1、1. 實向量的內(nèi)積與歐氏空間Rn 2. 施密特(Schmidt)正交化 3. 正交矩陣與正交變換 4. 實對稱矩陣的對角化,5.2 實對稱矩陣的對角化,1. 實向量的內(nèi)積與歐氏空間Rn,定義1 設(shè)有Rn中兩個向量,稱為向量與的內(nèi)積;,(2) 按(1)定義了內(nèi)積的n維向量空間Rn稱為n維歐氏空間,仍記為Rn.,內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì):,(1) , , ; (對稱性),(2) , , , ; (分配性),(3) , , ; (齊次性),(4) , 0,且 , 0當(dāng)且僅當(dāng)0. (非負(fù)性),若 1 ,則稱為單位向量.,定義3 設(shè),Rn ,若 , 0,則稱與正交.記作 .,若一向量組中的向量均為非零向量且兩兩正

2、交， 則稱該向量組為正交向量組,注: 單獨一個非零向量就是一個正交向量組.,若一個正交向量組中的向量都是單位向量,則稱該向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,證明,正交向量組的性質(zhì),推論 Rn的k 維子空間W中的正交向量組至多含有k個向量.,問題：線性無關(guān)的向量組是否正交？,2. 施密特(Schmidt)正交化,定理2 設(shè)1, 2 , , mRn線性無關(guān),則由遞 推公式,構(gòu)造的向量組1, 2 , ,m為正交向量組,且向量組1, , i 與1, ,i等價,i 1, ,m.,定理2 提供的由1, 2 , , m求1, 2 , ,m 的方法稱為Schmidt正交化方法,公式(5-14)稱為 Schmidt正交化公

3、式,如果再將1, 2 , ,m單位 化,便得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,而整個過程稱為將1, 2 , , m標(biāo)準(zhǔn)正交化.,定義 若dimW k,則由k個向量組成的正交向量 組稱為W的一組正交基,如果正交基的每個向量都 是單位向量,則稱這樣的正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基規(guī)范正交基.,推論 Rn的任何非零子空間均存在標(biāo)準(zhǔn)正交基., n維單位向量組1, 2,n 就是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.,求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法,例1:(書170頁),3. 正交矩陣與正交變換,性質(zhì)2 T 為正交矩陣的充要條件是T 的列向量組 是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,定義4 若n階實矩陣T 滿足T T T I,則稱T為正交矩陣,而稱變換 T為正交變換.,性質(zhì)1 若T

4、1，T2均為n階正交矩陣,則T1T，T1T2 為正交矩陣.,證明,推論: 矩陣T 是正交矩陣的充要條件是T 的行向量 組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,(正交變換不改變向量的內(nèi)積),性質(zhì)3 n階實矩陣T 是正交矩陣的充要條件是對任意,Rn,有T ,T ,.,證明,必要性 設(shè)T 是正交矩陣,則,T ,T TTT TTTT T ,.,充分性 取Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2,n,則,T TI T 1,2,n T 1,T2,Tn ,故T 1,T2,Tn也是Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基,由性質(zhì)2知T 是正交矩陣.,由條件T i,Tj i,j,4. 實對稱矩陣的對角化,定理3 實對稱矩陣的特征值均為實數(shù).,定理4 實對稱矩陣的屬于不同

5、特征值的特征向量必正交.,證明,根據(jù)上述結(jié)論，可以將實對稱矩陣化為對角矩 陣，其具體步驟為：, 重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量要正交化再單位化,單特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只須單位化即可.,例2 對實對稱矩陣 A，求正交矩陣T，使 T T AT 為對角陣.,解,(1)第一步 求 的特征值,解之得線性無關(guān)的特征向量,解之得特征向量,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,解,(1)第一步 求 的特征值,例3 對實對稱矩陣 A，求正交矩陣T，使 T T AT 為對角陣.,解之得特征向量,解之得特征向量,解之得特征向量,第三步 將特征向量正交化,第四步 將特征向量單位化,思考題,思考題答案,A為實對稱矩陣，知A