1、2.2排序不等式,1.定理1設a,b和c,d都是實數(shù),如果ab,cd,那么ac+bdad+bc,此式當且僅當a=b(或c=d)時取“=”號.2.定理2(1)順序和、亂序和、逆序和:設實數(shù)a1,a2,a3,b1,b2,b3滿足a1a2a3,b1b2b3,則a1b1+a2b2+a3b3a1b3+a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是1,2,3的任一排列方式.上式當且僅當a1=a2=a3(或b1=b2=b3)時取“=”號.通常稱a1b1+a2b2+a3b3為順序和,為亂序和,a1b3+a2b2+a3b1為逆序和(倒序和).,(2)定理2(排序不等式):設有兩個有序實數(shù)組a1a2an及b1b2bn

2、,則(順序和)a1b1+a2b2+anbn(亂序和)(逆序和)a1bn+a2bn-1+anb1.其中j1,j2,jn是1,2,n的任一排列方式.上式當且僅當a1=a2=an(或b1=b2=bn)時取“=”號.名師點撥1.排序不等式中能構造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式:順序和、逆序和、亂序和,對這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的“次序”,兩種較為簡單的是“順與逆”,而亂序和則是不按“常規(guī)”的順序.2.排序不等式中取等號的條件是a1=a2=an或b1=b2=bn,對于我們解決某些問題是非常關鍵的,它是命題成立的一種條件,所以要牢記.,【做一做】已知兩組數(shù)1,2,3和25,30,

3、45,若c1,c2,c3是25,30,45的一個排列,則c1+2c2+3c3的最大值是,最小值是.解析:c1+2c2+3c3的最大值應該是順序和125+230+345=220,最小值則為反序和145+230+325=180.答案:220180,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.(1)對于給定的兩組數(shù),順序和、逆序和與亂序和都是唯一的.()(2)對于任意給定的兩組數(shù),逆序和不大于順序和.()(3)設a1,a2,a3是1,2,3的任一排列方式,則a1+2a2+3a3的最大值是14.()答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思

4、維辨析,反思感悟當所證不等式中涉及的變量已經給出大小關系時,可以根據(jù)欲證不等式各部分的結構特點,構造數(shù)組,從而可以將欲證不等式中的各部分視作是給定數(shù)組的順序和、逆序和或亂序和,從而借助排序不等式證得結論.,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,分析利用排序不等式求解該式的最小值關鍵是找出兩組有序數(shù)組,然后根據(jù)逆序和亂序和順序和求解最小值.,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,反思感悟利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值時,先要對待證不等式及已知條件仔細分析,觀察不等式的結構,明確兩個數(shù)組的大小順序,分清順序和、亂序和及逆序和,由于亂序和是不確定的,根據(jù)需

5、要寫出其中的一個即可.另外,最值一般是順序和或逆序和.,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,因忽視等號成立的條件而致誤【典例】已知a1,a2,a3,b1,b2,b31,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,試求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍.錯解不妨設1a1a2a32,c1,c2,c3為b1,b2,b3的一個排列,且1c1c2c32,則a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312,a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍為3,12.正解設1a1a2a32,c1,c2,c3為

6、b1,b2,b3的一個排列,且1c1c2c32,則a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312.a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,不等式中的等號不成立,a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍為(3,12).,探究一,探究二,思維辨析,糾錯心得1.本題由于a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3也不全相等,因此排序不等式中的等號不成立.2.牢記排序不等式中取等號的條件是a1=a2=an或b1=b2=bn.,探究一,探究二,思維辨析,A.1B.nC.n2D.無法確定,答案:B,1,2,3,4,1.已知兩

7、組數(shù)a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,將bi(i=1,2,3,4,5)重新排列后記為c1,c2,c3,c4,c5,則a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值與最小值分別為()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,36解析:順序和最大,所以最大值為a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,反序和最小,故最小值為a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.答案:B,1,2,3,4,2.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,則M與N的大小關系是()A.MNB.MNC.M