1、工程力學(xué),Engineering Mechanics,中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系,Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University,特點(diǎn)：使用材料經(jīng)濟(jì)合理、結(jié)構(gòu)輕、承載能力強(qiáng)。在工程上主要應(yīng)用于大跨度結(jié)構(gòu)，比如體育館、鐵路橋梁等。,第六章 靜力學(xué)專題桁架 摩擦重心,6-1 桁架,桁架：由許多根直桿在兩端按一定的約束方式（如焊接、鉚接、螺栓、鉸鏈等）彼此連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。（平面桁架、空間桁架）,工程中的桁架結(jié)構(gòu),2-5 平面靜定桁架,房

2、屋建筑,國 防,機(jī) 械,2-5 平面靜定桁架,桁架桿件都是二力直桿，受力沿桿件軸線方向。, 節(jié)點(diǎn)為光滑鉸鏈。, 外力作用在桁架平面內(nèi)，且作用在節(jié)點(diǎn)上。, 桁架中各桿件都是直桿，自重不計(jì)。, 桁架計(jì)算時(shí)的假設(shè),理想桁架,一、節(jié)點(diǎn)法,以節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，每個(gè)節(jié)點(diǎn)作用有桿件約束力、外載荷、支座約束力組成的平面匯交力系，故每個(gè)節(jié)點(diǎn)只能建立兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，所以必須從不多于兩個(gè)構(gòu)件的節(jié)點(diǎn)開始計(jì)算，每次選的節(jié)點(diǎn)未知內(nèi)力的桿件不能多于兩個(gè)。, 節(jié)點(diǎn)法以節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，求出的是桿件對(duì)節(jié)點(diǎn)的作用力，節(jié)點(diǎn)對(duì)桿件的力與桿件對(duì)節(jié)點(diǎn)的力是作用力與反作用力的關(guān)系。, 一般假設(shè)桿件都是受拉桿，桿件對(duì)節(jié)點(diǎn)也都是拉力，在節(jié)點(diǎn)的

3、受力圖中以節(jié)點(diǎn)為中心沿桿軸線背離節(jié)點(diǎn)，若計(jì)算結(jié)果為正，表示桿件受拉，反之表示桿件受壓。,例：試用節(jié)點(diǎn)法求圖所示平面桁架各桿件的內(nèi)力。,解：求支座約束力。以整個(gè)桁架為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示，建立平衡方程,解得：,解得：,以節(jié)點(diǎn)B 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,以節(jié)點(diǎn)H 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,以節(jié)點(diǎn)G 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,以節(jié)點(diǎn)E 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,由于桁架結(jié)構(gòu)及載荷對(duì)稱，其它各桿件內(nèi)力由對(duì)稱性可得。,例：圖示一懸臂式平面桁架，載荷及尺寸如圖所示。試求各桿

4、內(nèi)力。,解：以節(jié)點(diǎn)G 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,解得：,解得：,以節(jié)點(diǎn)H 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,以節(jié)點(diǎn)E 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,以節(jié)點(diǎn)C 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,以節(jié)點(diǎn)D 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,解得：,以節(jié)點(diǎn)A 為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示,建立平衡方程,三桿節(jié)點(diǎn)無載荷、其中兩桿在 一條直線上，另一桿必為零桿,四桿節(jié)點(diǎn)無載荷、其中兩兩在 一條直線上，同一直線上兩桿 內(nèi)力等值、同性。,兩桿節(jié)點(diǎn)無載荷、且兩桿不在 一條直線上時(shí)，該兩桿是

5、零桿。,特殊桿件的內(nèi)力判斷,等力桿,例： 已知 P d, 求：a.b.c.d 四桿的內(nèi)力？,解：由零桿判式,研究A點(diǎn)：,思考： 指出桁架中零桿,2-5 平面靜定桁架,一般先以桁架整體為研究對(duì)象求外約束力；過計(jì)算內(nèi)力的桿件做截面，任取一半為研究對(duì)象，作用于該部分的力構(gòu)成平面任意力系，可以建立三個(gè)獨(dú)立的平衡方程計(jì)算未知力，故截取未知力桿件數(shù)目不能多于三根。,三、截面法, 截?cái)鄺U件的截面建議取在無窮接近節(jié)點(diǎn)為宜，所有所取截面能把原結(jié)構(gòu)一分為二。, 計(jì)算結(jié)構(gòu)某些桿件內(nèi)力的時(shí)候一般考慮用截面法，有時(shí)截面法與節(jié)點(diǎn)法聯(lián)合起來使用。,例：試求圖示桁架中1 、2 、3 桿的內(nèi)力。,解：求支座約束力。以整個(gè)桁架為

6、研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示，建立平衡方程,解得：,過1 、2 、3 桿作截面，取左半部分為研究對(duì)象，受力圖和坐標(biāo)系如圖所示。建立平衡方程,解得：,例： 懸臂桁架的幾何尺寸及受力如圖所示，試求桁架中桿DG、DF及EF三桿的內(nèi)力。,解：聯(lián)合應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法與截面法求解。,先取節(jié)點(diǎn)F為研究對(duì)象,再用截面nn將DG、DF、EF、EH各桿截?cái)?，取右邊為研究?duì)象。,將FFD=-FFE代入，解得,例： 求圖示桁架1，2桿內(nèi)力。已知a，F(xiàn)。,解：整體受力如圖,2-5 平面靜定桁架,將FB代入得,巧作截面，使多個(gè)未知力共線，不出現(xiàn)在平衡方程中。,沿1-1截面截開，研究右半部分，受力如圖，,一、重心坐標(biāo)的一般公式

7、,6-2 重心,1.均質(zhì)物體,2.均質(zhì)等厚物體,3.均質(zhì)等截面細(xì)長桿,三、組合形體的重心,將組合形體分解為若干簡單幾何形體，應(yīng)用重心坐標(biāo)公式求重心坐標(biāo)。,例：均質(zhì)平面薄板的尺寸如圖所示，試求其重心坐標(biāo)。,二、簡單幾何形體的重心,查閱有關(guān)工程手冊(cè)得到,解：將截面分成三部分，坐標(biāo)系如圖所示,第一部分：,第二部分：,第三部分：,分割法,將截面補(bǔ)成一矩形，分成兩部分，坐標(biāo)系如圖所示,負(fù)面積法,例： 求圖示截面的形心。（單位：mm）,負(fù)面積法,解：將整個(gè)截面看作是半圓加一矩形再被挖去一小圓,33,摩擦是自然界的一種自然現(xiàn)象。按接觸物體之間相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滾動(dòng)的情況，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦與滾動(dòng)摩擦，由物體接觸

8、表面的不同情況，滑動(dòng)摩擦又可分干摩擦與流體摩擦。干摩擦是兩固體的接觸面完全干燥，直接接觸的情況下產(chǎn)生的摩擦力。流體摩擦則是流體之間或流體與固體之間的摩擦。,平衡必考慮摩擦,6-3 摩擦,34,定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)（趨勢）時(shí)，其接觸面 產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。 （ 就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束力）,靜止： 臨界：（將滑未滑） 滑動(dòng)：,一、滑動(dòng)摩擦,1.靜（滑動(dòng)）摩擦力,（f s 靜摩擦因數(shù)）,（f動(dòng)摩擦因數(shù)）,35,2.動(dòng)（滑動(dòng)）摩擦力：（與靜摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動(dòng)） 大小： （無平衡范圍） 動(dòng)摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動(dòng)方向相反 定律： （f 只與材料、表面情況及相對(duì)運(yùn)

9、動(dòng)速度有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）,大?。?（ 平衡范圍） 靜摩擦力特征：方向：與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢方向相反 定律： （ f s只與材料和表面情況有 關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)。）,但一般認(rèn)為,36,3.摩擦角：當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax 時(shí)其全約束力 FRm 與法線的夾角 叫做摩擦角。,37,靜力學(xué),4.自鎖:主動(dòng)力的合力Q 的作用線在摩擦角內(nèi)能使物體保持靜止的現(xiàn)象稱為自鎖。,當(dāng) 時(shí)，永遠(yuǎn)平衡（即自鎖）,自鎖條件：,1、判定物體是否平衡 解這類問題時(shí)，首先由接觸點(diǎn)平衡方程求解出法向約束力FN和切向約束力（摩擦力 ）， 當(dāng)FsfSFN時(shí)，物體平衡， 當(dāng)FsfSFN時(shí)，物體不平衡（滑動(dòng)）,三類問題,

10、3、物體的平衡范圍 所求的未知量范圍可以是靜摩擦力本身的取值范圍，也可以是隨摩擦力變化引起的其它未知量的取值范圍。通常分解為兩個(gè)臨界平衡問題。,2、物體臨界平衡 聯(lián)解物體的平衡方程和極限摩擦定律即可,5. 考慮摩擦?xí)r的物系平衡問題,例：物塊重P=1500N，放于傾角為 的斜面上，它與斜面間的靜摩擦因數(shù)為 ，動(dòng)摩擦因數(shù) 。物塊受水平力F=400N，如圖所示。問物塊是否靜止，并求此時(shí)摩擦力的大小與方向。,解：取物塊為研究對(duì)象， 假設(shè)靜摩擦力沿斜面向下， 受力如圖所示。列平衡方程,得：,而：,不可能，故物塊不平衡，向下滑動(dòng)，此時(shí)的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力,方向沿斜面向上,40,例：已知B塊重Q=2000N

11、，與斜面的摩擦角jm =15，A塊與 水 平面的摩擦系數(shù)fs=0.4，不計(jì)桿自 重。 求：使B塊不下滑，物塊A最小 重量。,解：研究B塊，B塊達(dá)下滑臨界狀態(tài),41,再研究A塊，A塊達(dá)左滑臨界平衡狀態(tài),此題為臨界平衡問題,42,例： 已知：a =30，G =100N，f s=0.2 求：物體靜止時(shí)，水平力Q的平衡范圍。,解：應(yīng)用摩擦角的概念求解,Q2=G tan(+m),Ql=Gtan(-m),Gtan(-m) Q G tan(+m),Q小時(shí)，物塊有下滑趨勢,Q大時(shí)，物塊有上滑趨勢,（幾何法）,44,求解考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的物系平衡問題時(shí)應(yīng)注意： 1、受力分析時(shí)應(yīng)畫摩擦力，且摩擦力的方向不能假設(shè)，要

12、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)趨勢方向具體判斷。（只有在摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向） 2、除列平衡方程外，還應(yīng)補(bǔ)列極限摩擦定律 (一般在臨界平衡狀態(tài)計(jì)算），聯(lián)合求解。 3、由于摩擦情況下，常常有一個(gè)平衡范圍，所以解答也常常是力、尺寸或角度的一個(gè)平衡范圍。（原因是 和 ） 4、解題方法：解析法 幾何法,45,由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，下圖的受力分析看出一個(gè)問題，即此物體平衡，但沒有完全滿足平衡方程。,Q與F形成主動(dòng)力偶使前滾,二、滾動(dòng)摩擦,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形。,46,滾阻力偶與主動(dòng)力偶（Q,F）相平衡,滾動(dòng)摩擦力偶M 隨主動(dòng)力偶（Q , F）的增大而增大; 有個(gè)平衡范圍; 滾動(dòng)摩擦 與滾子