1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中不等式的解法摘要：本文給出了競(jìng)賽數(shù)學(xué)中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的證明過程，并挑選了一些與這幾類不等式相關(guān)的一些競(jìng)賽題進(jìn)行了分析和講解。 希望對(duì)廣大喜愛競(jìng)賽數(shù)學(xué)的師生有所幫助。不等式在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的熱門題型.在解決競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的不等式問題的過程中，常常要用到幾個(gè)著名的代數(shù)不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就將探討這幾個(gè)不等式的證明和它們的一些應(yīng)用.1排序不等式定理1設(shè)，則有 (倒序積和)（亂序積和）（順序積和）其中是實(shí)數(shù)組一個(gè)排列，等式當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立.（說明

2、： 本不等式稱排序不等式，俗稱倒序積和亂序積和順序積和.）證明：考察右邊不等式，并記。 不等式 的意義：當(dāng)時(shí)，S達(dá)到最大值.因此，首先證明必須和搭配，才能使S達(dá)到最大值.也即，設(shè)且和某個(gè)搭配時(shí)有 （1-1）事實(shí)上， 不等式（1-1）告訴我們當(dāng)時(shí)，調(diào)換和的位置（其余n-2項(xiàng)不變），會(huì)使和S增加.同理，調(diào)整好和后，再調(diào)整和會(huì)使和增加.經(jīng)過n次調(diào)整后，和S達(dá)到最大值，這就證明了.再證不等式左端,由及已證明的不等式右端，得 即 .例1 （美國(guó)第3屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)a,b,c是正數(shù)，求證：.思路分析：考慮兩邊取常用對(duì)數(shù)，再利用排序不等式證明.證明：不妨設(shè)，則有根據(jù)排序不等式有： 以上兩式相加，兩邊再

3、分別加上 有 即 故 . 例2 設(shè)a,b,c，求證：.思路分析：中間式子每項(xiàng)都是兩個(gè)式子之和，將它們拆開，再用排序不等式證明.證明：不妨設(shè)，則 且根據(jù)排序不等式，有 兩式相加除以2，得再考慮，并且利用排序不等式， 兩式相加并除以2，即得綜上所述，原不等式得證.例3 設(shè)，而與是的兩個(gè)排列.求證：. （1-2）思路分析：已知條件中有兩組有序?qū)崝?shù)，而式（1-2）具有“積和”形式，考慮使用排序不等式.證明：令 （r=）顯然 因?yàn)?， 且 由排序不等式 又因?yàn)?所以 且（注意到0）故 故 原式得證.2.均值不等式定理2 設(shè)是n個(gè)正數(shù)，則稱為均值不等式.其中， ， ， 分別稱為的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算

4、術(shù)平均數(shù)，均方根平均數(shù).證明： 先證 .記 ，令 ，則 原不等式其中 取 使 則 由排序不等式，易證 下證 因?yàn)?所以 .從上述證明知道，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào).下面證明 對(duì)n個(gè)正數(shù)，應(yīng)用 ，得 即 （等號(hào)成立的條件是顯然的）.例4已知，求證：.證明：由于 ，有 從而 下證 ， 即 。又因?yàn)?，等號(hào)在x=(這時(shí)y=)時(shí)取得所以 . 例5（IMO）設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且滿足abc=1.證明：證明：令 ，其中x,y,z是正實(shí)數(shù)，將原不等式變形為 （2-1）記 ，注意到u,v,w任意兩個(gè)之和是一個(gè)正數(shù)，所以它們中間至多有一個(gè)負(fù)數(shù).如果恰有一個(gè)負(fù)數(shù)，那么，（2-1）式成立.如果這三個(gè)數(shù)都大于0，由

5、算術(shù)幾何平均不等式 同理可證，于是 即 ，（2-1）式得證.例6 已知，且.求證：.思路分析：左邊各項(xiàng)形式較復(fù)雜，首先將其化簡(jiǎn)為.左邊為和的形式，但其各項(xiàng)之和難與右邊聯(lián)系，利用算術(shù)平均大于幾何平均難以求證，而左邊各項(xiàng)可看為倒數(shù)形式，嘗試用調(diào)和平均.證明：不等式左邊化為，對(duì)，利用有即 所以 .3柯西不等式定理3 設(shè)，（i=1,2,n）,恒有不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立. 構(gòu)造二次函數(shù)證明當(dāng)或時(shí)，不等式顯然成立令 ，當(dāng)中至少有一個(gè)不為零時(shí)，可知A0構(gòu)造二次函數(shù)，展開得： 故的判別式移項(xiàng)得，得證。 向量法證明令.則對(duì)向量有，由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即平行時(shí)等號(hào)成立。數(shù)學(xué)歸納法證明i ) 當(dāng)n=1時(shí)，有，不等

6、式成立。當(dāng)n=2時(shí)， 因?yàn)?，故有?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。ii）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。那么當(dāng)n=k+1時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立。于是n=k+1時(shí)不等式成立。由i ) ii）可得對(duì)于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立。利用恒等式證明 先用數(shù)學(xué)歸納法證明如下恒等式，然后證明柯西不等式：對(duì)于兩組實(shí)數(shù)有柯西拉格朗日恒等式由實(shí)數(shù)性質(zhì)可得柯西不等式成立。 以上給出了柯西不等式的幾種證法。不難看出柯西不等式的重要性。它的對(duì)稱和諧的結(jié)構(gòu)、廣泛的應(yīng)用、簡(jiǎn)潔明快的解題方法等特點(diǎn)深受人們的喜愛。所以，若將此定理作進(jìn)一步剖析，歸納它的各類變形，將會(huì)有更多收獲?？挛鞑坏仁降耐茝V 命題1若

7、級(jí)數(shù)收斂，則有不等式。證明：收斂，收斂，且從而有不等式成立。 命題23若級(jí)數(shù)收斂，且對(duì)有，則對(duì)定義在上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式證明：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以函數(shù)在上可積，將區(qū)間n等分，取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為，由定積分的定義得：令，則收斂，由柯西不等式得從而有不等式。赫爾德不等式4設(shè)滿足則：，等號(hào)成立的充分必要條件是證明：首先證明時(shí)，對(duì)任何正數(shù)A及B，有.對(duì)凹函數(shù)有：令代入以上不等式并對(duì)于，把這n個(gè)不等式相加.即成立。等號(hào)成立的充分必要條件是：即例7 設(shè)，求證：.思路分析：注意到式子中的倒數(shù)關(guān)系，考慮運(yùn)用柯西不等式來證明.證明：因?yàn)?，故由柯西不等式，得 所以 .例8 已知實(shí)數(shù)，e滿足，求e的取

8、值范圍.思路分析：由聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式.解：因?yàn)?即 ， 即 ，所以，故 .評(píng)述：此題十分巧妙地應(yīng)用柯西不等式求最值，十分典型，它是將重要不等式應(yīng)用于求最值問題的一道重要題目.例9 滿足，求的最小值.解：容易猜到時(shí)，取最小值.為了證明這一點(diǎn)，利用柯西不等式，得 ，只需要證明 等價(jià)于 （3-1）由幾何算術(shù)平均不等式，得 ，同理可證， ， ，以上三式相加，（3-1）式得證，進(jìn)而證得 的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。評(píng)述：柯西不等式中的的項(xiàng)如何拆成兩個(gè)因式和的積，可以說是應(yīng)用此不等式的主要技巧（上例，我們將中的表示為和的積），正因?yàn)榭梢园凑瘴覀兊男枰右苑纸?，柯西不等式的?yīng)用更為廣泛.例10 試問：當(dāng)且僅

9、當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件是，存在實(shí)數(shù)使得成立，其中，i為虛數(shù)單位，k=0,1,n. 證明你的結(jié)論.（高中聯(lián)賽，1997）思路分析：將成立轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，結(jié)合柯西不等式尋找的范圍.解：將轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，即 （3-2）若存在實(shí)數(shù)使（3-2）成立，則.由柯西不等式可得 （3-3）如果，由（3-2）可知，從而與 （3-3）矛盾于是得 （3-4）反之若（3-4）成立，有兩種情況：，則取，k=0,1,2,n，顯然（3-2）成立.，記，則不全為0.不妨設(shè)，取 ，并且取 易知（3-2）成立.綜上，所求的條件為 .4切比雪夫不等式定理4 設(shè)，為任意兩組實(shí)數(shù)，若且或且，則 （4-1）若且或且，則 （4-2）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.證明： 設(shè)為兩個(gè)有相同次序的序列，由排序不等式有 把上述n個(gè)式子相加，得 上式兩邊同除以，得 等號(hào)當(dāng)