1、第七講 MATLAB的符號計算,所謂符號計算是指在運算時,無須事先對變量賦值,而將所得到結果以標準的符號形式來表示。 MathWorks公司以Maple的內核作為符號計算引擎（Engine），依賴Maple已有的函數庫，開發(fā)了實現符號計算的兩個工具箱：基本符號工具箱和擴展符號工具箱。,一、符號計算基礎,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量 參與符號運算的對象可以是符號變量、符號表達式或符號矩陣。符號變量要先定義，后引用?？梢杂胹ym函數、syms函數將運算量定義為符號型數據。引用符號運算函數時，用戶可以指定函數執(zhí)行過程中的變量參數；若用戶沒有指定變量參數，則使用findsym函數默認的變量作

2、為函數的變量參數。,1、sym函數 sym函數的主要功能是創(chuàng)建符號變量，以便進行符號運算，也可以用于創(chuàng)建符號表達式或符號矩陣。用sym函數創(chuàng)建符號變量的一般格式為： x = sym(x) 其目的是將x創(chuàng)建為符號變量，以x作為輸出變量名。每次調用該函數,可以定義一個符號變量。,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量,【例1】作符號計算： a,b,x,y均為符號運算量。在符號運算前，應先將a,b,x,y定義為符號運算量,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量,a=sym(a); %定義a為符號運算量，輸出變量名為a y =2/bb=sym(b); x=sym(x); y=sym(y”); x,y=

3、solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y) %以a,b為符號常數，x,y為符號變量 即可得到方程組的解： x =3/a y =2/b,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量,【例2】已知一復數表達式 z=x+i*y, 試求其共軛復數,并求該表達式與其共軛復數乘積的多項式。 為了使乘積表達式x2+y2非負，這里，把變量x和y定義為實數。 x=sym(x,real); y=sym(y,real);,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量,z=x+i*y; %定義復數表達式 conj(z); %求共軛復數 expand(z*conj(z) %求表達式與其共軛復數乘積的多項式 ans

4、 = x2+y2 若要去掉x的屬性,可以使用下面語句 x = sym(x,unreal) 將x創(chuàng)建為純格式的符號變量。,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量,2、syms函數 syms函數的功能與sym函數類似。syms函數可以在一個語句中同時定義多個符號變量，其一般格式為： syms arg1 arg2 argN 用于將rg1, arg2,argN等符號創(chuàng)建為符號型數據。,一、符號計算基礎,（一） 定義符號變量,（二）默認符號變量 在數學表達式中，一般習慣于使用排在字母表中前面的字母作為變量的系數，而用排在后面的字母表示變量。例如： f=ax2+bx+c 表達式中的a,b,c通常被認為是常

5、數，用作變量的系數；而將x看作自變量。,一、符號計算基礎,例如，數學表達式 f=xn g=sin(at+b) 根據數學式中表示自變量的習慣，默認a,b,c為符號常數，x為符號變量。 若在MATLAB中表示上述表達式，首先用syms 函數定義a，b，n，t，x為符號對象。在進行導數運算時，由于沒有指定符號變量，則系統(tǒng)采用數學習慣來確定表達式中的自變量，默認a,b,c為符號常數，x，t為符號變量。 即 ： 對函數f求導為：df/dx 對函數g求導為：dg/dt,一、符號計算基礎,（二）默認符號變量,為了了解函數引用過程中使用的符號變量個數及變量名，可以用findsym函數查詢默認的變量。該函數的引

6、用格式為： findsym（f,n） 說明：f為用戶定義的符號函數， n為正整數，表示查詢變量的個數。 n=i,表示查詢i個系統(tǒng)默認變量。n值省略時表示查詢符號函數中全部系統(tǒng)默認變量。,一、符號計算基礎,（二）默認符號變量,【例3 】查詢符號函數 f=xn g=sin(at+b) 中的系統(tǒng)默認變量。 syms a b n t x %定義符號變量 f=xn; %給定符號函數 g=sin(a*t+b); findsym(f,1) %在f函數中查詢1個系統(tǒng)默認變量 ans= x 表示f函數中查詢的1個系統(tǒng)默認變量為x。,一、符號計算基礎,（二）默認符號變量,（三） 符號表達式 符號表達式由符號變量、

7、函數、算術運算符等組成。符號表達式的書寫格式與數值表達式相同。例如,數學表達式 其符號表達式為： 1+sqr(5*x)/2 注意，在定義表達式前應先將表達式中的字符x定義為符號變量。,一、符號計算基礎,（四） 生成符號函數 將表達式中的自變量定義為符號變量后，賦值給符號函數名，即可生成符號函數。例如有一數學表達式：,一、符號計算基礎,其用符號表達式生成符號函數fxy的過程為： syms a b c x y %定義符號運算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 %生成符號函數 生成符號函數fxy后，即可用于微積分等符號計算。,一、符號計算基礎,（四） 生成符號函數,【例4】定義一個符號函數 f

8、xy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分別求該函數對x、y的導數和對x的積分。 syms a b c x y %定義符號變量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2； %生成符號函數 diff(fxy，x) %符號函數fxy對x求導數 ans =2*a*x/c2 diff(fxy， y) %符號函數fxy對y求導數 ans =2*b*y/c2 %符號函數fxy對x求積分 int(fxy， x) ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x),一、符號計算基礎,（四） 生成符號函數,二、微積分,（一） 微積分函數 1.求極限 函數limit用于求符號函數f的極限。系統(tǒng)可以根據用戶要求，計算

9、變量從不同方向趨近于指定值的極限值。該函數的格式及功能：,二、微積分,limit(f,x,a)：求符號函數f（x）的極限值。即計算當變量x趨近于常數a時，f（x）函數的極限值。 limit(f,a)：求符號函數f（x）的極限值。由于沒有指定符號函數f（x）的自變量，則使用該格式時，符號函數f（x）的變量為函數findsym(f)確定的默認自變量，既變量x趨近于a。 limit(f)：求符號函數f（x）的極限值。符號函數f（x）的變量為函數findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。 limit(f,x,a,right)：求符號函數f的極限值

10、。right表示變量x從右邊趨近于a。 limit(f,x,a,left)：求符號函數f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。,二、微積分,【例5】求極限 syms x； %定義符號變量 f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； %確定符號表達式 w=limit(f) %求函數的極限 w = -1/2,二、微積分,2. 微分函數 diff函數用于對符號表達式s求微分。該函數的一般引用格式為： diff(s,v,n),二、微積分,說明： 應用diff（s）沒有指定微分變量和微分階數，則系統(tǒng)按findsym函數指示的默認變量對符號表達式s求一

11、階微分。 應用diff（s，v）或diff（s，sym（v） 格式，表示以v為自變量，對符號表達式s求一階微分。 應用diff（s，n）格式，表示對符號表達式s求n階微分，n為正整數。 應用diff（s，v，n）diff（s，n，v） 格式，表示以v為自變量，對符號表達式s求n階微分。,【例6】求導數： x = sym(x); %定義符號變量 t = sym(t); diff(sin(x2) %求導運算 ans = 2*cos(x2)*x,二、微積分,3積分函數 積分函數int（s ，v，a，b)可以對被積函數或符號表達式s求積分。其引用格式為： int（s ，v，a，b) 說明： 應用int

12、（s）格式，表示沒有指定積分變量和積分階數時，系統(tǒng)按findsym函數指示的默認變量對被積函數或符號表達式s求一階積分。 應用int（s，v）格式，表示以v為自變量，對被積函數或符號表達式s求一階不定積分。 應用積分函數時，如果給定 a、b兩項，表示是進行定積分運算。a、b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和上限表示求不定積分。,二、微積分,【例7】求下述積分。 求積分： syms x int(1/(1+x2) ans = atan(x),二、微積分,4. 級數(級數求和) 級數求和運算是數學中常見的一種運算。例如： f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn 函數syms

13、um可以用于此類對符號函數f的求和運算。該函數的引用時，應確定級數的通項式s，變量的變化范圍a和b。該函數的引用格式為： symsum(s, a,b),二、微積分,【例8】求級數的和:鍵入：1/12+1/22+1/32+1/42+ syms k symsum(1/k2,1,Inf) %k值為1到無窮大 ans = 1/6*pi2 其結果為：1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/6,二、微積分,三、簡化方程表達式,1.因式分解 factor函數的功能為：把多項式S分解為多個因式，各多項式的系數均為有理數。格式為： factor(s),三、簡化方程表達式,【例9】將表達式(x9-1)分解

14、為多個因式。 syms x factor(x9-1) ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),2.嵌套 將符號多項式s用嵌套形式表示，即用多層括號的形式表示。Horner函數可以實現此功能。該函數的格式為： horner(s),三、簡化方程表達式,【例10】將表達式x3-6*x2+11*x-6用嵌套形式表示。 syms x horner(x3-6*x2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x,四、解方程,解方程函數的格式為： solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN) 或 solve(expr1,expr2,.,exprN) 其功能為：求解代數方程組expr1,expr2,.,exprN的根，未知數為var1,var2,.varN。 說明： 若不指明符號表達式expr1,expr2,.,exprN的值，系統(tǒng)默認為0。例如給出一個表達式x2-3*x-8,則系統(tǒng)將按x2-3*x-8=0進行運算；