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1、,第十節(jié),一、最值定理,二、介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),即: 設,則,使,值和最小值.,或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷,在該區(qū)間上一定有最大,(證明略),點 ,例如,無最大值和最小值,也無最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,證: 設,上有界 .,定理2. ( 零點定理 ),至少有一點,且,使,( 證明略 ),推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.,定理3. ( 介值定理 ),設,且,則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點,證: 作輔助函數(shù),則,且,故由零

2、點定理知, 至少有一點,使,即,推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),使,至少有,必取得介于最小值與,最大值之間的任何值 .,例. 證明方程,一個根 .,證: 顯然,又,故據(jù)零點定理, 至少存在一點,使,即,說明:,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點,內(nèi)必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在區(qū)間,內(nèi)至少有,則,則,內(nèi)容小結,*三. 一致連續(xù)性,已知函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù),即:,一般情形,就引出,了一致連續(xù)的概念 .,定義:,對任意的,都有,在 I 上一致連續(xù) .,顯然:,例如,但不一致連續(xù) .,因為,取點,則,可以任意小,但,這說明,在( 0 , 1 上不一致連續(xù) .,定理4.,上一致連續(xù).,(證明略),思考: P74 題 *7,提示:,設,存在,作輔助函數(shù),顯然,內(nèi)容小結,在,上達到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4. 當,時,使,必存在,上有界;,在,在,1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它,思考與練習,一刀剪為面積相等的兩片.,提示:,建立坐標系如圖.,則面積函數(shù),因,故由介值定理可知:,則,證明至少存在,使,提示: 令,則,易證,2. 設,作業(yè) P74 (習題110） 2 ; 3; 5,一點,習題課,備用題,至少有一個不超過 4 的,證：,

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