1、第六章 謂詞演算,教學(xué)重點與要點 性質(zhì)命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)的現(xiàn)代謂詞分析 關(guān)系命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)的現(xiàn)代謂詞分析 一元謂詞演算的自然演繹推證分析 二元謂詞演算的自然演繹推證分析,現(xiàn)代謂詞演算的認知角度,傳統(tǒng)謂詞邏輯 現(xiàn)代謂詞邏輯 （局限性：單稱歸全稱；關(guān)系作性質(zhì)；對結(jié)構(gòu)缺乏深層把握） 現(xiàn)代謂詞邏輯 謂詞演算方法 （自然演繹法、公理化方法） （關(guān)注簡單命題及其推理有效性） 一元謂詞演算 二元謂詞演算,第一節(jié) 簡單命題的內(nèi)部分析,一、傳統(tǒng)謂詞邏輯的局限性 【實例分析】 所有的馬都是動物, 所以，所有的馬頭都是動物頭。,命題邏輯的局限性,在研究命題邏輯中， 原子命題是命題演算中最基本 的單位，不再對原子命題進行分解

2、， 這樣會產(chǎn)生兩大 缺點： （1）不能研究命題的結(jié)構(gòu)，成分和內(nèi)部邏輯的特征； （2）也不可能表達二個原子命題所具有的共同特征， 甚至在命題邏輯中無法處理一些簡單又常見的推理過 程。,二、現(xiàn)代謂詞邏輯對性質(zhì)命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的分析,（一）單稱命題及其邏輯結(jié)構(gòu) 1、單稱命題的含義 單稱命題是陳述某個特定個體對項具有或者不具有某種性質(zhì)的簡單命題。例如：西安是歷史名城。 2、單稱命題的構(gòu)成要素分析 單稱命題由個體詞和謂詞組成。單稱命題中的個體詞只表示某個特定的單一對象，稱為個體常項，用英文小寫字母a,b,c,d,來表示。性質(zhì)命題中的謂詞稱為一元謂詞，用大寫的英文字母E,F,G,H,.來表示。 （個體詞、謂

3、詞、個體常項、一元謂詞） 3、單稱命題邏輯結(jié)構(gòu)的公式刻畫,（二）泛稱命題及其邏輯結(jié)構(gòu),1、泛稱命題的含義 2、泛稱命題的構(gòu)成要素分析 （個體詞、謂詞、量詞、個體變項） 3、全域下的泛稱命題邏輯結(jié)構(gòu)形式刻劃 (x)(SxPx) (x)(SxPx) (x)(SxPx) (x)(SxPx),個體詞、謂詞,謂詞，在謂詞邏輯中，簡單命題分解成個體詞和謂詞. 個體詞是可以獨立存在的客體，它可以是具體事物或抽象的概念。謂詞是用來刻劃個體詞的性質(zhì)或事物之間關(guān)系的詞。 個體詞分個體常項(用a,b,c,表示)和個體變項(用x,y,z,表示)；謂詞分謂詞常項(表示具體性質(zhì)和關(guān)系)和謂詞變項(表示抽象的或泛指的謂詞)

4、，用E,F,G,H,表示。 注意：單獨的個體詞和謂詞不能構(gòu)成命題，將個體詞和謂詞分開不是命題。,謂詞填式、一元謂詞、多元謂詞,（1）謂詞填式：謂詞字母后填以客體所得的式子。 例：H(a, b) （2）若謂詞字母聯(lián)系著一個客體，則稱作一元謂詞；若謂 詞字母聯(lián)系著二個客體，則稱作二元謂詞；若謂詞字 母聯(lián)系著n個客體，則稱作n元謂詞。 （3）客體的次序必須是有規(guī)定的。 例：河南省北接河北省。 a L b 寫成二元謂詞為：L(a,b)，但不能寫成L(b,a) 。,謂詞公式, 謂詞公式，由原子公式、聯(lián)結(jié)詞和量詞可構(gòu)成謂詞公式(嚴格定義見教材)。 命題的符號化結(jié)果都是謂詞公式。 例如: (x)(F(x)G

5、(x)， (x)(F(x)G(x)， (x)(y)(F(x)F(y)L(x,y)H(x,y)等都是謂詞公式。 謂詞公式只是一個符號串，沒有什么意義，但我們給這個符號串一個解釋，使它具有真值，就變成一個命題. 所謂解釋就是使公式中的每一個變項都有個體域中的元素相對應(yīng)。 在謂詞邏輯中，命題符號化必須明確個體域，無特別說明認為是全總個體域。一般地，使用全稱量詞，特性謂詞后用；使用存在量詞，特性謂詞后用。,謂詞公式的歸納法定義, 原子謂詞公式是謂詞公式； 若A是謂詞公式，則A也是謂詞公式； 若A, B都是謂詞公式，則 (AB),(AB),(AB),(AB)都是謂詞公式； 若A是謂詞公式，x是任何變元，

6、則(x)A, (x)A也都是謂詞公式；,量詞,量詞，是在命題中表示數(shù)量的詞，量詞有兩類：全稱量詞，表示“所有的”或“每一個”；存在量詞，表示“存在某個”或“至少有一個”。 在謂詞邏輯中，使用量詞應(yīng)注意以下幾點： (1) 在不同個體域中，命題符號化的形式可能不同，命題的真值也可能會改變。 (2) 在考慮命題符號化時，如果對個體域未作說明，一律使用全總個體域。 (3) 多個量詞出現(xiàn)時，不能隨意顛倒它們的順序，否則可能會改變命題的含義。,全稱量詞,“”為全稱量詞符號，讀作“對于所有的”，“對任一個”，“對一切”。 例：“這里所有的都是蘋果”可寫成： xA(x)或(x)A(x) 幾種形式的讀法： xP

7、(x)： “對所有的x，x是”； xP(x)： “對所有x，x不是”； xP(x)： “并不是對所有的x，x是”； xP(x)：“并不是所有的x，x不是”。,存在量詞,“”為存在量詞符號，讀作“存在一個”，“對于一些”，“對于某些”，“至少存在一個”，“這里存在著這樣的”等等。 “”表達式的讀法： x A(x) ：存在一個x,使x是； xA(x) ：存在一個x, 使x不是； x A(x) ：不存在一個x, 使x是； xA(x) ：不存在一個x, 使x不是。,三、現(xiàn)代謂詞邏輯對關(guān)系命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)的分析,1、關(guān)系命題的含義 2、關(guān)系命題構(gòu)成要素分析（二元謂詞、多元謂詞） 3、二元關(guān)系命題的邏輯結(jié)構(gòu)形

8、式分析與刻劃 (1)所有S與所有P有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy) (2)所有S與所有P沒有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy) (3)所有S與有些P有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy) (4)所有S與有些P沒有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy) (5)有些S與所有P有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy) (6)有些S與所有P沒有有R關(guān)系：(x)(Sx(y)(PyRxy) (7)有些S與有些P有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy) (8)有些S與有些P沒有R關(guān)系： (x)(Sx(y)(PyRxy),四、量詞的轄域,1、變元與轄域 （1）轄域：緊接在

9、量詞后面括號內(nèi)的謂詞公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x) 。 若量詞后括號內(nèi)為原子謂詞公式，則括號可以省去。 （ 2）自由變元與約束變元 約束變元：在量詞的轄域內(nèi)，且與量詞下標相同的變元； 自由變元：當且僅當不受量詞的約束。 例： xP(x,y) , x(P(x) y(P(x,y) 。 在謂詞公式xA和xA中，x是指導(dǎo)變元，A是相應(yīng)量詞的轄域. 在x和x的轄域A中，x的所有出現(xiàn)都是約束出現(xiàn)，即x是約束變元，不是約束出現(xiàn)的變元，就是自由變元。 也就是說，量詞后面的式子是轄域。 量詞只對轄域內(nèi)的同一變元有效。 2、量詞的轄域與謂詞公式的真假 邏輯學(xué)所研究的謂詞公式都是或真或假的公式

10、，因此，為此公式種不允許出現(xiàn)自由變項。,五、自然語言符號化,自然語言符號化為謂詞公式時的注意事項 （一）標準形式的結(jié)構(gòu)刻劃應(yīng)當規(guī)范化 （二）特殊情形下的處理分四種情況 1、個體詞涉及全域中任意個體對象時，無需引入表明個體對象性質(zhì)的謂詞符號。 2、個體詞表示單獨對象時，須用個體常項替換謂詞中的個體變項。 3、個體詞涉及不同類對象時，須引入不同的個體變項和相應(yīng)的量詞符號。 4、命題的復(fù)合形式出現(xiàn)時，要把它刻劃為復(fù)合的量詞公式。,第二節(jié) 一元謂詞演算,一、量詞規(guī)則 （一）全稱量詞的銷去和引入規(guī)則 1.銷去 銷去的注意事項 (x)Rx Ra a/x 銷去 2、 引入 *a Ra (x)Rx 引入,引入

11、的根據(jù) 引入推導(dǎo)圖式具體做法 引入的應(yīng)用限制,(x)(SxPx) Sa Pa SaPa (1 a/x 銷去） Pa (2.,3 銷去) 證畢。,(x)（SxHx) Sa Sb Sc /HaHbHc SaHa (1 a/x 銷去） SbHb (1 b/x 銷去） ScHc (1 c/x 銷去) Ha (2,5 銷去) Hb (3,6 銷去) Hc (4,7 銷去) HaHbHc (8,9,10 引入） 證畢。,1. (x)(AxBx) 2. (x)(BxCx) 3. (x) Cx / (x)(AxDa) 4 . *b 5 . AbBb (1 b/x 銷去） 6. BbCb (1 b/x 銷去）

12、7 . Cb (1 b/x 銷去） 8 . Bb (6,7 銷去) . Ab (5,8 銷去) 10. AbDb （9 引入） 11. (x)(AxDa) (4,10 引入） 證畢。,1. (x)(SxZx) 2. (x)(ZxBx) 3.Ca / (x)(SxBx) Cx) 4. *a 5. SaZa (1 a/x 銷去） 6. ZaBa (2 a/x 銷去） 7. SaBa ( 5,6連鎖 ） 8. ( SaBa)Ca (3，7 引入) 9. (x)(SxBx) Cx) (4,8 引入) 證畢。,（二）存在量詞的銷去與引入規(guī)則 1、銷去 (x)Rx Ra *a/x 銷去 2、引入 Ra (

13、x)Rx 引入,銷去的注意事項,使用不受任何限制,1.Sa 2. (x)(SxCx) /Ca 3.SaCa (2*a/x 銷去） 4. Ca （3 銷去） 證畢。 注意：這個推理是錯誤的。第三步銷量詞時，列舉的個體 常項a是前提1中已經(jīng)出現(xiàn)過的。,1.（ (x)Ax (x)Bx) Da 2. (x)(AxFx) 3. (x)(BxGx ) / (x)Dx 4. AbFb (2*b/x 銷去) 5.Ab (4 銷去) 6. (x) Ax (5 引入) 7.BcGc (3*c/x 銷去 ) 8.Bc (7 銷去) 9. (x)Bx (8 引入) 10. (x)Ax (x)Bx (6，9引入) 11

14、.Da (1，10銷去 ) 12. (x)Dx (11 引入) 證畢。,（三）量詞變換規(guī)則 1、否定 (x)Rx (x)Rx (x)Rx (x)Rx 2、否定 (x)Rx (x)Rx (x)Rx (x)Rx,或,或,(x) （SxGx) 2.(x)(SxCx) / (x)(GxCx) 3.(x)（SxGx) (1 否定) 4.(x) (SxCx) ( 2否定) 5.（SaGa) (3*a/x 銷去) 6. (SaCa) (4a/x 銷去) 7.SaGa (5 等值) 8.SaCa (6等值) 9.Sa (7銷去) 10.Ca (8，9銷去) 11.Ga (7銷去) 12.GaCa (10，11

15、 引入) 13. (x)(GxCx) (12 引入),二、一元謂詞演算的形式證明,（一）證明的步驟 謂詞演算的形式證明一般有以下4步： 1、對待證的推理進行符號化。 2、按有關(guān)限制銷去推理前提的量詞。 3、根據(jù)命題推理的規(guī)則進行推演。 4、根據(jù)需要和有關(guān)規(guī)則給結(jié)論添加應(yīng)有的量詞。,（二）運用量詞規(guī)則的方法 1、當推理的前提中既有全稱量詞公式，又有存在量詞公式時，應(yīng)先銷 去存在量詞，后銷去全稱量詞。 2、當推理的結(jié)論是全稱量詞公式時，要注意準確使用全稱量詞引入規(guī)則，遵守該規(guī)則的限制。 3、當前提或結(jié)論中有否定的量詞公式時，要靈活運用量詞變換規(guī)則。 4、當推理的前提或結(jié)論中有復(fù)合的量詞公式時，應(yīng)先分解復(fù)合命題的公式再銷量詞。 5、當推理的前提或結(jié)論中有單稱命題時，應(yīng)用個體常項符號刻畫命題公式，而后進行推演。,(x)（Cx(WxRx) (x)(CxQx) / (x)(WxQx) CaQa (2*a/x 銷去) Ca(WaRa ) (1a/x 銷去) Ca (3銷去) WaRa ( 4，5銷去) Wa (6 銷去) Qa (3銷去) WaQa (7，8 引入) (x)(WxQx) (9 引入),三、假設(shè)證明和反證法在證明過程中的應(yīng)用,四、一元謂詞演算的其他作用,1、前提一致性判定 2、謂詞邏輯定理證明,1.FaFb 2. (x