1、習(xí)題2.11. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=aN,k=1, 2,N,求常數(shù)a.解:由分布律的性質(zhì)k=1pk=1得 P(X=1) + P(X=2) +.+ P(X=N) =1 N*aN=1, 即a=12. 設(shè)隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2這4個值,且取這4個值相應(yīng)的概率依次為12c, 34c,58c,716c,求常數(shù)c.解: 12c+34c+58c+716c=1 C=37163. 將一枚骰子連擲兩次,以X表示兩次所得的點數(shù)之和,以Y表示兩次出現(xiàn)的最小點數(shù),分別求X,Y的分布律.注: 可知X為從2到12的所有整數(shù)值可以知道每次投完都會出現(xiàn)一種組合情況，其概率皆為(1/6)*(1/6)=1/3

2、6，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36）1/18(兩種組合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36）1/12(三種組合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36）1/9(四種組合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/365/36(五種組合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36)1/6(這里就不寫了,應(yīng)該明白吧)P(X=8)=5*(1/36)5/36P(X=9)=4*(1/36)1/9P(X=10)=3*(1/36)1/12P(X=11)=2

3、*(1/36)1/18P(X=12)=1*(1/36)1/36以上是X的分布律投兩次最小的點數(shù)可以是1到6里任意一個整數(shù),即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一個要是1,另一個可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一個是2,另一個是大于等于2的5個值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一個是3,另一個是大于等于3的4個值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一個是4,另一個是大于等于4的3個值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一個是5,另一個是大于等于5的2個值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一個是6,另一個只能

4、是6以上是Y的分布律了.4. 設(shè)在15個同類型的零件中有2個是次品,從中任取3次,每次取一個,取后不放回.以X表示取出的次品的個數(shù),求X的分布律.解:X=0,1,2X=0時,P=C133C153=2235X=1時,P=C132*C21C153=1235X=2時,P=C130*C22C153=1355. 拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,每次出現(xiàn)正面的概率為23,連續(xù)拋擲8次,以X表示出現(xiàn)正面的次數(shù),求X的分布律.解:PX=k=C8k(23)k(13)8-k, k=1, 2, 3, 86. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-123P141214求PX12, P23X52, P2X3, P2X3解: PX1

5、2=14 P23X52=12 P2X3=12+14=34 P2X10=PX11=0.002840習(xí)題2.21. 求0-1分布的分布函數(shù).解:Fx=0, x0q, 0x11,x12. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為:X-123P0.250.50.25求X的分布函數(shù),以及概率P1.5X2.5, PX0.5.解:當(dāng)x-1時,Fx=PXx=0; 當(dāng)-1x2時,Fx=PXx=PX=-1=0.25; 當(dāng)2x3時,Fx=PXx=PX=-1+PX=2=0.25+0.5=0.75; 當(dāng)x3時,Fx=PXx=PX=-1+PX=2+PX=3=0.25+0.5+0.25=1;則X的分布函數(shù)F(x)為:Fx=0, &x-

6、10.25, -1x20.75, 2x31, x3 P1.5X2.5=F2.5-F1.5=0.75-0.25=0.5 PX0.5=1-F0.5=1-0.25=0.753. 設(shè)F1(x),F2(x)分別為隨機(jī)變量X1和X2的分布函數(shù),且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù),證明a-b=1.證: F+=aF+-bF+=1,即a-b=14. 如下4個函數(shù),哪個是隨機(jī)變量的分布函數(shù):(1) F1x=0, &x-212, -2x02, x0(2) F2x=0, &x0sinx, 0x1, x(3) F3x=0, &x0sinx, 0x21, x2(4) F4x=0, &x0x

7、+13, 0x121, x125. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) =a+barctanx,-x+,求(1)常數(shù)a,b; (2) P-1X1 解: (1)由分布函數(shù)的基本性質(zhì)F-=0,F+=1 得: a+b*(-2)=0a+b*(2)=1 解之a(chǎn)=12, b=1 (2)P-1X1=F1-F-1=a+b*4-(a+b*-4)=b*2=12(將x=1帶入F(x) =a+barctanx)注: arctan為反正切函數(shù),值域(-2,2), arctan1= 46. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx=0, &x1lnx, 1xe1, xe求PX2,P0X3,P2X2.5解: PX2=F(2)=ln2 注

8、: F(x)=PXx P0X3=F3-F0=1-0=1; P2X2.5=F2.5-F2=ln2.5-ln2=ln2.52=ln1.25習(xí)題2.31. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:fx=acosx, x20, 其他. 求: (1)常數(shù)a; (2)P0X4; (3)X的分布函數(shù)F(x).解: (1)由概率密度的性質(zhì)-+fxdx=1,-22acosxdx=asinx2-2=asin2-asin-2=asin2+asin2=a+a=1A=12(2) P0X4=12sin4-12sin0=12*22+12*0=24一些常用特殊角的三角函數(shù)值正弦余弦正切余切0010不存在/61/23/23/33/42/22

9、/211/33/21/233/3/210不存在00-10不存在 (3) X的概率分布為:Fx=0, x-2121+sinx, -2x21, x2 2. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx=ae-x, -x03. 求下列分布函數(shù)所對應(yīng)的概率密度:(1) F1x=12+1arctanx, -x00, x0解: f2x=xe-x22, x00, x0 (指數(shù)分布)(3) F3x=0, x2解: f3x=cosx, 0 x20, 其他 (均勻分布)4. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx=x, 0x12-x, 1 x20, 其他.求: (1)PX12; (2) P12X32.解:(1) PX12=1-F12=1-

10、1222=1-18=78(2) (2) P12X3=1-F3=1-3-25-2=23至少有兩次觀測值大于3的概率為:C32(23)2(13)1+C33(23)3(13)0=20277. 設(shè)修理某機(jī)器所用的時間X服從參數(shù)為=0.5(小時)指數(shù)分布,求在機(jī)器出現(xiàn)故障時,在一小時內(nèi)可以修好的概率.解: PX1=F1=1-e-0.58. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分計)服從參數(shù)為=15的指數(shù)分布,某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘,他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù).寫出Y的分布律,并求PY1.解: “未等到服務(wù)而離開的概率”為PX10=1-F10=1

11、-1-e-15*10=e-2PY=k=C5k(e-2)k(1-e-2)5-k, (k=0,1,2,3,4,5)Y的分布律:Y012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004PY1=1-PY=0=1-0.484=0.5169. 設(shè)X N(3, 22),求:(1) P2X5, P-42, PX3;(2) 常數(shù)c,使PXc=PXc.解: (1) P2X5=5-32-2-32=1-1-12=0.8413-1-0.6915=0.5328P-42= 1-P-2X2=1-2-32-2-32=1-0.3085-0.0062=0.6977 PX3= PX3=1-3-32=1-0=1

12、-0.5=0.5(2) PXc=PXcPXc=1-PXcPXc+PXc=1c-32+c-32=1c-32=0.5經(jīng)查表c-32=0,即C=310. 設(shè)X N(0,1),設(shè)x滿足PXxx0.121-x0.1-xx0.1 11. X N(10, 22),求:(1) P7X15;(2) 常數(shù)d,使PX-10d0.9.解: (1) P7X15=15-102-7-102=2.5-1-1.5=0.9938-0.0668=0.927(2) PX-10d=P10-dX10+d0.9=10+d-102-10-d-1020.9=d20.95經(jīng)查表d2=1.65,即d=3.312. 某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度X(單位:c

13、m)服從正態(tài)分布N(10.05, 0.062),規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為合格,求一螺栓不合格的概率.解: 螺栓合格的概率為:P10.05-0.12X10.05+0.12=P9.93X10.17=10.17-10.050.06-9.93-10.050.06=2-1-2=0.9772*2-1=0.9544螺栓不合格的概率為1-0.9544=0.045613. 測量距離時產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X(單位:m)服從正態(tài)分布N(20, 402).進(jìn)行3次獨立測量.求:(1) 至少有一次誤差絕對值不超過30m的概率;(2) 只有一次誤差絕對值不超過30m的概率.解: (1) 絕對值不超過30m的概率為:

14、 P-30X0,0, y0(2) Y=gx=3X+1,值域為-,+, X=hy=Y-13, h(y)=13fYy=fxhy h(y)=1*13=13即fYy=13, 1 y4,0, 其他 注: 由XU(0,1), Y=3X+1,當(dāng)X=0時,Y=3*0+1=1; ,當(dāng)X=1時,Y=3*1+1=4(3) Y=gx=ex, X=hy=lny, h(y)=1yfYy=fxhy h(y)=1*1y=1y即fYy=1y, 0 ye,0, 其他注: ,當(dāng)X=0時, Y=e0=0; ,當(dāng)X=1時, Y=e1=e4. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fXx=32x2, -1&x00, 其他.求以下Y的概率密度:(1)Y

15、=3X; (2) Y=3-X; (3) Y=X2.解: (1) Y=g(x)=3X, X=hy=Y3, h(y)=13fYy=fxhy h(y)=Y26*13=Y218即fYy=Y218, -3 y0,0, 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y, h(y)=-1注意是絕對值 h(y)fYy=fxhy h(y)=32*(3-Y)2+1=3(3-Y)22即fYy=3(3-Y)22, 3 y4,0, 其他(3) Y=g(x)=X2, X=h(y)=Y, h(y)=1 2YfYy=fxhy h(y)=3Y22*1 2Y=3Y4, 即fYy=3Y4, 0 y0,0, x0fYy=f

16、xhy h(y)=e-*Y-12*12=12e-Y-12即fYy=12e-Y-12, y00, 其他(2) Y=gx=ex, X=hy=lnY,hy= 1YfYy=fxhy h(y)=e-lnY*1Y=1elnY*1Y=1Y*1Y=1Y2ex永遠(yuǎn)大于0.當(dāng)x0是, ex1即fYy=1Y2, y10, 其他(3) Y=gx=X2,X=hy=Y, hy=12Y, fYy=fxhy h(y)=e-Y*12Y =12Y e-Y, 即fYy=12Y e-Y, y00, 其他6. XN(0,1),求以下Y的概率密度:(1) Y=X; 2Y=2X2+1解: (1) Y=gx=X, X=hy=Y, hy=1f

17、Xx=12e-(x-)222 -x00, y02Y=gx=2X2+1, X=hy=Y-12,hy=12Y-12fYy=fxhy h(y)=12e-(Y-12)22*12Y-12=12(y-1)e-y-14即fYy=12(y-1)e-y-14, y10, y1自測題一,選擇題1,設(shè)一批產(chǎn)品共有1000件,其中有50件次品,從中隨機(jī)地,有放回地抽取500件產(chǎn)品,X表示抽到次品的件數(shù),則PX=3= C .A. C503C950497C1000500 B. A503A950497A1000500 C. C5003(0.05)3(0.95)497 D. 35002.設(shè)隨機(jī)變量XB(4,0.2),則PX3

18、= A . A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192解:PX3= PX=4=C44(0.2)4(1-0.2)0 (二項分布)3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),下列結(jié)論中不一定成立的是 D .A. F+=1 B. F-=0 C. 0Fx1 D. F(x) 為連續(xù)函數(shù)4.下列各函數(shù)中是隨機(jī)變量分布函數(shù)的為 B .A. F1x=11+x2, -x0C. F3x=e-x, -x+ D. F4x=34+12arctanx, -x100, x10 則常數(shù)a= A .A. -10 B. -1500 C. 1500 D. 10 解: F(x) =-+ax2dx=-ax

19、=16.如果函數(shù)fx=x, axb0, 其他是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度,則區(qū)間a,b可以是 C A. 0, 1 B. 0, 2 C. 0,2 D. 1, 27.設(shè)隨機(jī)變量X的取值范圍是-1,1,以下函數(shù)可以作為X的概率密度的是 A A. 12, -1 x10, 其他 B. 2, -1 x10, 其他C. x, -1 x10, 其他 D. x2, -1 x10, 其他8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為fx=x2, 0 x20, 其他 則P-1 X1= B .A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解: P-1 X1=-11x2dx=x241-1=149.設(shè)隨機(jī)變量XU(2,4),則P

20、3 x4= A . (需在區(qū)間2,4內(nèi))A. P2.25 x3.25 B. P1.5 x2.5C. P3.5 x4.5 D. P4.5 x0)的泊松分布,且P X=0=12P X=2,則= 2 .解:分別將P X=0,P X=2帶入Pk=P X=k=kk!e-.5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx=0, xa0.4, axb1, xb其中0ab,則P a2Xa+b2= 0.4 .解: P a2Xa+b2=Fa+b2-Fa2=0.4-0=0.46.設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,c是一個常數(shù),則P X=c= 0.7. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx=13ex, x013(x+1), 0x21, x2則X的

21、概率密度為f(x),則當(dāng)x00, x0其中概率密度為f(x),則f(1)= 2e-2 .9. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為fx=12a, -a x0.要使P X1=13,則常數(shù)a= 3 . 解: P X1=1-P X1=13,P X1=23=12a10.設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),(x)為其分布函數(shù),則x+(-x)= 1 .11.設(shè)XN(,2),其分布函數(shù)為Fx,(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則F(x)與(x)之間的關(guān)系是Fx= (x-) .12.設(shè)XN(2,4),則P X2= 0.5 .13.設(shè)XN(5,9),已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值0.5=0.6915,為使P Xa0.6915,則常數(shù)a 6.5 . 解: Fa=a-=a-53, a-530.514. 設(shè)XN(0,1),則Y=2X+1的概率密度fYy= 122e-(Y-1)28 .解: Y=gx=2X+1, X=hy=Y-12,hy=12fYy=fxhy h(y)=12e-(Y-12)22*12=122e-(Y-1)