1、球的內切與外接問題,內切與外接問題,球,球的內切與外接問題,球的體積、表面積公式：,球的內切與外接問題,4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是_.,練習,1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍.,2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍.,3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是_.,課堂練習,球的內切與外接問題,如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證: (1)球的表面積等于圓柱的側面積. (2)球的體積等于圓柱體積的三分之二.,球的內切與外接問題,用一個平面去截一個球O，截面是圓面,O,球的截面的性質： 1、球心和截面圓心的連線垂直于截面 2、球心到截

2、面的距離為d，球的半徑為R，則,截面問題,球的內切與外接問題,例.已知過球面上三點A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積,例題講解,球的內切與外接問題,球與多面體的接、切,定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的內接多面體， 這個球是這個多面體的外接球。,定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體， 這個球是這個多面體的內切球。,棱切： 一個幾何體各個面分別與另一個幾何體各條棱相切。,內切球球心到多面體各面的距離均相等， 外接球球心到多面體各頂點的距離均相等,球的內

3、切與外接問題,正方體的內切球,球的內切與外接問題,正方體的內切球的半徑是棱長的一半,中截面,切點：各個面的中心。 球心：正方體的中心。,球的內切與外接問題,正方體的外接球,球的內切與外接問題,正方體的外接球半徑是體對角線的一半,對角面,球的內切與外接問題,正方體的棱切球,球的內切與外接問題,球的內切與外接問題,切點：各棱的中點。 球心：正方體的中心。,球的內切與外接問題,中截面,正方體的棱切球,正方體的棱切球半徑是面對角線長的一半,球的內切與外接問題,球的內切與外接問題,球與正方體的“接切”問題,典型：有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體

4、積之比.,球的內切與外接問題,變式題：一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為 .,1、求正方體的外接球的有關問題 例1、若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 .,球的內切與外接問題,2長方體與球,長方體的外接球,長方體的（體）對角線等于球直徑,球的內切與外接問題,一般的長方體有內切球嗎？,沒有。一個球在長方體內部，最多可以和該長方體的5個面相切。,如果一個長方體有內切球， 那么它一定是,正方體,？,球的內切與外接問題,2、求長方體的外接球的有關問題,例2、一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此

5、球的表面積為 .,解析：關鍵是求出球的半徑，因為長方體內接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為 ，故球的表面積為 .,變式題：已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ） A. B. C. D.,C,球的內切與外接問題,如何求直棱柱的外接球半徑呢？（底面有外接圓的直棱柱才有外接球）,（1）先找外接球的球心： 它的球心是連接上下兩個多邊形的外心的線段的中點； （2） 再構造直角三角形，勾股定理求 解。,球的內切與外接問題,球的內切與外接問題,正四面體與球,1.求棱長為a的正四面體的外接球的半徑R.,球的內切與外接問題,2.求棱長為a的正四面體

6、的棱切球的半徑R.,正四面體的外接球和棱切球的球心重合。,球的內切與外接問題,3.求棱長為a的正四面體的內切球的半徑r.,正四面體的外接球和內切球的球心為什么重合？,？,球的內切與外接問題,球的內切與外接問題,正四面體的外接球和內切球的球心一定重合,R:r=3:1,球的內切與外接問題,正四面體的內切球, 棱切球,外接球,三個球心合一,半徑之比為：,球的內切與外接問題,球的內切與外接問題,P,A,B,C,R,.正四面體的外接球還可利用直角三角形勾股定理來求,D,球的內切與外接問題,.正四面體的內切球還可利用截面三角形來求,球的內切與外接問題,求棱錐外接球半徑常見的補形有： 正四面體常補成正方體；

7、 三條側棱兩兩垂直的三棱錐常補成長（正）方體； 三組對棱（兩條棱所在任意平面都不平行）分別相等的三棱錐可補成長（正）方體； 側棱垂直底面的棱錐可補成直棱柱,總結,SA=BC SC=AB SB=AC,球的內切與外接問題,小結2,求棱錐外接球半徑的方法： （1）補形法（適用特殊棱錐） （2）勾股定理法 （通法） 關鍵是找球心，畫出截面圖，構造與R有關的直角三角形。,球的內切與外接問題,已知長方體的長、寬、高分別是 、 、1 ， 求長方體的外接球的體積。,變題：,2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四點，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積。,球的內切與外接問題,1、正多面體的內切球和外接球的球心重合 2、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合,3、體積分割是求內切球半徑的通用做法,球的內切與外接問題,【典例】(2012新課標全國卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的