1、 整數(shù)根問(wèn)題整數(shù)根問(wèn)題 2 2 1 / 6 第十三講 整數(shù)根問(wèn)題 2 1 當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程 2 110 xmxm 的兩根都是整數(shù)？ 解 法1 ： 設(shè) 兩 整 數(shù) 根 為 ,， 且 ， 則 有11 mm，, 所 以 有 311 2 ， 則 31 11 或 11 31 ， 解 得 4 2 或 0 2 。7 m或1 。 解法 2： 2 求所有正實(shí)數(shù)a，使得方程 2 40 xaxa僅有整數(shù)根。 整數(shù)根問(wèn)題整數(shù)根問(wèn)題 2 2 2 / 6 3 已知方程 2 (5)510 xaxa 有兩個(gè)整數(shù)根，求a的值。 解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ,（ ）則 15 5 a a 消去a后，得1)5)(5( ，

2、 15 15 ，即 6 4 ，105,10 a，5 a 4 求使關(guān)于x的方程 223 (1)(1)260axaxa有兩個(gè)整數(shù)根的所有整數(shù)a。 5 若k為正整數(shù)，一元二次方程 2 (1)0kxpxk有兩個(gè)正整數(shù)根，求 k p的值。 6 已知方程 2 0 xpxq有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，, p q是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)方程的根。 整數(shù)根問(wèn)題整數(shù)根問(wèn)題 2 2 3 / 6 7 若直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程 2 210mxxm 的根（m為整數(shù)） ，這樣的 三角形是否存在？若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解 ： 當(dāng)0 m時(shí) ， 2 1 x（ 舍 ）， 當(dāng)0 m時(shí) ，

3、 設(shè) 兩 整 數(shù) 根 為 ,且 , 則 mm m m 1 1 12 ， 1 m， 當(dāng)1 m時(shí)，02 2 xx。20 ， （舍） ，當(dāng)1 m時(shí)，022 2 xx，1284 ，不是完全平方數(shù)，無(wú)整數(shù)解。不存 在這樣的三角形。 8 設(shè)函數(shù) 32 2221f xxaaxa a，a為實(shí)數(shù)。 （1） 證明： 0f a （2） 如果關(guān)于x的方程 0f x 有三個(gè)整數(shù)根，試求實(shí)數(shù)a的所有值。 解：1） 1222 23 aaaaaaaf02222 2323 aaaaaa 2） 22 2 aaxxaxxf，x有 3 個(gè)整數(shù)根，ax 是其中一個(gè)，即a為整數(shù) 且022 2 aaxx有兩個(gè)整數(shù)根，設(shè)為 ，、。22 aa

4、， 222 ， 622 。 62 12 ， 32 22 ， 12 62 ， 22 32 ，解得 4 1 ， 1 0 ， 3 8 ， 4 5 。此時(shí)9 11 1 3， a。 綜上可知，9 11 1 3， a。 9 求當(dāng)m為何整數(shù)時(shí)， 關(guān)于x的一元二次方程 2 690mxx與 22 44450 xmxmm 的根 都是整數(shù)？ 整數(shù)根問(wèn)題整數(shù)根問(wèn)題 2 2 4 / 6 10 已知, a b為正整數(shù)，且滿足 22 4 49 ab aabb ，求, a b的值。 11 求出所有這樣的正整數(shù)a，使得二次方程 2 2(21)4(3)0axaxa至少有一個(gè)整數(shù)根。 12 若關(guān)于x的方程 2 2(3)(2)0axaxa至少有一個(gè)整數(shù)根，且a為整數(shù)，求a的值。 整數(shù)根問(wèn)題整數(shù)根問(wèn)題 2 2 5 / 6 13 已知, a b為整數(shù)，若一元二次方程 22 (21)40 a b xaxabxaab 的根都是整數(shù)， 求, a b的值。 14 設(shè)方程 222 1 70a xaxa 的兩根都是整數(shù)，求所有正數(shù)a。 整數(shù)根問(wèn)題整數(shù)根問(wèn)題 2 2 6 / 6 1.1. 已知方程 2 340 xxa有兩個(gè)整數(shù)根。 （1）求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)根，一個(gè)是偶數(shù)根。 （2）求