1、第四章方程求解與代數(shù)符號化,方程求解問題的研究是代數(shù)學產(chǎn)生的重要源泉。代數(shù)學的基本方法：用符號表示研究對象以及這些對象間的關(guān)系。代數(shù)學發(fā)展的歷史，就是代數(shù)學符號化的歷史：文字表示、縮記代數(shù)、符號代數(shù)學,4.1早期的方程求解方法,4.1.1配方法與數(shù)表法古巴比倫的第13901號泥版，記述了這樣一個問題：“把正方形的面積加上正方形邊長的三分之二得35/60，求該正方形的邊長?！眻D4.1普林頓322號泥版這個問題相當于求解方程x2+（2/3）x=35/60。古巴比倫人的解法則相當于將方程x2+px=q的系數(shù)代入公式,古巴比倫人還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法，這些解法則記錄在一些數(shù)表上。,圖4

2、。1普林頓第322號泥版勾股數(shù)表,4.1.2九章算術(shù)的“方程術(shù)”,九章算術(shù)中的“方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門論著。它在世界數(shù)學歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。九章算術(shù)把這些線性方程組的解法稱為“方程術(shù)”，其實質(zhì)相當于現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過對方程的系數(shù)矩陣實施遍乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實現(xiàn)減元、獲取方程解的過程。,在“方程章”問題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)：如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。劉徽：“程

3、，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。”法。,4.1.3開方法解方程,中國古代把解二次方程x2+bx=c的方法稱作“帶從開方”；把解三次方程x3+bx2+cx=d的方法稱作“帶從開立方”。北宋數(shù)學家劉益（公元1112世紀人）使用“增乘開方法”求解一元高次方程。,如，使用“增乘開方法”解x2+60 x=864.列三行橫式160864補零（前移一位，100600864（2說明商為二位數(shù)），首商得2，增乘一次20080010040064200再增乘一次，10020064去零（后移一位），12064（4次商得4，增乘一次4_64

4、1160恰好減盡。故得方程根x=24。,4.1.4幾何方法解方程,開平方口訣（“開平方不用慌，20倍前商加后商”）的幾何推導方法,圖4.4面積法開平方由于面積55225值是一個萬位數(shù)，可以估計出它的邊長是個三位數(shù)，令其邊長是三位數(shù)。(100a+10b+c)2=55225.為此，先估計a=2，如圖4.4，于是在AB上截取AE=200,以A為一邊做正放形AEFG,從正方形ABCD中減去它，得“曲尺形”EBCDGF的面積：5522540000=15225。為估計b，用EF的2倍（定法）去試除這個余數(shù)，得b=3。在EB上截取EH=30，以AH為一邊再作正方形AHIJ。從圖上可知：矩形FH的面積=矩形F

5、J的面積=30EF=300200.正方形的FI的面積=302。因此，從正方形ABCD減去正方形AHIJ所余的更細的“曲尺形”的面積為15225（230200+302）=2325。最后估計個位數(shù)，用HI230的2倍去試除這個余數(shù)，得c5。在HB上截取HK5,再以AK為一邊做正方形AKLM，從正方形ABCD減去它，得2325（25230+52）=0。即K與B重合，AB之長恰好為235，此即所求的平方根：2352=55225。,古希臘尺規(guī)作圖方法求解一次和二次方程,一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例項：ab=1x，因而可以用尺規(guī)作圖的方法求得x圖4.5解方程x2px+q2=0的幾何方法假如r

6、和s表示二次方程x2px+q2=0的兩個根，其中p和q是正整數(shù)，且qp/2（這后一個條件，保證r和s都為正數(shù)）。用幾何方法求解這個方程的根，就等價于由給定線段P和q求出線段r和s。用現(xiàn)代數(shù)學中的韋達定理可知r+s=p，rs=q2。于是相應的幾何方法可以是：作一個正方形，使它的面積等于給定的正方形，而它的相鄰兩邊的乘積等于給定的一個線段長。為此，可由圖4.5得到上述的方程幾何求解方法。,1世紀的波斯數(shù)學家海牙姆（約1044約1123）給出了三次方程的幾何解法。這種方法是在使用直尺和圓規(guī)作圖的前提下，再允許畫某一特定的圓錐曲線，便可以解得三次方程。,4.2代數(shù)的符號化,4.2.1丟番圖的縮記符號,

7、丟番圖將未知量稱為“題中的數(shù)”，并用記號表示，相當于現(xiàn)在的x。未知量的平方記為，“”是希臘單字“YNAMIE”(dynami，冪)的第一個字母。未知量的立方記為K，“K”是單詞希臘單字“KYBOE”(cubos,立方)的第一個字母。未知量的四次方，丟番圖用來表示，他稱之為“平方平方”；五次方用K表示，稱為“平方立方”；六次方用KK表示，稱為“立方立方”，以此類推。他還用一些符號表示分數(shù)，例如，他用s表示，減號很像V的倒置，再加上這個角的平行線。在一個表達式中，L表示等號，加法他是用并列來表示的，而乘法和除法則通過累加累減去進行。在他的符號系統(tǒng)中，沒有加法、乘法和除法的運算記號。所有的負項集中到

8、一起，前面寫一個減號。任何未知數(shù)之冪的數(shù)字系數(shù)用相應的希臘字母來表示，寫在表示這個冪的符號之后。如果存在常數(shù)項，則用來表示，“”是希臘文中“monads”（MONAE，意為“單位”）一詞的縮寫。,4.2.2花拉子米的“代數(shù)學”,“代數(shù)學”（algebra）這個詞來源于花拉子米所著的一本書。原意是“還原”，專指把負項移到方程另一邊使之變成正項的方法?；ɡ用椎倪€原和對消運算分別對應于現(xiàn)在方程的移項和合并同類相運算。其中的配方法，給出了解一元二次方程的公式，并得到了二次方程的兩個根。盡管這些方法在花拉子米的著作中是用實際問題的解法被紀錄下來的，但它們具有求解方程的一般方法的意義,在花拉子米系統(tǒng)地研

9、究了六種類型的一次和二次方程及其解法，ax2=bx，ax2=c，ax=c，ax2+cx=c，ax2+c=bx，bx+c=ax2對于前三種類型方程，花拉子米把方程ax2=bx看作線性方程，拋棄了零根，對于后三種類型方程，花拉子米的解法相當于現(xiàn)在的配方法。花拉子米首先敘述了用根號表示方程根的法則，然后給出它的幾何證明?；ɡ用讓嶋H上已經(jīng)給出了首項系數(shù)為1的一元二次方程的求根公式。,4.2.3印度的代數(shù)學,從公元5世紀到12世紀，印度數(shù)學對世界數(shù)學的影響較大的有兩個方面。最先制定了現(xiàn)在世界上通用的數(shù)碼及記數(shù)制度，并在這個基礎上形成了整套計算技術(shù)。另一方面是建立了包括分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)的代數(shù)學，并給出

10、了二次方程的一般解法。他們認識到二次方程有兩個根，而且可以包括負根和無理根。,4.2.4天元術(shù)與四元術(shù),天元術(shù)一元高次方程的籌式布列方法,如方程：2x2+654x=0與x4+15245x26262506.25=0,圖4.7用天元術(shù)在籌圖中布列方程在籌算中表示為：用現(xiàn)代數(shù)字表示，這兩個方程改寫為：,4.2.4b四元術(shù),“四元術(shù)”則規(guī)定了含有兩個、三個或四個未知數(shù)的方程的布列方法。未知數(shù)設為“天”、“地”、“人”、“物”，就相當于現(xiàn)在的x、y、z、，用“太”表示常數(shù)項，放于籌式的中心；表示未知數(shù)的天、地、人、物的系數(shù)分別放在“太”的下方、左方、右方和上方。例如，方程3x+2y+3z+4w+5=0的

11、布列方法是：,對于更多復雜的方程，其系數(shù)在算籌中的放置方法，如圖4.10。圖4.10四元方程的籌算布列方法“四元術(shù)”給出了在籌圖上求解多元方程的方法消元法如，兩個多項式相加減，只須將表示多項式的籌式中的“太”的位置對齊，將對應元素相加減；用某元的冪乘方程時，只須將原方程的籌式做平移；“互隱通分相消”的操作過程較為復雜，是將二元的方程化為一元方程的關(guān)鍵方法，也是“四元術(shù)”最為精彩的一部分。我們將通過實例說明它的具體使用方法。,4.2.5方程的公式解,大術(shù)（卡當，1545年）中記載了缺二次項的三次方程的解法：求解方程x3+mx=n，其中m與n是正數(shù)?？ó斠雝與u兩個參數(shù)量，并令tu=n，（1）以

12、及（tu）=（）3.（2）然后他斷言x=.（3）他利用（1）及（2）進行消元并解所得的二次方程，得出t=+，u=.這里我們也像卡當那樣取正根。求出了t和u后,并用（3）給出x的一個值,大術(shù)中解四次方程的費拉利解法。設方程x4+bx3+cx2+dx+e=0。移項后得x4+bx3=cx2dxe。在左邊加上（bx）2配成平方。得（x2+bx）2=（b2c2）x2dxe。兩邊再加上（x2+bx）y+y2，得（x2+bx）2+（x2+bx）y+y2=（b2c+y）x2+（byd）x+y2e。（1）若使右邊這個x的二次式的判別式等于零，就能使這一邊成為x的一次式的完全平方。于是設（byd）24（b2c+y

13、）（y2e）=0（2）這是y的一個三次方程。選取這個三次方程的任一個根代入替（1）中的y。根據(jù)左邊也是個完全平方這一事實,取平方根，得到x的一個二次式，它等于x的兩個互為正負的線性函數(shù)之一。解出這兩個二次方程便得到x的4個根。若從（2）中選取另一個根就會從（1）引出一個不同的方程，但會得到同樣的四個根。,4.2.6走出縮記法,法國數(shù)學家韋達尋找出一種求解各種類型代數(shù)方程的通用方法過程中，第一個有意識地、系統(tǒng)地使用了字母。通常他用輔音字母來表示已知量，用元音字母表示未知量。韋用拉丁語表示各次方冪。例如，現(xiàn)在的a,a2,a3，韋達記作A,Aquadratum,Acubum,，有時還縮寫減化為A，A

14、Q，AC。韋達使用了“+”和“”分別表示加法與減法，但沒有使用固定符號來表示乘號和等號，仍然用文字來說明。如恒等式a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3,韋達的寫法是acubum+binaquadr.3+ainbquadr.3+bcuboequaliacubum.“類的算術(shù)”（Iogisticaspeciosa）,以區(qū)別于“數(shù)的算術(shù)”（Iogisticanumerosa）,類的算術(shù)是施行于事物的類或形式的運算，而數(shù)的算術(shù)僅僅與具體的數(shù)字有關(guān)。韋達的這些論述，第一次將代數(shù)與算術(shù)區(qū)分開來，使類的算術(shù)（即代數(shù)）成為研究一般類型的數(shù)學形式和方法的學問。在引入字母符號之后,韋達就發(fā)現(xiàn)了三、四方程一

15、般解的方法。,4.3數(shù)學符號化的意義,4.3.1促進數(shù)學理論形成用符號代替數(shù)字和運算是數(shù)學發(fā)展的瓶頸“中國代數(shù)學在14世紀以后停滯不前的事實，主要由于它不完善的、無適應的符號?！睌?shù)學的符號化，使數(shù)學理論的體系更嚴密，并且具有普遍性、適應性。,4.3.2簡縮數(shù)學思維過程,懷特海所說：“這些術(shù)語和符號的引入，往往是為了理論的易于表述和解決問題。特別是在數(shù)學中，只要細加分析即可發(fā)現(xiàn)符號化給數(shù)學理論的表述和論證帶來極大的方便，甚至是必不可少?！庇辛朔栿w系，就可以引入簡單的字母符號來表示數(shù)學對象,從整體上把握事物的內(nèi)在聯(lián)系比如，要比較以下A與B的大小：A=(1+2+3+100)(2+3+4+101)B=(1+2+3+101)(2+3+4+100)。令1+2+3+100=a，用字母a表示其它的對象，從而化簡A、B，得出，A=a(a+100),B=（a+101）（a1），進而求解。,4.4學校的代數(shù)教育,4.4.1從算術(shù)到代數(shù)的教育目標教育原理：個體發(fā)育應再現(xiàn)系統(tǒng)的發(fā)育。意思是，教育中向?qū)W生講授一門