1、行列式的計(jì)算方法舉例,1、逐次降階計(jì)算低階行列式 2、化成三角形行列式計(jì)算 3、利用遞推公式或數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算 4、利用范德蒙行列式公式計(jì)算,例1: 計(jì)算行列式,1、直接降階計(jì)算,例2,2、化為三角行列式,例3,計(jì)算,解,(化上三角形法),例4：,例5：,箭形行列式,目標(biāo)：把第一列化為,成三角形行列式,例4：,箭形行列式,例5：,（可以化為箭形行列式）,思考題:,求第一行各元素的代數(shù) 余子式之和,解:,第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成,2020/6/21,特點(diǎn):“0”多,方法:降階找遞推公式.,3、遞推法或數(shù)學(xué)歸納法,2020/6/21,解 按第1行展開,有,2020/6/21,遞推公式,

2、例7,解,三對角行列式,(1),(2),(n-1),例8,證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,證明,用數(shù)學(xué)歸納法,(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.,(2)設(shè)n1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立.,n-1階范德蒙德行列式,證畢.,例9 證明,證,對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法,4、利用范德蒙行列式計(jì)算,例10 計(jì)算,利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德 蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。,解,上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,第七節(jié) Cramer法則,一 Cramer法則,二 幾個(gè)結(jié)論,三 思考,六. Cramer 法則,引

3、入行列式概念時(shí)，求解二、三元線性方程組，當(dāng)系數(shù),行列式,時(shí)，方程組有唯一解，,含有n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組，與二、三元線性方 程組類似，它的解也可以用n階行列式表示。,Cramer法則：,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，,即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程 組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即,則線性方程組(1)有唯一解，,例1： 用Cramer法則解線性方程組。,解：,注:,1. Cramer法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形。,理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系。 但用此法則求解線性方程組計(jì)算量大，不可取。,3. 撇開求解公式,Cramer法則可敘述

4、為下面定理：,定理1：,定理2：,線性方程組,則稱此方程組為非齊次線性方程組。,此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組。,非齊次與齊次線性方程組的概念:,齊次線性方程組,易知，,一定是(2)的解， 稱為零解。,若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。,有非零解.,系數(shù)行列式,定理3：,定理4：,如果齊次線性方程組有非零解， 則它的系數(shù)行列式必為0。,例2： 問 取何值時(shí)， 齊次線性方程組 有非零解？,解：,齊次方程組有非零解，則,所以 或 時(shí)齊次方程組有非零解。,對于n元齊次線性方程組的Cramer法則的推論，常被用來 解決解析幾何的問題。,例3:,解：,四個(gè)平面相交于一點(diǎn)，即線性方程組,有唯一解。,從另一角度看，形式上可以把,看作是四元,線性方程組,的一組非零解。,因?yàn)辇R次線性方程組有非零解的充要條件是,所以，四平面相交于一點(diǎn)的條件為,例4：,已知三次曲線,在四個(gè)點(diǎn),處的值為,試求系數(shù),解：,若用Cramer法則求此方程組的解，有,（考慮范德蒙德行列式）,思考題:,