1、4.3 函數(shù)單調(diào)性與極值,函數(shù)單調(diào)性的判別法 函數(shù)的極值及其求法,直觀觀察,函數(shù)單調(diào)性的判別法,證,應(yīng)用拉氏定理,得,單調(diào)性判別法之證明,解,例1,注,函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性,例2,解:,單調(diào)區(qū)間,定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點,討論函數(shù)的單調(diào)性可以按以下步驟進(jìn)行：,1）確定函數(shù) f(x)的定義域；,2）求 f (x)，找出使 f (x)=0和 f (x)不存在的點， 以這些點為分界點，把定義域分成若干區(qū)間；,3

2、）在各個區(qū)間上判別 f (x)的符號，以此確定 f(x)的單調(diào)性。,討論函數(shù)單調(diào)性的步驟,例3,注:區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零或不存在 , 不影響函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性.,例4,例5 (利用單調(diào)性證明不等式),證,例6 (利用單調(diào)性證明不等式）,小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.,思考題,不能斷定.,例,但,思考題之解答(第1頁）,當(dāng) 時，,當(dāng) 時，,注意 可以任意大，故在 點的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增,思考題解答(第2頁),極值是局部區(qū)域上的 最大或最小值； 在間斷

3、點或端點處不 考慮極值。,觀察圖形,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,定義,極值的定義,極值存在的必要條件,定理,定義,注意:,例如,駐點與極值點,極值存在的第一充分條件,左側(cè)單增,右側(cè)單減,極值存在的第一充分條件,左側(cè)單減,右側(cè)單增,極值存在的第一充分條件,(不是極值點情形),左右側(cè)皆單增,左右側(cè)皆單減,求極值的步驟,例1,圖形如下,例1中函數(shù)之圖形,極限存在的第二充分條件,證,定理之證明,解,例2,圖形如下,例2中函數(shù)之圖形,注,注意:,例3,以下命題正確嗎？,思考題,不正確,例,思考題之解答（第1頁）,在1和1之間振蕩,故命題不成立,思考題解答（第2頁）,思

4、考題解答（第3頁）,函數(shù)的最大值和最小值,最值與極值的區(qū)別 最大最小值的求法,函數(shù)的最大值和最小值,最值與極值的區(qū)別,設(shè)函數(shù) y = f(x) 定義在區(qū)間 a, b 上.,最大(小)值是對整個區(qū)間而言的， 而極大 （?。┲凳菍O值點的某個鄰域而言的, 是局 部性的. 所以說，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)， 而極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,(2) 最大（最?。┲悼梢栽趨^(qū)間的端點取得， 而極值只能在開區(qū)間內(nèi)取得.,本節(jié)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的假設(shè),由連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)，連續(xù)函數(shù) 在閉區(qū)間上一定能取得最大最小值. 為了簡化 討論，在本節(jié)中我們假設(shè)所討論的函數(shù)在閉區(qū) 間內(nèi)只有有限個駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點，因此 極值點只

5、能有有限多個.,函數(shù)在哪些點處可能取最值？,由前面的討論，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取得最值，則 此最值點必為極值點，故它為駐點或?qū)?shù)不存在的 點. 因此最值只能在區(qū)間端點或駐點或?qū)?shù)不存在 的點處取得. 由于我們假設(shè)了函數(shù)只有有限個駐點 和極限不存在的點，因此我們只需要從有限個函數(shù) 值 （函數(shù)在端點，駐點或?qū)?shù)不存在的點處的函數(shù) 值）中找出最大最小值.,1. 求函數(shù)的駐點和不可導(dǎo)點.,2. 求函數(shù)在區(qū)間端點、駐點和不可導(dǎo)點處的函數(shù)值, 比較大小, 最大者即為最大值, 最小者即為最小值.,求最大最小值的步驟,例1,例1中函數(shù)之圖像,(1) 建立所論問題中變量的函數(shù)關(guān)系式（目標(biāo)函數(shù)）;,(2) 求最值;,

6、實際問題求最值,注：若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點，有根據(jù)問題的實際意義最大(小)值存在, 則該點的函數(shù)值即為所求的最大（或最小）值,例2,解,如圖,例2之解答,目標(biāo)函數(shù),解得,例2之解答,曲線的凹凸性、拐點和漸近線,凹凸性、拐點及其判別 漸近線的求法 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線,如何研究曲線彎曲的方向？,如果函數(shù)曲線位于其每一點切線的下方則稱曲線在（a, b) 內(nèi)是凸的,如果函數(shù)曲線位于其每一點切線的上方則稱曲線在（a, b) 內(nèi)是凹的,凹凸性的概念,設(shè)函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo).,注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.,拐點的定義,連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點稱為曲線的

7、拐點.,直觀觀察,凹凸性的判定的充分條件,例1,拐點的必要條件,注: 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是曲線的拐點.,回顧：連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點稱為曲線的拐點.,拐點的求法,例2,例2中函數(shù)之圖形,求 的凹凸區(qū)間及其拐點。,解：,令 得,當(dāng)x=0時，f (x)不存在。,例3,用 x=0和 x = -1/2將定義域分開：,和（0，0）為曲線的拐點。,思考題,例,思考題之解答,函數(shù)圖形的描繪是一元函數(shù)微分學(xué)的綜合運用。,最大值,最小值,極大值,極小值,拐點,利用單調(diào)性、凹凸性作圖,拐點,拐點,漸近線之定義,漸近線的分類,垂直漸近線 水平漸近線 斜漸近線,垂直漸近線,垂直漸近線,例如,有垂直漸近線兩條:,垂直漸近線之