1、CH1 復(fù)數(shù),例1.,求復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、輻角主值和模.,解：,Ch2 解析函數(shù),例1.,解:,求下列對數(shù)，并寫出它們的主值.,解:,故,的值.,例1.,設(shè),由于 解析，所以,即,故,Ch3 積分,解：,由柯西定理, 有,計(jì)算積分,例1.,因?yàn)楹瘮?shù),在,內(nèi)解析，,例4.,解:,計(jì)算,的正向閉曲線.,其中 C 為繞,例4.,解:,計(jì)算,的正向簡單閉曲線.,包含圓周,為奇點(diǎn).,在C內(nèi)作互不相交，互不包含的,只包含,只包含,其中 C 為,圓周,由復(fù)合閉路定理，得,二、典型例題,解:,分以下四種情況討論：,例1.,例2.,解:,已知,驗(yàn)證u是調(diào)和函數(shù)，,并求以 u,為實(shí)部的解析函數(shù) f (z

2、), 使 f (0) = i.,因?yàn)?所以u是調(diào)和函數(shù).,又 f (0) = i ，,所以,解法一 不定積分法 利用柯西黎曼方程,例2.,因而得到解析函數(shù),（C是任意實(shí)數(shù)）,CH4 級數(shù),故收斂半徑,例3.,求冪級數(shù) 的收斂半徑:,解：,解：,所以,例4.,求 的收斂半徑.,二、典型例題,解:,例1.,解:,利用逐項(xiàng)積分,得:,所以,例2.,解:,例2.,內(nèi)是處處解析的,試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成,解:,洛朗級數(shù).,Ch5留數(shù),是可去奇點(diǎn)；,是本性奇點(diǎn).,例1 計(jì)算積分,解：被積函數(shù)在圓周內(nèi)有一個(gè)一級極點(diǎn)與二級極點(diǎn)。,由留數(shù)定理可知,例4.,解：,例9 求積分,設(shè),則,從而,故,CH

3、 6場論,解：,矢量線所滿足的微分方程為,由,得,又由合比定理,例1.,求矢量場,的矢量線方程.,過點(diǎn),可得,有,將點(diǎn) 代入,得,所以所求矢量線方程為：,例2.,朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).,解:將已知曲線用矢量形式表示為,它在點(diǎn) P 的切向量為,練習(xí)：,例1.,解:,設(shè)由矢徑,構(gòu)成的矢量場中，,有一由圓錐面,及平面,所圍成的封閉曲面S,試求 從S內(nèi),穿出S的通量.,由奧-高公式,練習(xí),求矢量場,從內(nèi)穿出閉球面,的通量。,解,例2.,解:,求矢量場,所產(chǎn)生的散度場 , 并求此散度場通過點(diǎn) M (2,-1,1),的梯度。,令,例2.,解:,證明矢量場,為保守場，,并計(jì)算曲線積分,其中l(wèi) 是從 A(1,4,1) 到 B(2,3,1),取,于是,的任一路徑.,練習(xí),證明矢量場,為保守場，,并計(jì)算曲線積分,其中l(wèi) 是從 A(3,0,1) 到 B(2,1,1),的任一路徑.,例3.,解:,是有勢場，并求其勢函數(shù) v.,證明矢量場,由 的雅可比矩陣,得,取,于是得勢函數(shù),勢