論應(yīng)用,第2章34,在方式C中,先計(jì)算t,10000a14+t|.05=1000000,即,1v14+ti,=10,得到,t=0.2067,進(jìn)而有,(1+i)t1i,XC=10000

17、,=2027,注CXAXC20.35,由a36|.035=20.29,a38|.035=20.84可知,n=18,利息理論應(yīng)用,第2章49,設(shè)最后一次的付款金額為10000,R則有,a36|.035s2|.035,36,R(1+3.5%),+10000,=100000,即,20.290492.035,R=(10000010000,)3.45027=1008.97,利息理論應(yīng)用,第2章50,2付款周期小于利息換算期,常見情況,假定,利息換算期是付款周期的整數(shù)倍,m,每個(gè)利息換算期內(nèi)的付款次數(shù),n,年金的付款總次數(shù)/m,即,付款總次數(shù)為mn,i,每個(gè)利息換算期內(nèi)的實(shí)利率,期末年金,在每個(gè)付款期的期

18、末付款,1m,元,流程圖為,利息理論應(yīng)用,第2章51,1,m,1,m,1,m,1,m,0,1m,1,2,n,注C在一個(gè)計(jì)息期內(nèi)總共付款1個(gè)單位金額,思考,對這個(gè)現(xiàn)金流我們應(yīng)該做怎樣的變換,a,+v,+L+v,11m1vn1vn,1vmm(1+i)m1,a,利息理論應(yīng)用,第2章52,年金的現(xiàn)值記為an(m|i),12m,(m)n|i,v,1m,m,n1mm,=,+vn,=,v1=1,1vni(m),=,注C特別的,(m)1|i,di(m),=,sn|i=an|i(1+i)=,利息理論應(yīng)用,第2章53,年金的終值記為sn(m|i),(m)(m)n,(1+i)n1i(m),(m)ii,由現(xiàn)金流的轉(zhuǎn)換

19、可得如下關(guān)系,(m)n|i,i(m),1)a,an|i,i,=,(m)n|i,i(m),2)s,sn|i,i,=,利息理論應(yīng)用,第2章54,期初年金,1m,11,mm,1,m,1,m,0,1m,1,1m,n,n,注C在一個(gè)計(jì)息期內(nèi)共付款1個(gè)單位金額,思考對這個(gè)現(xiàn)金流我們應(yīng)該做如何的變換,a&,+v,+L+v,利息理論應(yīng)用,第2章55,年金的現(xiàn)值為a&n(m|i),12m,(m)n|,1m,n1mm,=,1+v,11vn1vn1,1vnd(m),=,&s,=a&(1+i)=,(1+i)1,d,&s,1)a&,=a&a&,=(m)&sn|i,利息理論應(yīng)用,第2章56,年金的終值為,&s&n(m|i

20、),n(m),(m)n|i,(m)nn|i,注C特別的,(m)1|i,i(m),d,=,通過現(xiàn)金流轉(zhuǎn)換可以得到如下關(guān)系,(m)n|i,(m)1|in|i,d(m),d,=,a&n|i,d,d,2)&sn(m|i)=a&1(m|i)&sn|i,3)a&,=&s,a,=(m)sn|i,1)a&,=(m)+,=(m)+,利息理論應(yīng)用,第2章57,(m)n|i,(m)1|i,n|i,i(m),an|i,d,=,i,d,4)&sn(m|i)=&s1(m|i)sn|i,例,證明如下關(guān)系式成立,(m)n|i,an|i,iiim,sn|i,iiim,2)&sn(m|i),id(m),=(m)+,a&,&s,利

21、息理論應(yīng)用,第2章58,證由等式,i(m)d(m)mm,(m)=mm,可得,1(m),d,11im,從而有,(m)n|i,i(m),an|i,d,ii(m),im,=,an|i=,+,及,(m)n|i,i(m),i(m),sn|i,d,i,im,=,sn|i=,+,個(gè)利息換算期即期初年金相當(dāng)于金額為(1+i)m的,a&,=(1+i)man(m|i),&s,s,利息理論應(yīng)用,第2章59,注Ca&n(m|i)相當(dāng)于比an(m|i)提前一次付款,也就是提前,1m,1,期末年金,從而有關(guān)系式,1,(m)n|i,類似的有,1,(m)n|i,m(m)n|i,=(1+i),a,a&,注Ca&,=a,利息理論

22、應(yīng)用,第2章60,永久年金,期末,1(m),i,(m)|i,=,以及,期初,1d(m),(m)|i,=,1m,(m)|i,(m)|i,+,利息理論應(yīng)用,第2章61,在前面的所有討論中,我們要求每次的付款額,為,1m,即每個(gè)利息換算期內(nèi)的付款總額為1元,在現(xiàn)實(shí)問題中,這個(gè)總額可以是任意值,通常,稱之為年金的年租金annualrent,或年付款,額,實(shí)際上利息換算期不一定是一年,可能用定期,租金periodicrent,表示這個(gè)值更合適因此,定期租金為R的期末年金的現(xiàn)值為Ran(m|),利息理論應(yīng)用,第2章62,例考慮一個(gè)十年期每月付400元的年金用年利率i,表示以下的量,1在首次付款兩年前的現(xiàn)值

23、,2在末次付款三年后的終值,解,年租金為40012=4800元,從而,1),4800v2a10(12)|i=4800a12(12)|ia2|(12)i,3(12)(12)(12),利息理論應(yīng)用,第2章63,例,已知每半年付款1元的永久年金的現(xiàn)值為10元,計(jì)算年利率,解,由現(xiàn)值方程2a(2)|i=10可得,1i(2),=5,即,i(2)=0.2,從而年利率,i(2)2,i=(1+,)1=(1+0.1)21=0.21,利息理論應(yīng)用,第2章64,連續(xù)年金,假設(shè)年租金為1個(gè)金額的廣義年金的付款周期可,以充分小即付款間隔充分小而付款頻率充分,快,相當(dāng)于m,問題,極限狀態(tài)下,時(shí)間為n個(gè)利息換算期,利息,力

24、為的年金的現(xiàn)值和終值,假定付款是均勻的即付款率(rateofpayment),等于1,從而在小時(shí)間段t上付款為1t=t,an|=etdt=,an|=lima,m,=lim,i,利息理論應(yīng)用,第2章65,用an|表示這種連續(xù)年金的現(xiàn)值,則有,n,1e,1vn,nnvtdt=00,=,連續(xù)年金的現(xiàn)值可看作是廣義年金的現(xiàn)值的極限,即,(m)n|i,an|i,an|i,i,im(m),=,及,an|=lima&,m,=lim,en1i,利息理論應(yīng)用,第2章66,(m)n|i,i(m),an|i,an|i,d,i,m,=,其中=ln(1+i),用sn|表示這種連續(xù)年金的終值,則有,sn|i,(1+i)n

25、1,=,=,nn(1+i)tdt=00n=(1+i)ntdt=(1+i)nan|0,利息理論應(yīng)用,第2章67,2.3變化年金,v特點(diǎn),付款金額隨時(shí)間變化,v常用的變化模式,遞增方式或遞減方式,v計(jì)算現(xiàn)值的一般原則計(jì)算每次付款的現(xiàn)值然,后求和,一般變化年金,付款期=利息換算期,1)等量變化,首付P元然后每次變化Q元總計(jì)n次期末,方式,1van|nv,利息理論應(yīng)用,第2章68,其中,P0,Q為任意實(shí)數(shù),相應(yīng)流程圖,P,P+Q,P+(n1)Q,01,2,n,如果用A表示這種期末年金的現(xiàn)值,則有,n,=P,n+Qii,an|nvni,=Pan|+Q,A=Pv+(P+Q)v2+(P+2Q)v3+L+P+

26、(n1)Qvn,現(xiàn)值用(Ia)n|表示,(Ia)n|=an|+,利息理論應(yīng)用,第2章69,注CQ可以是負(fù)數(shù),表示年金金額隨時(shí)間遞減但,要求P+(n1)Q0,(標(biāo)準(zhǔn))遞增年金(increasingannuity):P=Q=1,1,2,n,01,2,n,即an|nvni,(1+i)an|nvni,=,=,a&n|nvni,利息理論應(yīng)用,第2章70,上式可以表示為a&n|=i(Ia)n|+nvn,即每次在,期初投資1元的現(xiàn)值之和等于這種投資的利息每,年遞增i現(xiàn)值之和及本金之和,n,的現(xiàn)值,流程圖為,利息之和,i,2i.,(n-1)i,ni,本金之和,1,2,3.,n,n,年金金額,1,1,1.,1,

27、0,1,2,n-1,n,利息理論應(yīng)用,第2章71,思考,通過對現(xiàn)金流進(jìn)行變化,如何直接計(jì)算,(Ia)n|,注C可以利用永久年金直接計(jì)算,即,11ii,利用標(biāo)準(zhǔn)遞增年金現(xiàn)值公式可以對一般變化年,金現(xiàn)值進(jìn)行計(jì)算,A=(PQ)an|+Q(Ia)n|,(Ia)n|=vant,利息理論應(yīng)用,第2章72,即nii,注C用永久年金來看,例,將遞增年金理解為一組固定年金的組合,|,t,n1t=0,解,流程圖為,利息理論應(yīng)用,第2章73,0,1,2,t,n,1,n,遞增年金,1,2,t,n,1,n,固定年金,t=0,1,1,1,1,1,t=1,1,1,1,1,.,t=n1,1,由流程示意圖可以推知結(jié)論成立,利息

28、理論應(yīng)用,第2章74,遞減年金,decreasingannuity,若P=n,Q=1則稱此變化年金為標(biāo)準(zhǔn)遞減年金,n,n1,1,0,1,2,n,現(xiàn)值用(Da)n|表示,nan|i,(Da)n|=,注C(Ia)n|+(Da)n|=(n+1)an|,(Ds)n|=(1+i)(Da)n|=,n(1+i)sn|,(Da)n|=at,利息理論應(yīng)用,第2章75,終值用(Ds)n|表示,n,n,i,例,可以將遞減年金理解為一組固定年金的組合,|,nt=1,解,由其流程圖可以得到結(jié)論,注C注意比較遞增和遞減兩種方式,利息理論應(yīng)用,第2章76,一般變化年金也可以表示為一組固定年金的和,n2t1t=2,流程圖為,

29、0,1,2,t,n,變化年金,P,P+Q,P+(t1)Q,P+(n1)Q,固定年金,P,P,P,P,t=1,Q,Q,Q,.,t=n1,Q,+2,+,利息理論應(yīng)用,第2章77,注C以上的所有結(jié)論都可以推廣到期初年金的情,形,只是所有表達(dá)式分母中的i都要換成d,變化的期末永久年金,現(xiàn)值公式為,PQii,Q取正數(shù),變化的期末永久年金,現(xiàn)值公式為,PQdid,(Ia)n|+v(Da)n1|=,=(1v),利息理論應(yīng)用,第2章78,例,rainbowimmediate,流程圖為,1,2,n,n1,n2,1,0,1,2,n,n+1,n+2,2n1,年金的現(xiàn)值為,|,|,n,n,n,(n1)an1i,+v,

30、an1|+1i,a&n|nvni,=an|a&n,注C由現(xiàn)金流轉(zhuǎn)換可以直觀求解,利息理論應(yīng)用,第2章79,例,pausedrainbowimmediate,流程圖為,1,2,n,n,n1,1,0,1,2,n,n+1,n+2,2n,年金的現(xiàn)值為,|,(Ia)n|+vn(Da)n|=an|a&n+1,注C由現(xiàn)金流轉(zhuǎn)換可以直觀求解,1(),利息理論應(yīng)用,第2章80,比例變化年金,年金的金額是比例變化的,首付1元,隨后每次,增加k倍,總共n次,則年金的現(xiàn)值為,1+kn1+iik,v+(1+k)v2+L+(1+k)n1vn=,注C期末年金,且公式要求ik,當(dāng)i=k時(shí)利,率與年金增長比例相同,相當(dāng)于每次付

31、款的現(xiàn)值,相同,均為,n次付款的現(xiàn)值之和為n,注C當(dāng)k利息換算期,付款期=k,利息換算期,總的付款次數(shù)=n/k,注Cn是付款總時(shí)間用利息換算期度量的結(jié)果n是,k的整倍數(shù),i=每個(gè)利息換算期的實(shí)利率,A(1+i)1=1+v+v+L+v,v,利息理論應(yīng)用,第2章84,考慮首付1元隨后每次遞增1元的方式,記現(xiàn)值為A則有,k2knnk,從而有,kknnkk,兩式相減可得,kk2k,nnk,nk,v,利息理論應(yīng)用,第2章85,化簡后有,an|ak|,nnkisk|,A=,注C當(dāng)k=1時(shí),上式退化為遞增年金,例,計(jì)算下面永久年金的現(xiàn)值,第三年底1元,第六,年底2元,依此類推,解,用A表示這個(gè)現(xiàn)值,則有,A

32、=v3+2v6+L,利息理論應(yīng)用,第2章86,其中v=,11+i,i為年實(shí)利率,由,v3A=v62v9L,可得,(1v3)A=v3+v6+v9+L,化簡后有,A=,v31v32,利息理論應(yīng)用,第2章87,2付款期利息換算期,付款期=利息換算期/m,總的付款次數(shù)=nm,注C總的付款次數(shù)是m的倍數(shù),i=每個(gè)利息換算期的實(shí)利率,考慮以下兩種年金付款方式,情形1)付款額的變化與利息換算期同步,標(biāo)準(zhǔn)情形為,在前m次付款中(例如,第一年內(nèi)),底一次支付s,在第二年底一次支付2s,利息理論應(yīng)用,第2章88,年金為,1m,第二個(gè)m周期內(nèi)(第二年內(nèi))的年金金額為,2m,隨后依此類推,最后一個(gè)利息換算期內(nèi)的年金金

33、,額為,nm,用(Ia)(nm|)表示這種年金的現(xiàn)值它等價(jià)于在第一年,(m)1|,(m)1|,依此類推,從而有,=s,利息理論應(yīng)用,第2章89,(m)1|,(m)n|,i(m),(Ia),i,(Ia)n|=,=,&an|nvni,&an|nvni(m),注C一般的R(Ia)(nm|)表示下面這種年金的現(xiàn)值第,一個(gè)周期內(nèi)的付款額為R,1m,第二個(gè)周期內(nèi)的付款額,為R,2m,.,第n個(gè)周期內(nèi)的付款額為R,nm,例,某三年期按月付款的年金方式為第一年內(nèi)每月,底付款1000元第二年每月底付款2000元第三年,首付2,以后每次增加2,利息理論應(yīng)用,第2章90,每月底付款3000元,求該年金的現(xiàn)值,解,m

34、=12n=3,R=1000m=12000,從而這該年,金的現(xiàn)值為12000(Ia)(12)|3,情形2)付款額的變化與付款期同步,標(biāo)準(zhǔn)情形為,1m,1m,第一個(gè)利息換算期內(nèi)的最后一次付款額為,1m,第二個(gè)利息換算期內(nèi)的最后一次付款額為,2m,+L+nmv,利息理論應(yīng)用,第2章91,最后一個(gè)第n個(gè)利息換算期內(nèi)的最后一次付款額,為,nm,(m),(m),(m)n|,(I,a),=,1,2,n,m,v,mm2,+2v,=,a&n(m|)nvni(m),a)代表下面這種年金的現(xiàn)值,利息理論應(yīng)用,第2章92,(m),(m)n|,R(I,第一個(gè)周期內(nèi)的首付款為R,1m2,然后每次增加,1R2m,從而第一個(gè)

35、周期結(jié)束時(shí)的最后一次付款額為,R,1m,.,第n個(gè)周期結(jié)束時(shí)的最后一次付款額為,R,nm,則年金現(xiàn)值為14400(Ia)3|,利息理論應(yīng)用,第2章93,例,某三年期按月付款方式的年金為,第一個(gè)月底為,100元,第二個(gè)月底為200元,.,依此類推,每月增,加100元第一年底的付款額為1200元第二年底的,付款額為2400元第三年底的最后一次付款額為3600,元,求該年金的現(xiàn)值,解,m=12n=3,R=100m2=100,144=14400設(shè),年實(shí)利率為i,(12)(12),1(0.98)(1.025),利息理論應(yīng)用,第2章94,例,計(jì)算以下年金在第十年底的終值,從現(xiàn)在開始,每半年一次,首付200

36、0元,然后每次減少2,共,計(jì)10次,季結(jié)算名利率10,解,按基本原則計(jì)算年金的終值為,+0.989(1.025)22,(1.025)40(0.98)10(1.025)202,=2000,=40052,2000(1.025)40+0.98(1.025)38+0.982(1.025)36+L,a=(rttr1)vant+1,利息理論應(yīng)用,第2章95,情形3)付款金額任意變化的年金現(xiàn)值,時(shí)刻t的付款金額為rtt=1,2,K,n則這種年金,的現(xiàn)值為,nt=1,該年金相當(dāng)于一組固定年金的和,即,|,t1,nt=1,流程圖為,假設(shè)r0=0,利息理論應(yīng)用,第2章96,0,1,2,.,t,.,n,變化年金,r

37、1,r2,.,rt,.,rn,固定年金,k=1,1,rr0,1,rr0.,1,rr0,.,1,rr0,k=2,1,r2r.,1,r2r,.,1,r2r,.,.,.,k=n,rnrn1,利息理論應(yīng)用,第2章97,連續(xù)變化年金,用函數(shù)f(t)表示時(shí)刻t的年金(率)函數(shù)則用實(shí)利率i,表示的n年期連續(xù)年金現(xiàn)值為,f(t)vtdt,n0,v若f(t)=1,表示均勻支付年金,v若f(t)=t表示單調(diào)遞增支付年金該種連續(xù)年,金的現(xiàn)值用(Ia)n|表示,從而有,(Ia)n|=tvdt=,0,(s)ds,利息理論應(yīng)用,第2章98,n,n0,t,an|nv,特別的有,(|,lim(I(m)a)nm)=(Ia)n|

38、,思考,(m)n|,lim(Ia)m,=?,一般地,用一般利息力函數(shù)(s)表示的連續(xù)變化年,金的現(xiàn)值公式為,t,f(t)e,dt,n0,+23),+,利息理論應(yīng)用,第2章99,例,n年連續(xù)年金,利息力函數(shù)為常數(shù),年金(率)函,數(shù)f(t)=t2,求該年金的現(xiàn)值,解,經(jīng)計(jì)算,得到以下現(xiàn)值結(jié)果,23,(,n2,2n2,n,e,利息理論應(yīng)用,第2章100,2.4實(shí)例分析,固定養(yǎng)老金計(jì)劃,1,一般情形,v責(zé)任,未退休時(shí),每月初存入一定金額,具體,方式為25歲29歲月付X130歲39歲月,付X240歲49歲月付X350歲59歲月,付X4,v權(quán)益從退休時(shí)60歲開始每月初領(lǐng)取P元,的退休金,一直進(jìn)行二十年,利

39、息理論應(yīng)用,第2章101,問題在給定年利率i的條件下分析退休基金的存款,金額,X1,X2,X3,X4和最終的月退休金,P關(guān),系,2考慮25歲參加養(yǎng)老計(jì)劃,基本的價(jià)值方程為,(12)(12)(12)(12)(12),于是,|,X1s35|+(X2X1)s30|+(X3X2)s20|+(X4X3)s10a20|,P=,利息理論應(yīng)用,第2章102,例年利率i=10%,|.10,因此有a20,|.10,=8.5136s35,=,271.0244,|.10,s30,=164.4940,s20|.10=57.2750,|.10,s10,=,15.9374,具體的存款方式為,在25歲到29歲時(shí),每月存款,2

40、00元,在30歲到39歲時(shí),每月存款300元,在40,歲到49歲時(shí),每月存款500元,在50歲到59歲時(shí),每月存款1000元,分別對不同年齡的計(jì)劃參加者計(jì)算月退休金,利息理論應(yīng)用,第2章103,解,1,恰好在25歲開始加入養(yǎng)老金計(jì)劃,|.1,|.1,|.1,2s35,+s30,|.1+2s20a20|.1,+5s10,P=100,=10,580.48,60歲以后的月退休金為P=10,580.48元,即,每月,領(lǐng)取約一萬元的退休金,直至80歲,注C(200,300,500,1000),2,從30歲開始加入養(yǎng)老金計(jì)劃,3s30|.1+2s20|.1+5s10|.1a20|.1,P=100,=807

41、7.89,利息理論應(yīng)用,第2章104,60歲以后的月退休金為P=8077.89元即每月領(lǐng),取約八千元的退休金,注C(0,300,500,1000),3,從40歲開始加入養(yǎng)老金計(jì)劃,|.1,s20,|.1+s10a20|.1,P=500,=4299.73,即,60歲以后的月退休金為,P=4299.73元,即,每月領(lǐng)取約四千元的退休金,注C(0,0,500,1000),(1k)P=12Ra,利息理論應(yīng)用,第2章105,購房分期付款,引入如下記號,P,一次性付款的金額,房價(jià),k,一次性付款比例,首付比例,i,年利率,實(shí),n,分期付款年數(shù),R,每月付款金額,月底,則有,(12)n|,利息理論應(yīng)用,第2

42、章106,從而每月付款,(1k)P12an(12)|,R=,例已知,P=500000k=30%i=8%i(12)=.077208,求相應(yīng)貸款期等于五年,八年,十年的每月還款R,解,1分五年付清,|.08,a5,3.9927得到,R=7050.05,每月付款約七千元,2分八年付清,|.08,a8,5.7466得到,R=4898.33,每月付款近五千元,利息理論應(yīng)用,第2章107,|.08,3分十年付清a10,=6.7101得到R=4194.98,每月付款約四千元,年金利率的近似計(jì)算,已知年金的現(xiàn),終,值,反解年實(shí)利率是年金計(jì)算,中常見的基本問題,通?？梢酝ㄟ^迭代算法求數(shù)值,解,也可以利用Exce

43、l直接求數(shù)值解,利息理論應(yīng)用,第2章108,例已知當(dāng)前投入為12萬元隨后的5年中每年底,收益2萬2千元,試計(jì)算年實(shí)利率,解,設(shè)i為年實(shí)利率,則有如下等式,22000a5|i=100000,化簡為,a5|i4.09091,下面反解i,方法一,迭代法,對一般的問題,設(shè)a為現(xiàn)值,n為期限,則有i為下,i,利息理論應(yīng)用,第2章109,面方程的解,n,1(1+i)i,a=,首先利用簡單的泰勒展開到平方項(xiàng),取初值,i=,2(na)a(n+1),然后以下面的方法疊代計(jì)算,(n+1)k,ik+1=ik+,an|ikaan|ikn(1+ik),停止的準(zhǔn)則可以是類似|ik+1ik|0.001ik形式的判,別,利息

44、理論應(yīng)用,第2章110,用這個(gè)方法計(jì)算本例,取i1=0.05,則三次迭代,后即可滿足條件i4=0.0708475,方法二,Excel,用規(guī)劃求解直接求得i=0.0708475,注C精度可以調(diào)整,例,計(jì)算下面年金的年實(shí)利率i,每個(gè)季度末投入,100元,在第五年底的終值為2500元,i=(1+j)1=0.0946,利息理論應(yīng)用,第2章111,解,100s20|j=2500,或s20|j=25,利用Excel直接求解,得到,j=.022854,從而所求年利率i:,4,注C注意添加約束,例,某人繼承了一筆遺產(chǎn),從現(xiàn)在開始每年得到,10000元該繼承人以年利率10%將每年的遺產(chǎn)收,入存入銀行,第五年底,

45、在領(lǐng)取第六次年金之前,利息理論應(yīng)用,第2章112,他將剩余的遺產(chǎn)領(lǐng)取權(quán)益轉(zhuǎn)賣給他人然后將所,得收入與前五年的儲(chǔ)蓄收入合并全部用于年收益,率為12%的某種投資若每年底的投資回報(bào)是相同,的,且總計(jì)三十年,試計(jì)算每年的回報(bào)金額,注C流程圖,永久年金,轉(zhuǎn)手收益率,解:設(shè)每年的回報(bào)金額為X,則有,|.12,10000&s&5|.1+10000a&|.1=Xa30,&s5|.1+,a30|.12,利息理論應(yīng)用,第2章113,X=10000,1.10.1=100001.16.1051+11=21992.768.055,例,考慮以下兩種等價(jià)的期末年金方式,A首付6000元,然后每年減少100元,直至某年,k,

46、底,隨后保持這種付款水平直至永遠(yuǎn),B,每年底固定付款5000元,已知年利率為6%,試計(jì)算k,近似整數(shù),注C現(xiàn)金流的不同形式轉(zhuǎn)化,+6000(k1)100va,利息理論應(yīng)用,第2章114,解,方法一,價(jià)值方式為,|.06,|.06,|.06,|.06,k,5000a,=6000ak,100(Ia)k,可得,|.06,ak,=11/1.06=10.37735849,反查年金表可知k17,利息理論應(yīng)用,第2章115,方法二,價(jià)值方式為,|.06,|.06,5000a|.06=6000(k1)100a,+100(Da)k1,可得,|.06,ak1,=10,反查年金表可知k17,|.06,注Ca15,=9.7122,|.06|.06,a16a17,=10.1059=10.4773,利息理論應(yīng)用,第2章1