1、博弈論專題,一、基本概念 、參與人（players） 指的是一個(gè)博弈中的決策主體，他的目的是通過選擇行動（或戰(zhàn)略）以最大化自己的支付（效用）水平。 自然人、團(tuán)體（企業(yè)、國家）、國家集團(tuán)（歐盟、北約等）、自然。,、行動(actions or moves) 參與人在博弈的某個(gè)時(shí)點(diǎn)的決策變量。 可以是連續(xù)的，也可能是離散的,、信息(information) 參與人有關(guān)博弈的知識。 完美信息(perfect information)：指一個(gè)參與人（包括虛擬參與人“自然”）的行動選擇有準(zhǔn)確了解的情況。 完全信息(complete information)：指自然不首先行動或自然的初始行動被所有參與人準(zhǔn)確

2、觀察到的情況。 共同知識（common knowledge）,、支付(payoff) 在一個(gè)特定的戰(zhàn)略組合下參與人得到的確定效用水平，或者是參與人得到的期望效用水平。,、戰(zhàn)略(strategies),、結(jié)果(outcome) 是指博弈分析者所感興趣的所有東西，如均衡戰(zhàn)略組合，均衡行動組合、均衡支付組合（坦白，坦白）、（7，7）,、均衡(equilibrium) 所有參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略的組合。 物理學(xué)上的均衡 經(jīng)濟(jì)學(xué)上的供求均衡 納什均衡 例子：沙灘上的兩個(gè)賣冰淇淋攤販的博弈均衡,占優(yōu)策略：無論其他參與者采取什么策略，某參與者的唯一的最優(yōu)策略就是他的占有策略。,博弈均衡直至博弈中的所有參與者都不想

3、改變自己的策略的這樣一種狀態(tài)。,由博弈中的所有參與者的占優(yōu)策略組合所構(gòu)成的均衡就是占有策略均衡。,合作,不合作,不合作,合作,甲,乙,納什均衡的定義： 在一個(gè)納什均衡里任何一個(gè)參與者都不會改變自己的策略，如果其他參與者不改變策略。 如果的選擇給定，則的選擇是最優(yōu)的； 如果的選擇給定，則的選擇是最優(yōu)的； 這一對策略就是納什均衡。,甲,乙,*在一個(gè)博弈中，只要每一個(gè)參與者都具有占有策略，那么，該博弈就一定存在占優(yōu)策略均衡。但在有的博弈中，并不存在占優(yōu)策略，仍可以達(dá)到博弈均衡。,重復(fù)博弈： 1.在無限期重復(fù)博弈 對于任何一個(gè)參與者的欺騙和違約行為，其他參與者總會有機(jī)會報(bào)復(fù)，以牙還牙，（以合作，不合作

4、的卡特爾為例）：所有成員從一開始就合作，對于每一個(gè)成員來說，只要其他成員是合作的，則他就把合作繼續(xù)下去，但只要有一個(gè)成員背棄合作協(xié)議一次，其他成員就從此在也不與 合作了。,2.在有限期重復(fù)博弈中，和一次靜態(tài)博弈一樣，第次不合作,二、分類 、靜態(tài)博弈：參與人同時(shí)參與選擇行動。 、動態(tài)博弈：參與人的行動有先后順序，且后行動者能夠觀察到先行動者所選擇的行動。 、完全信息：每一個(gè)參與人 對所有其他參與人（對手）的特征、戰(zhàn)略空間及支付函數(shù)有準(zhǔn)確的知識。 、不完全信息：每一個(gè)參與人 對所有其他參與人（對手）的特征、戰(zhàn)略空間及支付函數(shù)沒有準(zhǔn)確的知識。,博弈的分類及對應(yīng)的均衡概念,（一）、納什均衡 經(jīng)典例子：

5、 、囚徒困境:,坦白,抵賴,抵賴,坦白,囚徒,囚徒,、智豬博弈:,按,等待,等待,按,大豬,小豬,足球,芭蕾,芭蕾,足球,男,女,、性別戰(zhàn)：,進(jìn),退,退,進(jìn),4、斗雞博弈：,默許,斗爭,不進(jìn)入,進(jìn)入,進(jìn)入者,在位者,、市場進(jìn)入阻撓,尋找納什均衡的方法： 劃線法 重復(fù)優(yōu)勢解法,古諾模型： 假定： （）市場上有、兩個(gè)廠商生產(chǎn)和銷售相同的產(chǎn)品，它們的生產(chǎn)成本為零； （）它們共同面臨的市場的需求曲線是線性的，、兩個(gè)廠商都準(zhǔn)確地了解市場的需求曲線； （）、兩個(gè)廠商都是在已知對方產(chǎn)量的情況下，各自確定能夠給自己帶來最大利潤的產(chǎn)量，即每一個(gè)廠商都是消極地以自己地結(jié)論的去適應(yīng)對方已確定的產(chǎn)量。,a:1/2,

6、3/8, 11/32 ,43/128,. 1/2 , -1/8, -1/32,-1/128,b:1/4, 5/16 21/64 ,85/256,. 1/4 , +1/16, +1/64,+1/256,令寡頭 廠商的數(shù)量為m，則可得到一般性的結(jié)論： 每個(gè)廠商的均衡產(chǎn)量為：,行業(yè)的總產(chǎn)量為：,尋找納什均衡：,重復(fù)優(yōu)勢解法：逐次刪去劣勢策略。,（二）、完全信息動態(tài)博弈：子博弈精煉納什均衡 、納什均衡存在的問題： （）一個(gè)博弈可能有不止一個(gè)納什均衡，哪一個(gè)會發(fā)生并不知道； （）靜態(tài)博弈時(shí)，不考慮自己的策略對對手的影響，動態(tài)博弈中必須進(jìn)行考慮。 （）納什均衡允許了不可置信威脅的存在。在市場進(jìn)入的例子中，

7、如果在位者擺出一幅“你進(jìn)入我就斗爭”的架式，（不進(jìn)入，斗爭）便成為一個(gè)納什均衡。,默許,斗爭,不進(jìn)入,進(jìn)入,進(jìn)入者,在位者,、澤爾騰的貢獻(xiàn) （）針對靜態(tài)納什均衡的問題，澤爾騰對動態(tài)博弈進(jìn)行了分析，定義了子博弈精煉納什均衡。將納什均衡中不可置信威脅戰(zhàn)略剔除出去，使均衡戰(zhàn)略不再包含不可置信的威脅。它要求參與人的決策在任何時(shí)點(diǎn)上都是最優(yōu)的。決策者要“應(yīng)變”，而不是 “固守”。 （ ）擴(kuò)展性博弈形式的個(gè)要素：參與人；每個(gè)參與人選擇行動的時(shí)點(diǎn)；每個(gè)參與人在每次行動時(shí)可供選擇的行動集合；每個(gè)參與人在每次行動時(shí)有關(guān)對手過去行動選擇的信息；支付函數(shù)。 博弈樹是擴(kuò)展型的一種形象化表述。 “子博弈”,進(jìn)入者,合作

8、,不進(jìn)入,在位者,斗爭,(40,50),(-10,0),(0,300),進(jìn)入,市場進(jìn)入阻撓博弈樹,（）概念：一個(gè)納什均衡稱為精煉納什均衡，當(dāng)且只當(dāng)參與人的戰(zhàn)略在每一個(gè)子博弈中都構(gòu)成納什均衡，即組成精煉納什均衡的戰(zhàn)略必須在每一個(gè)博弈中都是最優(yōu)的。因此，（進(jìn)入，斗爭）不是一個(gè)精煉納什均衡，而（進(jìn)入，合作）是惟一的子博弈精煉納什均衡。 *不可置信的例子： 談戀愛； 破釜沉舟； 紅軍、白軍搶占小島，炸橋斷后路；,計(jì)算題：求出下圖中得益矩陣所表示的博弈中的混合策略納什均衡？,博弈方,博弈方,（三）不完全信息靜態(tài)博弈：貝葉斯納什均衡 市場進(jìn)入的例子進(jìn)入者知道在位者的偏好、戰(zhàn)略空間及各種戰(zhàn)略組合下的利潤水平

9、。如果進(jìn)入者實(shí)際上并不完全了解在位者的生產(chǎn)函數(shù)、成本函數(shù)及偏好，這就是不完全信息博弈。 設(shè)想在位者成本函數(shù)有兩種可能的情況，對應(yīng)于這兩種情況的支付矩陣分別如表一和表二： 解釋： 在給定進(jìn)入者選擇進(jìn)入的情況下，高成本在位者的最優(yōu)戰(zhàn)略是默許，而低成本在位者的最有戰(zhàn)略是斗爭。 低成本情況下斗爭之所以比默許優(yōu)，可能是由于在位者的生產(chǎn)成本是如此低，從而他在非常低的價(jià)格下獲得的壟斷利潤也高于相對高的價(jià)格下分享到的寡頭利潤；也可能在位者有一種好斗的天性，他更樂于與進(jìn)入者斗爭而不是合作。,默許,斗爭,不進(jìn)入,進(jìn)入,進(jìn)入者,在位者,表一：市場進(jìn)入：高成本情況,默許,斗爭,不進(jìn)入,進(jìn)入,進(jìn)入者,在位者,表一：市場

10、進(jìn)入：低成本情況,在1967年以前，遇到這種不知對手的選擇情況，自己的戰(zhàn)略自然無法選擇，因此相應(yīng)的問題無法解決。海薩尼的貢獻(xiàn)在于引進(jìn)了一個(gè)虛擬的參與人“自然”，使得上述情況可以分析。 自然首先行動選擇參與人的類型，被選擇的參與人知道自己的真是類型，而其他參與人并不清楚這個(gè)被選擇的參與人的真是類型，僅知道各種可能類型的概率分布。 另外，被選擇的參與人也知道其他參與人心目中的這個(gè)分布函數(shù)，即分布函數(shù)是一種共同知識(common knowledge)。,在市場進(jìn)入的這個(gè)例子中， “自然”首先選擇在位者的類型高成本還是低成本；在位者本人知道自己究竟是高成本還是低成本，而進(jìn)入者僅知道在位者或者高成本，或

11、者是低成本，并且，知道高成本和低成本的可能性各為多少。 海薩尼把“不完全信息博弈”轉(zhuǎn)換成“完全但不完美信息博弈”。 貝葉斯是一位概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家，貝葉斯均衡是納什均衡在不完全信息博弈中的自然擴(kuò)展。,貝葉斯納什均衡是這樣一種類型戰(zhàn)略組合給定自己的類型和別人類型的概率分布的情況下，每個(gè)參與人的期望效用達(dá)到了最大化，也就是說，沒有人有積極性選擇其他戰(zhàn)略。 以市場進(jìn)入為例：進(jìn)入者知道高成本的可能性為x，低成本的可能性為(1-x)。那么，進(jìn)入者選擇進(jìn)入得到的期望利潤為40 x+(-10)(1-x)；選擇不進(jìn)入的期望利潤為零。當(dāng)x0.20時(shí)，進(jìn)入得到的期望利潤才大于不進(jìn)入時(shí)的期望利潤，從而，進(jìn)入才是最優(yōu)的。即

12、x大于0.20，那么，貝葉斯納什均衡是進(jìn)入者選擇進(jìn)入，高成本在位者選擇默許，低成本在位者選擇斗爭。,默許,斗爭,不進(jìn)入,進(jìn)入,進(jìn)入者,在位者,高成本,默許,斗爭,不進(jìn)入,進(jìn)入,進(jìn)入者,在位者,低成本,接受,不接受,不求愛,求愛,求愛者,你,表一：求愛博弈：品德優(yōu)良者求愛,接受,不接受,不求愛,求愛,求愛者,你,表二：求愛博弈：品德惡劣者求愛,假設(shè)你認(rèn)為求愛者品德優(yōu)良的概率為x。求愛者也知道這個(gè)x為多少。則他求愛你接受時(shí)你的期望效用為100 x+(-100)(1-x)；你不接受時(shí)你的期望效用為零。當(dāng)x1/2時(shí)，你接受才是最優(yōu)選擇。 如果x確實(shí)小于1/2，貝葉斯納什均衡是求愛者不求愛，你不接受。原

13、因在于他知道他求愛會被你拒絕，這種損臉面(-50)的事是不值得干的。,（四）不完全信息動態(tài)博弈：精煉貝葉斯均衡 精煉貝葉斯均衡的要點(diǎn)在于當(dāng)事人要根據(jù)所觀察到的他人的行為來修正自己有關(guān)后者類型的“信念”（主觀概率），并由此來選擇自己的行動。 精煉貝葉斯均衡是所有參與人戰(zhàn)略和信念的一種結(jié)合，它滿足如下條件： （）給定每個(gè)人有關(guān)其他人類型的信念的情況下，他的戰(zhàn)略選擇是最優(yōu)的；（）每個(gè)人有關(guān)他人類型的信念都是使用貝葉斯法則從所觀察到的行為中獲得的。 、張三與你 （恃強(qiáng)欺弱、早餐辣椒） 、黔驢技窮,(五)純策略、混合策略及混合策略的均衡 純策略：每個(gè)行為人只作出一個(gè)選擇并始終堅(jiān)持這個(gè)選擇，這種策略叫做純

14、策略； 混合策略：允許行為人 使他們的策略隨機(jī)化對每項(xiàng)選擇都制定一個(gè)概率，按照這些概率作出他們的選擇； 混合策略的均衡：每個(gè)行為人都選定了最優(yōu)頻率，并在另一個(gè)行為人的頻率選擇給定的情況下按照這個(gè)最優(yōu)頻率采取他的策略； 計(jì)算題,兩寡頭古諾模型， ，為市場出清價(jià)格，兩個(gè)廠商的邊際成本不同，分別為 。如果 ，問納什均衡產(chǎn)量各為多少？如果 ，則納什均衡產(chǎn)量又各為多少？,解：兩個(gè)廠商的利潤函數(shù)為：,將利潤函數(shù)對產(chǎn)量求導(dǎo)并令其等于得：,解得兩個(gè)廠商的反應(yīng)函數(shù)為：,具體寫成：,當(dāng) 時(shí)，根據(jù)上述兩個(gè)廠商的反應(yīng)函數(shù)，直接求出兩個(gè)廠商的納什均衡產(chǎn)量分別為：q1,q2都大于；,當(dāng) 時(shí)，根據(jù)反應(yīng)函數(shù)求出來的廠商產(chǎn)量

15、。這意味著廠商不會生產(chǎn)，這是廠商 成了壟斷廠商，廠商的最優(yōu)產(chǎn)量選擇是利潤最大化的壟斷產(chǎn)量：,因此這種情況下的納什均衡為,p590.1假定有兩家廠商，它們面臨的線性需求曲線p(y)=a-by,每家廠商邊際成本都不變?yōu)閏，試求 古諾均衡情況下的產(chǎn)量？ 解：,剪刀,剪刀,石頭,石頭,布,布,求納什均衡？,解：,當(dāng)選擇剪刀、石頭和布時(shí)，三者的期望收益相等，即,同理：,當(dāng)選擇剪刀、石頭和布時(shí)，三者的期望收益相等，即,總需求為 ，邊際成本等于，求雙頭寡頭數(shù)量競爭的古諾模型的總產(chǎn)量和斯塔克爾伯格模型的總產(chǎn)量？,、卡特爾模型：,總利潤最大,計(jì)算題：兩個(gè)寡頭企業(yè)進(jìn)行價(jià)格競爭博弈，企業(yè)的利潤函數(shù)是：,，企業(yè)的利潤

16、函數(shù)是：,其中p是企業(yè)的價(jià)格，q是企業(yè)的價(jià)格，求 （）兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決策的純策略納什均衡？ （ ）企業(yè)先決策的子博弈完美納什均衡？ （）企業(yè)先決策的子博弈完美納什均衡？,29.博弈論的應(yīng)用,最優(yōu)反應(yīng)線 古諾模型中即給定其他廠商的選擇，每一家廠商都會選擇使利潤最大化的產(chǎn)量； 伯特蘭模型，是定價(jià)策略的納什均衡，給定對其他廠商將要作出選擇的預(yù)期，每一家廠商都會選擇使利潤最大化的價(jià)格；,混合策略：例子,左c,右(1-c),下(1-r),上r,行參與人,列參與人,當(dāng)r和c等于0或者1是，相應(yīng)的策略就是純策略。,左c,右(1-c),下(1-r),上r,行參與人,列參與人,行參與人的期望收益=2rc+(1-r

17、)(1-c)=2rc+1-r-c+rc; 假定r增加了 ，行參與人的收益變化為： 當(dāng)3c1時(shí)，上式取正值；當(dāng)3c1/3時(shí)，行參與人會提高r值；當(dāng)c2/3時(shí)，列參與人會提高 c值；當(dāng)r1/3行但育人的最優(yōu)反應(yīng)是r=1.,r,這兩條曲線分別體現(xiàn)了行參與人和列參與人對應(yīng)于對方選擇時(shí)的最優(yōu)反應(yīng)。曲線的交點(diǎn)就是納什均衡。兩個(gè)純策略均衡，一個(gè)混合策略均衡。,合作博弈（略）,競爭博弈：踢球（零和博弈）,假定，行參與人踢向球門的左方，那么，當(dāng)列參與人撲向右方時(shí)，行參與人將在80%的時(shí)間內(nèi)得分，當(dāng)列參與人撲向左方時(shí)，行參與人將在50%的時(shí)間內(nèi)得分；如果行參與人踢向球門的右方，那么，當(dāng)列參與人撲向左方時(shí)，行參與人

18、將在90%的時(shí)間內(nèi)得分，當(dāng)列參與人撲向右方時(shí)，行參與人將在20%的時(shí)間內(nèi)得分，收益表如下：,撲向左方,撲向右方,踢向右方,踢向左方,行參與人,列參與人,如果行參與人選擇踢向左方的概率為p，那么，當(dāng)列參與人撲向左方時(shí)，行參與人的期望收益為50p+90(1-p)；當(dāng)列參與人撲向右方時(shí)，行參與人的期望收益為80p+20(1-p). 行參與人想使這個(gè)期望收益盡可能的大，而同時(shí)，列參與人卻想使這個(gè)期望收益盡可能的小。,20,0,0.7,1,50,62,80,100,90,行參與人得分的百分點(diǎn)數(shù),行參與人踢向左方的概率p,這兩條線表示的是行參與人的期望收益，它是p的函數(shù)，而p則是行參與人踢向左方的概率。無

19、論行參與人選擇怎樣的p值，列參與人將竭力使行參與人的收益最小化。,這些最小收益的最大值出現(xiàn)在什么位置？ 50p+90(1-p)=80p+20(1-p) p=0.7,同理：列參與人,假定列參與人選擇撲向左方的概率為q 50q+80(1-q)=90q+20(1-q) q=0.6,20,0,0.6,1,50,62,90,100,80,行參與人得分的百分點(diǎn)數(shù),列參與人踢向左方的概率q,這兩條線表示的是行參與人的期望收益，它是q的函數(shù)，而q則是行參與人踢向左方的概率。無論列參與人選擇怎樣的q值，行參與人將竭力最大化自己的收益。,我們可以看到，當(dāng)p0.7時(shí)，列參與人將撲向右方；類似地， 當(dāng)p0.6時(shí)，行參

20、與人將撲向右方； 如下圖：,0,0.7,1,1,行參與人踢向左方的概率p,最優(yōu)反應(yīng)曲線,列參與人的最優(yōu)反應(yīng)曲線,行參與人的最優(yōu)反應(yīng)曲線,共存博弈,當(dāng)兩只豺狗同時(shí)遇到一塊食物時(shí)，他們必須決定是爭斗還是分享食物。 爭斗是鷹派的策略：一方將獲勝，另一方將落敗。 分享食物則是鴿派的策略，在對方也是鴿派時(shí)，這個(gè)策略將發(fā)揮很好的功效；但對方是鷹派時(shí)，鴿派將一無所獲。 收益表如下：,鷹派,鴿派,鴿派,鷹派,行,列,假定鷹派的比例是p，于是，一個(gè)鷹派遇見另一個(gè)鷹派的概率是p，而遇見一個(gè)鴿派的概率是1-p,則鷹派的期望收益等于 h=-2p+4(1-p) 鴿派的期望收益等于 d=2(1-p) 假定具有較高收益的類

21、型的繁殖速度更快一些，并且，它會將其采取鷹派策略或鴿派策略的傾向遺傳給后代。那么可以預(yù)期，如果hd,種群中鷹派的比例就將上升；h1/2,鷹派的收益小于鴿派的收益，鴿派的繁殖速度較快；當(dāng)p1/2，鷹派的收益大于鴿派的收益，使得鷹派的繁殖速度更快一些，最終還是返回均衡。 如下圖：,收益,鷹派的比例,2,4,3,1,0.5,1,0,0.3,0.7,h,承諾博弈：例子,青蛙和蝎子烏龜和小白兔 善意的綁匪 （當(dāng)力量成為弱勢時(shí)） 儲蓄和社會保障 敲竹杠,討價(jià)還價(jià)：魯賓斯坦模型,兩個(gè)參與人愛麗絲和鮑勃，分配1美元，他們同意最多用三天時(shí)間協(xié)商分配問題。第一天，愛麗絲給出一個(gè)報(bào)價(jià)；第二天，鮑勃可以接受也可以拒絕

22、這個(gè)報(bào)價(jià)，如果他拒絕，他要提出一個(gè)新報(bào)價(jià)；第三天，愛麗絲提出最終的報(bào)價(jià)。如果他們不能在3天之內(nèi)達(dá)成協(xié)議，那么，雙方都將一無所獲。 愛麗絲和鮑勃收益的貼現(xiàn)因子是 假定任意最小量近似為；,n=3,alice:1;bob:0愛麗絲最優(yōu)選擇是向鮑勃提供一個(gè)他可以接受的最小量，依據(jù)假定鮑勃得； n=2,alice:(1.a);bob(1-a),鮑勃理性地向愛麗絲提供a, 愛麗絲也會接受； n=1,alice向bob提供b(1-a).愛麗絲想，鮑勃只要等到第二天，就可以得到(1-a)，為了避免拖延，愛麗絲必須向鮑勃提供一個(gè)至少等于這個(gè)數(shù)額現(xiàn)值的報(bào)價(jià)b(1-a).雙方滿意成交。博弈在第一階段結(jié)束愛麗絲獲得1

23、-b(1-a).鮑勃獲得b(1-a).,鮑勃的收益,愛麗絲的收益,第1天,第2天,第3天,1,子博弈精煉均衡,鮑勃的收益,愛麗絲的收益,1,子博弈精煉均衡,可以證明子博弈精煉均衡的分配額是： 愛麗絲獲得： 鮑勃獲得：,理論分析的分配如此即可，如鮑勃拿著美分回家，愛麗絲得到美分，都慶幸學(xué)過博弈論； 事實(shí)并非如此：你（鮑勃）認(rèn)為會得到多少會接受？,趣味題：“海盜分贓”,5個(gè)海盜搶到了100顆寶石，每一顆都有一樣的大小和一樣貴重的價(jià)值，經(jīng)過商議，他們決定將寶石這樣分配： a、抽簽決定自己的號碼1，2，3，4，5。 b、首先，由1號提出分配方案，然后5人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，就按照1號的提案進(jìn)行分配，否則，他將被扔入大海喂鯊魚。 假設(shè)每個(gè)海盜都是很聰明的人，都能很理智地判斷得失，從而做出選擇，問題就是1