1、.,1,盈虧問題,風(fēng)子整理,.,2,教育目標(biāo),了解“贏”與“虧”的意義，及盈虧問題的特征,學(xué)習(xí)邏輯推理能力，探索解決盈虧問題的方法,體會數(shù)學(xué)問題在實際生活中的應(yīng)用,教育重點,弄清楚“贏”與“虧”，與贏虧之間的差的關(guān)系,教育難點,用線段圖來思考盈虧之間的邏輯關(guān)系,.,3,概念,盈虧問題：顧名思義有剩余就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經(jīng)常會產(chǎn)生這種盈虧現(xiàn)象 盈虧問題的關(guān)鍵是抓住兩次分配時盈虧總量的變化。,分 類,直接計算型盈虧問題,條件轉(zhuǎn)換型盈虧問題,關(guān)系互換型盈虧問題,.,4,第一課 基礎(chǔ)部分,.,5,例1、幼兒園老師給小朋友分糖果，每個小朋友分5顆糖果，就多出22顆糖 果；每個小朋

2、友分7顆糖果，就少18顆糖果。有多少個小朋友和多少 顆糖果？,5 顆/人,【分析】首先我們要弄清楚，變化的是什么，不變的是什么。這個問題變化的是每個人分到的糖，不變的是人數(shù)和糖的總數(shù)。,22+18,下面我們來分糖。先每人5顆，結(jié)果多了18顆糖。如圖,22,老師分好糖后，想把多于的糖也分給小朋友，決定每人又再分了7-5=2顆糖。,這是老師發(fā)現(xiàn)有一部分小朋友沒有分到第二次的兩顆。于是又拿來一些，又分了18顆糖。,很顯然，第二次分了40顆糖，每人分2顆。所以，可以知道有幾個小朋友：,（22+18）（7-5）=20,+2,可以找?guī)讉€小朋友實際試試。,.,6,例2、一根繩子圍著大樹繞9圈剩4米，如果圍著

3、大數(shù)繞10圈又缺1米，那么 繞8圈還剩多少米？,【分析】上面棕色線段表示正好可以繞大樹9圈，藍色線段表示繞完9圈后剩余的線段。,后來想了想，估計還能繞，可是實際上差了一點。于是又拿來一根繩子，又用掉了1米。,顯然，第二次繞的一圈，實際用掉繩子長為：4+1=5米。 所以，繩子總的長度為49米，繞8圈則剩下：49-85=9米,也可以這樣計算繞8圈后剩下的繩子：(9-8)（4+1）+4=9,.,7,例3、人民路小學(xué)三、四、五年級的同學(xué)乘汽車去春游，如果每車坐45人， 有10人不能坐車；如果每車多坐5人，又多出一輛車。一共有多少輛 汽車？有多少名同學(xué)去春游？,45,10,【分析】先按照每輛車坐45人，

4、畫出示意圖。每格表示1輛車，車上有45人，最后多出10人。,后來一輛車出了故障，不能去了。所以這輛車上的小朋友也不能坐車了。這時，不能坐車的小朋友有：45+10=55人。,老師看了下其它車，每車還有5個空位，正好把這些沒上車的小朋友裝下。這時帶小朋友去春游的車有：555=11輛,總的車的數(shù)量，不要把沒裝人的那輛忘記：11+1=12,學(xué)生的總數(shù)量是11輛車每車裝了50人：11(45+5）=550人,.,8,例4、動物園為猴山的猴買來桃，這些桃如果每只猴分5個，還剩32個；如 果其中10只小猴每只分4個，其余的猴每只分8個，就恰好分完。問： 猴山有猴多少只？共買來多少個桃？,【分析】這里猴子的數(shù)量

5、是不變的。按沒猴5只桃子，最后剩32只。,10,32,后來覺得大小猴子應(yīng)該有區(qū)別。10只小猴子給4個就夠了，于是各收回來一個。這樣多出來的桃子有32+10=42個了,多出來的桃子給大猴子，使每只大猴子有8個桃子。也就是第二次每只大猴子又得到了3個桃子。所以，大猴子有：,（32+10）（8-5）=14只,所以，猴子數(shù)量為：14+10=24只 桃子的數(shù)量為：524+32=152個。,.,9,例5、學(xué)校組織同學(xué)乘車去科技館參觀，原計劃每車坐30人，還剩下1人； 后來又臨時增加了100人，汽車卻比原來少一輛；這樣每輛車要坐36 人，還剩5個人。原計劃乘坐幾輛車？原計劃去多少人？,【分析】這題我們不再畫

6、圖，而是采用邏輯推理的過程來分析。,首先，兩次車上的同學(xué)數(shù)量比較，后一次比前一次多100+1-5=96人,車輛比原來少了一輛，則少的這輛車上的人，也被分配到了其它的車上。所以第二次被分配的人應(yīng)該是：96+30=126人,第二次分配的方式是在每輛車上再乘6個人。即126按6人分組，能分幾組，而每組對應(yīng)一輛車。1266=21,不要粗心，問題是原計劃乘坐的車輛數(shù)：21+1=22輛 原計劃去的人為：2230+1=661人,.,10,例6、果樹專業(yè)隊上山植果樹，所需栽的蘋果樹苗是梨樹苗的2倍。如果梨 樹苗每人栽3棵，還余2棵；蘋果樹苗每人栽7棵，則少6顆。問：果 樹專業(yè)隊上山植樹的有多少人？要栽多少顆蘋

7、果樹和梨樹？,【分析】這個題目需要關(guān)注的是蘋果樹苗與梨樹苗不是等值的，而是存在2倍關(guān)系。所以余下的2棵梨樹苗應(yīng)該折算成22=4棵蘋果樹苗。 在比較每人的樹苗時，也要考慮倍數(shù)關(guān)系。,因為人員是確定值，7=32+1，所以相比較梨樹苗，每人要多種一顆蘋果樹。而相對于梨樹苗數(shù)量，蘋果樹苗缺口是6+22=10,所以，果樹專業(yè)隊上山植樹的人: （6+22）（7-32）=10人 要栽的蘋果樹苗有：107-6=64棵 要栽的梨樹苗有： 103+2=32棵。,.,11,第二講 提高篇,.,12,1.直接計算型-盈虧問題,關(guān)系式：人數(shù)或單位數(shù)=（贏數(shù)+虧數(shù)）兩次分配之差,一般情況下，兩次分配的結(jié)果，一次分配后有多

8、，即“贏”；一次分配后不足，即“虧”。如基礎(chǔ)部分所講的案例，都是屬于這一類。 用下面線段來表示，藍菊相交點為分配平衡點，藍線為多余部分，虛線為不足部分。由于單位內(nèi)的數(shù)量不等，經(jīng)過單位數(shù)的累積，導(dǎo)致藍菊線的出現(xiàn)原因。,贏數(shù),虧數(shù),.,13,1.直接計算型-盈盈問題,關(guān)系式：人數(shù)或單位數(shù)=（贏數(shù)-贏數(shù)）兩次分配之差,有時，兩次分配的結(jié)果，都出現(xiàn)盈余的情況。 實質(zhì)上，這與盈虧問題沒有原則性的區(qū)別。盈虧問題中，兩者之間的差距部分進行了再分配。而盈盈問題也同樣是贏數(shù)1與贏數(shù)2之間的差距部分進行再分配。,贏數(shù)1,贏數(shù)2,.,14,1.直接計算型-盈盈問題,例：老猴子給小猴子分桃。每只小猴分10個桃，就多出

9、9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少只桃子？,【分析】老侯子兩種方式分桃，單位數(shù)相差1個，而兩次多出來的桃子數(shù)相差7個。這是由于每只小猴子多分了1個桃子，導(dǎo)致了剩余的桃子家少了7個。 所以，小猴子有： (9-2)（11-10）=7只 桃子總數(shù)為：710+9=79個,.,15,1.直接計算型虧虧問題,關(guān)系式：人數(shù)或單位數(shù)=（虧數(shù)-虧數(shù)）兩次分配之差,有時，兩次分配的結(jié)果，都出現(xiàn)不足的情況。我們稱為虧虧問題。 實質(zhì)上，這也與盈虧問題沒有原則性的區(qū)別。盈虧問題中，兩者之間的差距部分進行了再分配。而虧虧問題也同樣是虧數(shù)1與虧數(shù)2之間的差距部分進行再分配。,.

10、,16,1.直接計算型虧虧問題,例：學(xué)校新進了一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？,【分析】老師的人數(shù)是不變的。所以第一次與第二次相比，不夠的數(shù)減少了7本，這是由于每個人少發(fā)了一本導(dǎo)致的結(jié)果。 所以，老師的人數(shù)為： （9-2）（10-9）=7人 書的數(shù)量為：710-9=61本,.,17,2.條件轉(zhuǎn)換型贏虧問題,例：軍隊分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個房間？,【分析】所謂條件轉(zhuǎn)換型，即把題目中給定的條件轉(zhuǎn)換為直接可用的條件。本題“每間住6人，余

11、下2人可以每人住一個房間”說明少了10個人。 所以，房間數(shù)為：(26-2+20)(6-3)=10間 總?cè)藬?shù)為：310+20=50人 那么，每間住10，所需房間為：5010=5間 空房間為：10-5=5間。,.,18,3.關(guān)系互換型贏虧問題,例：幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給大班的小朋友每人3個則余10個蘋果；如果分給小班的小朋友每人6個則缺2個蘋果。已知大班比小班多5個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？,【分析】直接計算的盈虧問題所參與的對象是同一個，而關(guān)系互換型中，前后兩次參與的對象并不是同一個，但它們之間存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。,題目中，分別分給了大班和小班，而大班和小班的人數(shù)是存在數(shù)量上的關(guān)系

12、的。即題目條件“分給大班每人3個余10個”，可轉(zhuǎn)化為“分給小班每人5個余53+10=25”，兩者存在可比效應(yīng)。,所以，盈虧總數(shù)為：25+2=27 小班小朋友為： 27（6-3）=9 蘋果數(shù)量為：96-2=52,.,19,例、三年級給學(xué)生發(fā)糖果，如果每個學(xué)生發(fā)5個還剩32個；如果其中10個學(xué)生每人4個，其余每人8個，就恰好發(fā)完。那么學(xué)生有幾人？糖果有多少個？,【分析】首先分析，兩個方案發(fā)糖的參與對象是不變的。但條件有所變化，因此要做條件轉(zhuǎn)移。 可以把第二個方案轉(zhuǎn)為為：每個學(xué)生發(fā)8顆，則少40個糖果。這樣，兩次的盈虧值為：32+40=72 學(xué)生數(shù)為：72（8-5）=24人 糖果數(shù)量為：245+32=152個,.,20,小白兔和小灰兔各有若干只。如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔放完，小灰兔還多12只。問小白兔和小灰兔共有多少只。,5,2,3,n,m,4,12,【分析】按題目給出的信息，畫出上圖。,根據(jù)圖示，我們得到一個問題：原來小灰兔正好裝下，后來為什么多出12只。因為小灰兔總數(shù)沒變，那只有一個可能，籠子減少了。減少的籠子數(shù)量是： 123=4只（為什么）,那么第二個問題出現(xiàn)了：為什