1、章末歸納總結(jié),1知識結(jié)構(gòu),2.規(guī)律方法總結(jié)(1)證點共線：常證明點在兩個平面的交線上(2)證點線共面：常先據(jù)公理二及其推論確定一個平面，再證其它元素都在這個平面內(nèi)(3)證線線平行：常用公理4、線面平行的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)、兩直線與同一平面垂直(4)證線面平行：常用線面平行的判定定理，線面平行的定義,(5)證面面平行：常用判定定理、定義、推論或證兩平面和同一條直線垂直，有時也用兩平面與同一平面平行(6)證線線垂直：常用兩直線所成的角是直角、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)(7)證線面垂直：常用判定定理、定義(8)證面面垂直：常用判定定理、定義(9)求二面角、直線與直線所成角：常先作出角然后組成三

2、角形，并通過解三角形求角,3空間中的垂直關(guān)系、平行關(guān)系的判定方法歸納如下：表1直線與直線平行,表2直線與平面平行,表3兩平面平行,表4直線與平面垂直,表5平面與平面垂直,4.本章所涉及的一些思想方法：(1)數(shù)學(xué)研究的對象有兩大塊數(shù)量關(guān)系和空間形式其中“空間形式”主要是由幾何研究的立體幾何是訓(xùn)練邏輯推理能力和空間想像能力的好素材在訓(xùn)練發(fā)展思維能力和空間想象能力上，具有其它內(nèi)容不可替代的作用第一章從對空間幾何體的整體觀察入手，遵循從整體到局部、具體到抽象的原則，通過直觀感知認識空間圖形,本章在第一章直觀感知的基礎(chǔ)上進行系統(tǒng)的理論研究以四個公理為基礎(chǔ)，通過定義定理的形式，構(gòu)建立體幾何的大廈通過學(xué)習(xí)逐

3、步形成和發(fā)展幾何直觀能力和空間想象能力，以及運用幾何語言、圖形語言進行交流的能力立體幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位還表現(xiàn)在它與平面幾何、集合、函數(shù)、方程的聯(lián)系上貫穿于立體幾何中的化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及立體幾何特有的平移法、正投影法、體積法、展開法、翻折法、割補法等都極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法,(2)深刻體會轉(zhuǎn)化思想立體幾何中最重要的最常用的思想就是化歸與轉(zhuǎn)化思想,點面距、線面距、面面距、點線距等它們之間也可相互轉(zhuǎn)化，例如求點面距時，可沿平行線平移，點面距線面距點面距；或沿平面的斜線轉(zhuǎn)移，例如求A到平面的距離，AB與相交于點B，P為AB中點，就可轉(zhuǎn)化為求P到平面的距離等等通過

4、將幾何體補形或分割為常見的基本幾何體，通過等體積變換，使問題變?yōu)榭汕蟮霓D(zhuǎn)化策略通過添加輔助線面，將空間問題化為平面幾何問題的降維轉(zhuǎn)化策略,(3)逐步體會、掌握立體幾何特有的方法平移，沿平行線轉(zhuǎn)移，沿平面的斜線轉(zhuǎn)移，沿平面轉(zhuǎn)移等平行投影與中心投影，特別是正投影等積變換與割補展開、卷起、折疊、旋轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)思想與方法不是孤立的，不能截然分離開來，在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下研究解決具體問題的方法，而研究解決問題的方法過程中又豐富了數(shù)學(xué)思想(4)類比的方法，類比平面幾何的一些結(jié)論，可猜想立體幾何的一些結(jié)論，從而提供思維的方向,一、轉(zhuǎn)化的思想例1如圖所示，AB為O的直徑，C為O上一點，AD面ABC，AEBD于E，AFC

5、D于F.求證：BD平面AEF.,分析要證BD平面AEF，已知BDAE，可證BDEF或AF；由已知條件可知BC平面ADC，從而BCAF，故關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是證AF平面BDC，由AFDC即可獲證,解析AB為O直徑，C為O上一點，BCAC，,點評證明線面垂直可轉(zhuǎn)化為證線線垂直，而要證線線垂直又轉(zhuǎn)化為證線面垂直，本題就是通過多次轉(zhuǎn)化而獲得證明的，這是證垂直問題的一個基本規(guī)律，須熟悉其轉(zhuǎn)化關(guān)系,例2四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面垂直，又底面ABCD為矩形，E是PD中點(1)求證：PB平面ACE；(2)若PBAC，且PA2，求三棱錐EPBC的體積,解析(1)設(shè)矩形ABCD對角線AC與BD交點

6、為O，則O為BD中點，又E為PD中點，EOPB，PB平面ACE，EO平面ACE，PB平面ACE.,(2)作PF平面ABCD，垂足為F，則F在AD上，又PAPD，F(xiàn)為AD中點，連BF交AC于M，PF平面ABCD，AC平面ABCD，ACPF，又ACPB，PBPFP，AC平面PBF，ACBF，ADPA2，AFFD1，BC2，,例3正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長均為4，M，N分別是BC，CC1的中點(1)求證：BN平面AMB1；(2)求三棱錐BAB1N的體積分析線面垂直與線線垂直轉(zhuǎn)化，立幾問題向平幾轉(zhuǎn)化，等積變換,解析(1)M為BC中點，ABC為正三角形，AMBC，又側(cè)面BCC1B1底面ABC，

7、AM平面BCC1B1，又BN平面BCC1B1，AMBN，在正方形BCC1B1中，M，N分別為BC，CC1中點，B1MBN(想一想為什么？)，BN平面AMB1.,二、展開與折疊、旋轉(zhuǎn)例4如圖將無蓋正方體紙盒展開，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是()A平行B相交且垂直C不相交也不平行D相交成60,解析本題是展開與折疊問題，考查空間想象能力，如圖折起后，B與D點重合，AB與CD成ABC60，選D.答案D,例5已知RtBAC中，ABACa，AD為斜邊BC上的高，以AD為折痕使BDC折成直角(如圖所示)求證：平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC.,例6已知三角形ABC的邊長分別是AC3，BC

8、4，AB5.以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的體積解析旋轉(zhuǎn)問題，以AB為軸旋轉(zhuǎn)得到兩個同底的圓錐組合體易求體積為,三、反證法例7求證：不在同一平面的兩兩相交的三條直線必共點分析要證三線共點，只需證其中兩線相交于某一點，然后再證明另一條直線也通過這一點，或通過反證法得出,解析方法1：如圖，a，b，c兩兩相交；設(shè)a，b確定平面，b，c確定平面，a，c確定平面，且abO，Oa，O，Ob，O，O，Oc(公理1)，a，b，c交于一點,方法2：(反證法)設(shè)abO，a，b確定平面，若c不過O點，設(shè)acO，bcO，則O，O，則c，此與a，b，c不在同一平面矛盾，a，b，c交于一點,點評證三

9、線共點，先證兩直線交于一點，再證另一條直線也過這一點，是常規(guī)思路，而反證法也是立體幾何中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法，一般步驟為：反設(shè)，作出與結(jié)論相反的假設(shè)；歸謬，由所作假設(shè)連同已知條件出發(fā)，通過邏輯推理導(dǎo)出矛盾(與假設(shè)或已知條件、公理、定理矛盾)；判斷，矛盾的產(chǎn)生由假設(shè)錯誤引起，故原結(jié)論正確以上三步驟缺一不可,解析本題是等積變換問題，考察三棱柱體積和分析解決問題能力，解決時，可特殊化，取正三棱柱考察，一般處理時，可做垂直于一條側(cè)棱的截面答案B,例9如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF，EF與面ABCD的距離為2，求該多面體的體積,解析本題是割補(等積變換)

10、問題，分別取AB、CD的中點M，N，則平面FMN平面ADE，幾何體ADEMNF是一個棱柱，幾何體FBCNM是一個棱錐，易求得體積為,例10已知四個面都是直角三角形的三棱錐，其中三個面展開后構(gòu)成一直角梯形ABCD，如圖所示，ADAB，ADDC，AB2a，BCa，CDa.(1)請在圖中設(shè)計一種虛線，沿虛線翻折可成原來的三棱錐(指三棱錐的三個面)；(2)求這個三棱錐外接球的體積,解析展開與折疊問題(1)如圖所示，取AD中點E，連結(jié)EC，EB，沿EC，EB折起，使點A與點D重合下面證明以上述方法所得的四面體每個面都是直角三角形,所以BEC為直角三角形，且ECB90，即ECBC，又因為AEAC，AEAB

11、，所以AE平面ABC，所以AC是EC在平面ABC內(nèi)的正投射，ACBC，所以ABC也是直角三角形，故四面體ABCE四個面都是直角三角形,五、側(cè)面積與表面積例11已知：正三棱錐SABC的底面邊長為a，各側(cè)面的頂角為30，D為側(cè)棱SC的中點，截面DEF過D且平行于AB，當DEF周長最小時，求截得的三棱錐SDEF的側(cè)面積,解析本題是側(cè)面展開問題，如圖所示，將正三棱錐側(cè)面展開，可得三個頂角均為30，底邊長為a的等腰三角形，D為SC的中點，DD的連線長即為最短距離DDCCAB，E、F即為相應(yīng)的E、F.下面求DD的長在SCB中，BCa，CSB30，則SCSB,(2)在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊

12、AB、AC互相垂直，則AB2AC2BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，設(shè)ABC，ACD，ADB，BCD的面積分別為S1，S2，S3，S，則有_”,(3)在平面幾何里，一個斜三角形ABC，A到BC的距離為d，BC的邊長為l，則SABCld，類比這一結(jié)論，在立體幾何里，一個斜三棱柱ABCA1B1C1一條側(cè)棱AA1到側(cè)面BB1C1C的距離為d，側(cè)面BB1C1C的面積為S，則斜三棱柱的體積為_,(4)在平面幾何里，梯形ABCD上底ABa，下底CDb，則中位線EF(ab)，類比這一結(jié)論，在空間中臺體上底面積S上，下底面積S下，中截面面積S中有_,(5)在平面幾何里，有“平行于同一條直線的兩條直線相互平行”的結(jié)論，類比它可以得出空間中關(guān)于平面的命題：_.答案平行于同一平面的兩個平面相互平行,*七、距離問題*例13三棱臺ABCA1B1C1中，側(cè)棱CC1底面ABC，ACB90，ACB1C1a，BC2a，AB1與CC1成45角，D為BC中點，(1)B1D與平面ABC的位置關(guān)系如何？(2)求三棱臺的體積(3)求A1C1與平面AB1C的距離,解析空間的平移，線面距向點面距轉(zhuǎn)化，再向點線距轉(zhuǎn)化(1)BC中點為D且B1C1a，