1、第九章柱形桿的扭轉(zhuǎn)和彎曲,本章主要討論任意截面柱形桿的自由扭轉(zhuǎn)。材料力學(xué)中研究了圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，采用了平面假設(shè)。對非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，一般橫截面不再保持平面，即截面產(chǎn)生翹曲。,目錄9.1扭轉(zhuǎn)問題的位移解法(圣維南扭轉(zhuǎn)函數(shù)）9.2扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法(普朗特應(yīng)力函數(shù)）9.3扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法9.4橢圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)9.5帶半圓形槽的圓軸的扭轉(zhuǎn)9.6厚壁圓筒的扭轉(zhuǎn)9.7矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)9.8薄壁桿的扭轉(zhuǎn),9.1扭轉(zhuǎn)問題的位移解法-圣維南扭轉(zhuǎn)函數(shù),柱體扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲自由扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲變形不受限制約束扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲變形受到限制彈性力學(xué)討論自由扭轉(zhuǎn),自由扭轉(zhuǎn)的位移,調(diào)和函數(shù),柱體自由扭轉(zhuǎn)位移解法,1.2.

2、翹曲假設(shè),位移解法基本方程,Laplace方程,設(shè)單位長度相對扭轉(zhuǎn)角為,柱體扭轉(zhuǎn)邊界條件,側(cè)面邊界條件,柱體的自由扭轉(zhuǎn)的位移解法，歸結(jié)為在邊界條件（9-4）下求解方程（9-2）。,端面邊界條件,x,y,邊界條件,側(cè)面,端面,單連域取為0,9.2扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法-普朗特應(yīng)力函數(shù),由：,可得：C=-2,普朗特（Prandtl）扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù),9.3扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法,德國力學(xué)家普朗特（Prandtl）基本思想：作用均勻壓力的薄膜與柱體扭轉(zhuǎn)有著相似的微分方程和邊界條件。通過研究薄膜所張成的曲面的等高線，分析柱體扭轉(zhuǎn)時橫截面的應(yīng)力分布。薄膜比擬,設(shè)有一均勻薄膜，張在一個水平邊界上（邊界形狀和扭轉(zhuǎn)柱體

3、截面形狀相同或成比例）。,x,x,y,dx,dy,O,T,q,z,在微小均勻壓力作用下，薄膜產(chǎn)生垂度z（x,y），,薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和面內(nèi)壓力，只能承受均勻拉力T,在薄膜中取微單元abcd，其投影為矩形，邊長為dx，dy；其上作用有側(cè)向壓力q和張力T。,dx,dy,a,b,d,c,微單元在Oz軸方向的平衡：各邊的拉力及其在Oz軸上的投影：,dx,dy,a,b,d,c,T,壓力在Oz軸上的投影為,薄膜平衡方程：,即,在邊界上，薄膜垂度為零,扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)：,邊界條件,或,或,在薄膜曲面上，形象地表示出橫截面上應(yīng)力的分布情況。想象用一系列和Oxy平行的平面與薄膜曲線相截，可得到一系列的曲線

4、。顯然，這些曲線是薄膜的等高線圖。,薄膜的等高線，對應(yīng)于扭轉(zhuǎn)桿橫截面上這樣的曲線，其上各點的應(yīng)力與曲線向切。這種曲線稱為切應(yīng)力線。,應(yīng)力環(huán)量,通過比擬，可以定性地勾畫出截面上應(yīng)力分布的大致情況。要知道哪一點的切應(yīng)力最大，就看看薄膜上哪一點的斜率最大。也就是說，薄膜上斜率最大點，就是對應(yīng)的橫截面上最大切應(yīng)力的作用點。,研究圖中某一條等高線所圍成的薄膜的平衡，設(shè)這一部分薄膜的面積為A，則,9.4橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn),橢圓截面桿件,1.求應(yīng)力函數(shù),用逆解法，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為,B為待定常數(shù)，將式（b）代入式（9-8）得,(a),(b),則,橢圓截面邊界方程為：,(a),將式(c)代入式（9-12）得,因為,得

5、,(c),(d),(e),2.求應(yīng)力分量,將式(c),（e）代入式（9-7），得,截面上任一點的合剪應(yīng)力為,最大剪應(yīng)力發(fā)生在短半軸的兩端,最小剪應(yīng)力發(fā)生在長半軸的兩端,x,y,O,3.求位移分量,代入式(9-1a)，得,翹曲位移為,將,最大切應(yīng)力橫截面翹曲,扭轉(zhuǎn)應(yīng)力,-帶半圓槽的圓截面桿的扭轉(zhuǎn),半徑為a的圓截面桿，具有半徑為b的半圓鍵槽，求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。,x,y,O,半徑為b的半圓鍵槽方程為,r,半徑為a的大圓方程（除原點O）,b,整個邊界方程可表示為,A,B,設(shè),由,最大剪應(yīng)力在A點，A（b，0)，得,x,y,O,r,b,A,B,B（2b，0）點的剪應(yīng)力,有一很小半圓槽時，槽底的最大剪應(yīng)力是無槽

6、圓軸最大剪應(yīng)力的兩倍。,當(dāng)b10和g0.333最大切應(yīng)力單位長度扭轉(zhuǎn)角,實際工程上經(jīng)常遇到開口薄壁桿件，例如角鋼、槽鋼、工字鋼等，這些薄壁件其橫截面大都是由等寬的狹長矩形組成。無論是直的還是曲的，根據(jù)薄膜比擬，只要狹長矩形具有相同的長度和寬度，則兩個扭桿上的剪應(yīng)力沒有多大差別。,一開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),設(shè)及分別表示扭桿橫截面的第i個狹矩形的長度和寬度，Ti表示該矩形截面上承受的扭矩，T表示整個橫截面上的扭矩，i代表該矩形長邊中點附近的剪應(yīng)力，為單位長度扭轉(zhuǎn)角。則由狹長矩形的結(jié)果，得,(a),(b),由式(a)得,(c),這個橫截面上的扭矩為,(d),由式(c)和式(d)消去,得,代回式(a)和式

7、(b),我們得到,值得注意的是：由上述公式給出的狹長矩形長邊中點的剪應(yīng)力具有相當(dāng)高的精確，然而，由于應(yīng)力集中的存在，兩個狹矩形的連接處，可能存在遠(yuǎn)大于此的局部剪應(yīng)力。,(9-32),(9-33),應(yīng)力集中長邊中點切應(yīng)力給出了相當(dāng)精確的解答局部切應(yīng)力局部tmax與圓弧半徑r與狹長矩形的短邊di的比值有關(guān),1,T,T,T,(9-33),圖4,(9-33),4,(9-33),(9-33),T,T,T,二閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),設(shè)外邊界所包圍面積的平均值（即薄壁桿件截面中線所包圍的面積）為A，于是有,對于閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題，可以通過薄膜比擬法求得近似解答。如圖5所示，假想在薄桿橫截面的外邊界上張一張膜

8、，保證薄膜外邊界的垂度為零，內(nèi)邊界處的垂度為常量。由于桿壁厚度很小，所以沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量。于是，在桿壁的厚度處，剪應(yīng)力的大小應(yīng)等于薄膜的斜率，即,(2-7),其中，h為桿壁厚度薄膜的垂度。,圖5,(e),由此得,代入式（e）得,可見，剪應(yīng)力與桿壁的厚度成反比，最大的剪應(yīng)力發(fā)生在桿壁最薄處。,為了求出單位長度扭轉(zhuǎn)角，先求出桿橫截面中心線上的應(yīng)力環(huán)量，以A表示中心線所包圍的面積，于是有,(9-34),得,如果桿壁為等厚度的，則,其中，s為桿截面中心線的長度。,圖6,(9-35),若閉口的薄壁桿有凹角在凹角處有可能發(fā)生高度的應(yīng)力集中現(xiàn)象。比值和之間的關(guān)系，如圖6所示。其中為圓角半徑。,對于薄壁桿的橫截面有兩個孔的多連通域情況，如圖7所示，由于桿壁厚都很小，于是有,其中，h1