1、6.1垂直關系的判定,第一章6垂直關系,學習目標1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理.2.掌握平面與平面垂直的概念、判定定理.3.會應用兩定義及兩定理證明有關的垂直問題.,題型探究,問題導學,內容索引,當堂訓練,問題導學,思考,知識點一直線與平面垂直的定義,在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時間的變化，影子的位置在移動，在各個時刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？,答案,答案不變，90.,線面垂直的概念,梳理,任何一條,l,垂線,垂面,垂足,知識點二直線和平面垂直的判定定理,將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，

2、DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的位置關系.,思考1,折痕AD與桌面一定垂直嗎？,答案,答案不一定.,思考2,當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？,答案,答案當ADBD且ADCD時，折痕AD與桌面垂直.,判定定理,梳理,兩條相交直線,思考1,知識點三二面角,觀察教室內門與墻面，當門繞著門軸旋轉時，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀.數(shù)學上，用哪個概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？,答案,答案二面角.,思考2,平時，我們常說“把門開大一點”，在這里指的是哪個角大一點？,答案,答案二面角的平面角.,(1)定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形.(2)相關概念：這條直線叫

3、作二面角的.兩個半平面叫作二面角的.(3)二面角的記法以直線AB為棱，半平面，為面的二面角，記作二面角面AB.(4)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，則二面角l的平面角是.,梳理,兩個半平面,棱,面,AOB,知識點四平面與平面垂直,思考,建筑工人常在一根細線上拴一個重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直.當掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關系？此時鉛錘線與地面什么關系？,答案,答案都是垂直.,(1)平面與平面垂直的概念定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是，就說這兩個平面互相垂直.畫法：記法：.,梳理,直二面角,(2)

4、判定定理,垂線,題型探究,例1如圖，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，求證：BC平面PAC.,類型一線面垂直的判定,證明,證明PA平面ABC，PABC.又AB是O的直徑，BCAC.而PAACA，BC平面PAC.,引申探究若本例中其他條件不變，作AEPC交PC于點E，求證：AE平面PBC.,證明,證明由例1知BC平面PAC，,PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.,(1)使用直線與平面垂直的判定定理的關鍵是在平面內找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉化為線線垂直來解決.(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義.線面垂直的判定定理.如果兩條平行直線的一條直線

5、垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.,反思與感悟,跟蹤訓練1如圖，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點，過點A作AEPC于點E，作AFPB于點F，求證：PB平面AEF.,證明,證明由引申探究知AE平面PBC.,AEPB，又AFPB，且AEAFA，PB平面AEF.,例2如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC平面ABCD，E為SA的中點.求證：平面EBD平面ABCD.,證明,類型二面面垂直的判定,證明連接AC，與BD交于O點，連接OE.O為AC的中點，E為SA的中

6、點，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.,(1)由面面垂直的判定定理知，要證兩個平面互相垂直，關鍵是證明其中一個平面經過另一個平面的垂線.(2)證明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角.,反思與感悟,跟蹤訓練2如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直于底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中點.證明：平面BDC1平面BDC.,證明,證明由題設知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.,由題設知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.,例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求

7、二面角BA1C1B1的正切值.,類型三與二面角有關的計算,解答,解取A1C1的中點O，連接B1O，BO.由題意知B1OA1C1，又BA1BC1，O為A1C1的中點，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角.,(1)求二面角的大小關鍵是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角證明計算.(2)為了能在適當位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點，如是否為等腰三角形等.,反思與感悟,跟蹤訓練3如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上的一點，且PAAC，求二面角PBCA的大小.,解答,解,又BC是二面

8、角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.,AB是O的直徑，且點C在圓周上，ACBC.又PAACA，BC平面PAC.,當堂訓練,1.如果一條直線垂直于一個平面內的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正六邊形的兩條邊.A.B.C.D.,答案,2,3,4,5,1,解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于圖形所在的平面.而圖形中的兩邊不一定相交，故該直線與它們所在的平面不一定垂直.,解析,2.已知PA矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直的平面有A.1對B.2對C

9、.3對D.5對,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,解析DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面PAB，同理BC平面PAB，又易知AB平面PAD，DC平面PAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PAB平面ABCD，平面PDC平面PAD，共5對.,3.如圖，l，點A，C，點B，且BA，BC，那么直線l與直線AC的關系是A.異面B.平行C.垂直D.不確定,答案,2,3,4,5,1,同理BCl，又BABCB，l平面ABC.,解析,4.三棱錐PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，則二面角PACB的大小為_.,2,3,4,5,1,解析

10、,答案,60,2,3,4,5,1,解析由題意易得點P在平面ABC上的射影O是AB的中點.取AC的中點Q，連接OQ，則OQBC.由題意可得ABC是直角三角形，且ACB90，AQO90，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PACB的平面角.,5.如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分別是AB、BD的中點.求證：平面EFC平面BCD.,2,3,4,5,1,證明,證明ADBD，EFAD，EFBD.CBCD，F(xiàn)是BD的中點，CFBD.又EFCFF，BD平面EFC.,2,3,4,5,1,平面EFC平面BCD.,規(guī)律與方法,1.直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個結論：若ab，a，則b；若，a，則a.2.證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面