1、六年級奧數(shù)專題：找規(guī)律同學(xué)們從三年級開始，就陸續(xù)接觸過許多“找規(guī)律”的題目，例如發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)字或數(shù)表的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期變化規(guī)律等等。這一講的內(nèi)容是通過發(fā)現(xiàn)某一問題的規(guī)律，推導(dǎo)出該問題的計算公式。例1 求99邊形的內(nèi)角和。分析與解：三角形的內(nèi)角和等于180，可是99邊形的內(nèi)角和怎樣求呢？我們把問題簡化一下，先求四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和，找一找其中的規(guī)律。如上圖所示，將四邊形ABCD分成兩個三角形，每個三角形的內(nèi)角和等于180，所以四邊形的內(nèi)角和等于1802= 360；同理，將五邊形ABCDE分成三個三角形，得到五邊形的內(nèi)角和等于1803540；將六邊形ABCDEF分成

2、四個三角形，得到六邊形的內(nèi)角和等于1804720。通過上面的圖形及分析可以發(fā)現(xiàn)，多邊形被分成的三角形數(shù)，等于邊數(shù)減2。由此得到多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和=180（n-2）（n3）。有了這個公式，再求99邊形的內(nèi)角和就太容易了。99邊形的內(nèi)角和=180（99-2）17460。例2 四邊形內(nèi)有10個點(diǎn)，以四邊形的4個頂點(diǎn)和這10個點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，最多能剪出多少個小三角形？分析與解：在10個點(diǎn)中任取一點(diǎn)A，連結(jié)A與四邊形的四個頂點(diǎn)，構(gòu)成4個三角形。再在剩下的9個點(diǎn)中任取一點(diǎn)B。如果B在某個三角形中，那么連結(jié)B與B所在的三角形的三個頂點(diǎn)，此時三角形總數(shù)增加2個（見左下圖）。如果B在某兩個三角

3、形的公共邊上，那么連結(jié)B與B所在邊相對的頂點(diǎn)，此時三角形總數(shù)也是增加2個（見右下圖）。類似地，每增加一個點(diǎn)增加2個三角形。所以，共可剪出三角形 4 2 9= 22（個）。如果將例2的“10個點(diǎn)”改為n個點(diǎn)，其它條件不變，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形42（n-1）=2n2=2（n1）（個）。同學(xué)們都知道圓柱體，如果將圓柱體的底面換成三角形，那么便得到了三棱柱（左下圖）；同理可以得到四棱柱（下中圖），五棱柱（右下圖）。如果底面是正三角形、正四邊形、正五邊形那么相應(yīng)的柱體就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱例3 n棱柱有多少條棱？如果將不相交的兩條棱稱為一對，那么n棱柱共有多少對不相交的棱？分

4、析與解：n棱柱的底面和頂面都是n邊形，每個n邊形有n個頂點(diǎn)，所以n棱柱共有2n個頂點(diǎn)。觀察三棱柱、四棱柱、五棱柱的圖形，可以看出，每個頂點(diǎn)都與三條棱相連，而每條棱連接 2個頂點(diǎn)，所以n棱柱共有棱 2n32=3n（條）。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，n棱柱中每條棱都與4條棱相交，與其余的3n4-1 =（3n5）條棱不相交。共有3n條棱，所以不相交的棱有 3n（3n- 5）（條），因?yàn)椴幌嘟坏睦馐浅蓪Τ霈F(xiàn)的，各計算一遍就重復(fù)了一遍，所以不相交的棱共有3n（3n-5）2（對）。例4 用四條直線最多能將一個圓分成幾塊？用100條直線呢？分析與解：4條直線時，我們可以試著畫，100條直線就不可能再畫了，所以必須尋

5、找到規(guī)律。如下圖所示，一個圓是1塊；1條直線將圓分為2塊，即增加了1塊；2條直線時，當(dāng)2條直線不相交時，增加了1塊，當(dāng)2條直線相交時，增加了2塊。由此看出，要想分成的塊盡量多，應(yīng)當(dāng)使后畫的直線盡量與前面已畫的直線相交。再畫第3條直線時，應(yīng)當(dāng)與前面2條直線都相交，這樣又增加了3塊（見左下圖）；畫第4條直線時，應(yīng)當(dāng)與前面3條直線都相交，這樣又增加了4塊（見右下圖）。所以4條直線最多將一個圓分成11234=11（塊）。由上面的分析可以看出，畫第n條直線時應(yīng)當(dāng)與前面已畫的（n1）條直線都相交，此時將增加n塊。因?yàn)橐婚_始的圓算1塊，所以n條直線最多將圓分成1（123n）=1n（n+1）2（塊）。當(dāng)n=1

6、00時，可分成1100（1001）2=5051（塊）。例5 用3個三角形最多可以把平面分成幾部分？10個三角形呢？分析與解：平面本身是1部分。一個三角形將平面分成三角形內(nèi)、外2部分，即增加了1部分。兩個三角形不相交時將平面分成3部分，相交時，交點(diǎn)越多分成的部分越多（見下圖）。由上圖看出，新增加的部分?jǐn)?shù)與增加的交點(diǎn)數(shù)相同。所以，再畫第3個三角形時，應(yīng)使每條邊的交點(diǎn)盡量多。對于每個三角形，因?yàn)?條直線最多與三角形的兩條邊相交，所以第3個三角形的每條邊最多與前面2個三角形的各兩條邊相交，共可產(chǎn)生3（22）= 12（個）交點(diǎn)，即增加12部分。因此， 3個三角形最多可以把平面分成11612= 20（部分

7、）。由上面的分析，當(dāng)畫第n（n2）個三角形時，每條邊最多與前面已畫的（n1）個三角形的各兩條邊相交，共可產(chǎn)生交點(diǎn)3（nl）2=6（n1）（個），能新增加6（n1）部分。因?yàn)?個三角形時有2部分，所以n個三角形最多將平面分成的部分?jǐn)?shù)是2612（n1）當(dāng)n=10時，可分成2310（101）=272（部分）。練習(xí)1.求12邊形的內(nèi)角和。2.五邊形內(nèi)有8個點(diǎn)。以五邊形的5個頂點(diǎn)和這8個點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，最多能剪出多少個小三角形？3.已知n棱柱有14個頂點(diǎn)，那么，它有多少條棱？4.n條直線最多有多少個交點(diǎn)？5.6條直線與2個圓最多形成多少個交點(diǎn)？6.兩個四邊形最多把平面分成幾部分？練習(xí)答案：1.1800。2.19個。提示：與例2類似可得5+2（8-1）=19（個）。3.21條棱。提示：n棱柱有2n個頂點(diǎn)，3n條棱。4.n（n-1）2。解：1+2+3+（n-1）=n（n-1）2。5.41個。解：6條直線有交點(diǎn)6（6-1）2=15（個），每條直線與兩個圓各有2個交點(diǎn)，兩個圓之間有2個交點(diǎn)，共有交點(diǎn)15+64+2=41（個）。6.10部分。提示：見右圖。與例5類似，當(dāng)畫第n（n2）