1、本資料來源于七彩教育網(wǎng)全國名校高考專題訓練08圓錐曲線三、解答題(第三部分)51、(河北省正定中學2008年高三第五次月考)已知直線過橢圓E:的右焦點，且與E相交于兩點.PQoxyF(1)設（為原點），求點的軌跡方程；(2)若直線的傾斜角為60，求的值.解：(1)設 由，易得右焦點 -（2分）當直線軸時，直線的方程是：，根據(jù)對稱性可知 當直線的斜率存在時，可設直線的方程為代入E有; -（5分）于是; 消去參數(shù)得而也適上式，故R的軌跡方程是-（8分）(2)設橢圓另一個焦點為，在中設，則由余弦定理得 同理，在，設，則也由余弦定理得 于是 -（12分）52、(

2、河南省開封市2008屆高三年級第一次質(zhì)量檢)雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，O為坐標原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上， （1）求雙曲線的離心率e； （2）若此雙曲線過C（2，），求雙曲線的方程； （3）在（2）的條件下，D1、D2分別是雙曲線的虛軸端點（D2在y軸正半軸上），過D1的直線l交雙曲線M、N，的方程。解：（1）四邊形F2ABO是平行四邊形四邊 形F2ABO是菱形.由雙曲線定義得（2），雙曲線方程為把點C代入有雙曲線方程（3）D1（0，3），D2（0，3），設l的方程為則由因l與與雙曲線有兩個交點，故所求直線l方程為53、(河南省濮陽市2008年高三摸底考試)直線

3、AB過拋物線x22py(p0)的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點 (1)求的取值范圍； (2)過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點 求證：0，54、設圓滿足:（1）截直線y=x所得弦長為2;（2）被直線y=x分成的一段劣弧所在的扇形面積是圓面積的倍在滿足條件（1）、（2）的所有圓中,求圓心到直線x+3y=0的距離最小的圓的的方程解：設所求圓的圓心為P（a,b）,半徑為r,則P到直線y=x、直線y=x的距離分別為、（2分）由題設知圓P截直線y=x所得劣弧所對圓心角為90,圓P截直線y=x所得弦長為r,故r2=（）2，即r

4、2=（a+b）2，（4分）又圓P截直線y=x所得弦長為2，所以有r2=1+,從而有（6分）又點P到直線x+3y=0的距離為d=,所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+22（8分）當且僅當b=0時上式等號成立,此時5d2=1,從而d取得最小值,由此有a=,r=（10分）于是所求圓的方程為（x）2+y2=2或（x）2+y2=2（12分）55、(河南省許昌市2008年上期末質(zhì)量評估)已知橢圓y2l的左焦點為F，O為坐標原點 ( I )求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程； ()設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線xy0上，求直線AB的方程56、

5、(黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試)已知,點在軸上，點在的正半軸上，點在直線上，且.（1）當在軸上移動時，求點軌跡C；（2）若曲線的準線交軸于，過的直線交曲線于兩點，又的中垂線交軸于點，求橫坐標取值范圍； （3）在（2）中，能否為正三角形.解：(1)設得又由得 即4分(2)由(1)知N（1，0）設得：由由設對AB的中點為AB的中點為令即x03.57、(湖北省八校高2008第二次聯(lián)考)已知A,B是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，非零向量滿足（）求證：直線經(jīng)過一定點；（）當?shù)闹悬c到直線的距離的最小值為時，求的值解：, .設A,B兩點的坐標為（），（）則 .（1）經(jīng)過A，B兩點的直線方程為

6、 由，得 . 令，得, . 從而. (否則, 有一個為零向量),. 代入，得 ，始終經(jīng)過定點. （6分）（2）設AB中點的坐標為()，則 . 又, ，即 .AB的中點到直線的距離.將代入，得.因為d的最小值為. （12分）（若用導數(shù)求切線的斜率為2的切點坐標，參考給分.）58、(湖北省三校聯(lián)合體高2008屆2月測試)已知半圓，動圓與此半圓相切且與軸相切。（1）求動圓圓心的軌跡方程。（2）是否存在斜率為的直線，它與（1）中所得軌跡由左到右順次交于A、B、C、D四個不同的點，且滿足|AD|=2|BC|？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由。（1）設動圓圓心，作軸于點若兩圓外切： ，則 化簡得：

7、3分若兩圓內(nèi)切： ，則 5分綜上，動圓圓心的軌跡方程是 及 6分其圖象為兩條拋物線位于軸上方的部分，如圖所示。（2）假設直線存在，可設的方程為。 依題意得，它與曲線交于點，與曲線交于點。即 ， 2 =2即+=4 得11分將其代入方程得 因為曲線的橫坐標范圍為，所以這樣的直線不存在。13分59、(湖北省鄂州市2008年高考模擬)已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （）設為點P的橫坐標，證明； （）求點T的軌跡C的方程； （）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，

8、求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由解 （）設點P的坐標為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得又由知，所以 （） 當時，點（，0）和點（，0）在軌跡上當且時，由，得又，所以T為線段F2Q的中點在QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是 （） C上存在點M（）使S=的充要條件是由得，由得 所以，當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M當時，由，得【總結(jié)點評】平面向量與橢圓的綜合問題是考試大綱所強調(diào)的問題，應熟練掌握其解題技巧，一般地，在這類問題種，平面向量只起“背景”或“結(jié)論”的作用，幾乎都不會在向量的知識上設置障礙，所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾何的基本方法和基本思想

9、，比如本題（）本質(zhì)是焦半徑公式，核心內(nèi)容還是橢圓的第二定義的轉(zhuǎn)化思想（） 由“PT其實為線段QF2的垂直平分線”可聯(lián)想到下面的題目：如右圖，Q為長軸為2a橢圓上一動點，QP是F1QF2的外角平分線，且F1PQP，延長F2Q，使F2Q與F1P交于點M，則|QF1|=|QM|，所以點M的軌跡是以F2為圓心2a為半徑的圓，進一步可得到P的軌跡是以O為圓心a為半徑的圓60、(湖北省黃岡市麻城博達學校2008屆三月綜合測試)已知直線相交于A、B兩點，M是線段AB上的一點，且點M在直線上. （）求橢圓的離心率； （）若橢圓的焦點關于直線l的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程.解：（）由知M是AB的中點，設A、

10、B兩點的坐標分別為由，M點的坐標為4分又M點的直線l上：7分 （）由（）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為關于直線l：上的對稱點為，則有10分由已知，所求的橢圓的方程為12分61、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級期末考試)在ABC中，B是橢圓在x軸上方的頂點，是雙曲線位于x軸下方的準線，當AC在直線上運動時。(1)求ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；(2)過定點作互相垂直的直線，分別交軌跡E于M、N和R、Q，求四邊形MRNQ面積的最小值。解：（1）由橢圓方程及雙曲線方程可得點直線方程是 且在直線上運動。 可設 則的垂直平分線方程為 的垂直平分線方程為 P是ABC的外接圓圓心，點P的坐標滿足方

11、程和由和聯(lián)立消去得故圓心P的軌跡E的方程為(2)由圖可知，直線和的斜率存在且不為零，設的方程為，的方程為由 得 =直線與軌跡E交于兩點。設，則。同理可得：四邊形MRNQ的面積當且僅當，即時，等號成立。故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。（13分）62、(湖北省荊門市2008屆上期末)已知F1、F2為雙曲線C：的左、右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足：，（0） （1）求此雙曲線的離心率； （2）若過點N（，）的雙曲線C的虛軸端點分別為B1、B2（B1在y軸正半軸上），點A、B在雙曲線上，且，求雙曲線C和直線AB的方程.解：（1）法一：依題意四邊形OF1PM為菱形，

12、設P（x，y）則F1（c，0），M（，y）代入得 化簡得e2 4分法二：OF1PM為平行四邊形，又（0）知P在的角平分線上四邊形OF1PM為菱形，且邊長為， 4分由第二定義知即 又 （2）雙曲線C的方程為 8分 過B2的直線交曲線C于A、B兩點，且設直線AB：代入得設A（x1，y1），B（x2，y2）由 直線AB的方程為63、(湖北省荊州市2008屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測)如圖，已知為平面上的兩個定點，為動點，且，（是和的交點）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇c的軌跡方程；若點的軌跡上存在兩個不同的點，且線段的中垂線與（或的延長線）相交于一點，證明：（為的中點）解：如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為

13、軸，建立平面直角坐標系由題設，而點是以為焦點、長軸長為的橢圓，故點的軌跡方程為 （6分）如圖2，設，且，即，又在軌跡上，即代入整理得：， （10分），即。64、(湖北省隨州市2008年高三五月模擬)已知方向向量為的直線過點和橢圓的焦點，且橢圓的中心和橢圓的右準線上的點滿足：。求橢圓的方程；設為橢圓上任一點，過焦點的弦分別為,設，求的值。65、(湖北省武漢市武昌區(qū)2008屆高中畢業(yè)生元月調(diào)研測試)已知圓A：，圓B：，動圓P與圓A、圓B均外切，直線的方程為xa(a).（） 求動圓P的圓心的軌跡C的方程；（）過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，（1）求MN的最小值；（2）若MN的中點R在上的射影Q滿

14、足MQNQ，求的取值范圍.解：（）設動圓P的半徑為，則PA，PB=,PAPB=2. 故點P的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，其方程為（1）. 3分（）(1)設MN的方程為，代入雙曲線方程，得.由，解得. 5分設,則.當時,. 7分(2)由（1）知 ，.由,知.所以，從而.由,得. 13分另解： (1)若MN的斜率存在，設斜率為，則直線MN的方程為，代入雙曲線方程,得.由 解得. 5分設,則6.當直線斜率不存在時，2，得3，3.此時6.所以6. 7分(2)當MQNQ時，RQ. 又2，即2 ，所以MN， 故. 將代入，得MN2.由MN2,得1. 13分PQR。FAxy66、(湖南省

15、十二校2008屆高三第一次聯(lián)考)已知拋物線x24y上的點P(非原點)處切線與x、y軸分別交于Q、R點，F(xiàn)為拋物線的焦點。（）（）若拋物線上的點面積的最小值，并寫出此時過P點的切線方程。解：（）設令。（）知 =顯然只需考查函數(shù) 時，也取得最小值 。 故此時過P點的切線PR的方程為：67、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯(lián)考)如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為；折痕與AB交于點E，點M滿足關系式。若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：（）求點M的軌跡方程；ABCDOxylE（）若曲線S是

16、由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形的三邊分別與曲線S切于點.求梯形面積的最小值.解：（1）如圖，設M（x,y），又E（0，b）顯然直線l的斜率存在，故不妨設直線l的方程為y=kx+b,則而的中點在直線l上，故，由于代入即得，又 點M的軌跡方程（）-6分（2）易知曲線S的方程為設梯形的面積為，點P的坐標為. 由題意得，點的坐標為，直線的方程為. 直線的方程為即： 令 得，令 得，當且僅當，即時，取“=”且， 時，有最小值為.梯形的面積的最小值為-13分68、(湖南省長沙市一中2008屆高三第六次月考)已知圓M：（x+）2+y2=36及定點N（，0），點P是圓M上的動點，點Q在N

17、P上，點G在MP上，且滿足.（1）求點G的軌跡C的方程.（2）過點K（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.解：（1）為PN的中點，且GQ是PN的中垂線.又點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，的軌跡方程是（5分）（2）四邊形OASB為平行四邊形，假設存在直線，使；則四邊形OASB為矩形.若直線的斜率不存在，則的方程為.，這與=0矛盾，故的斜率存在.（7分）設直線的方程為、. （9分）又（12分）存在直線滿足條件. （13分）69、(湖南省雅禮中學2008年高三年級第六次月考)在平面

18、直角坐標系中，已知，若實數(shù)使得（為坐標原點）（I）求點的軌跡方程，并討論點的軌跡類型；（）當時，若過點的直線（斜率不等于零）與（I）中點的軌跡交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求OBE與OBF面積之比的取值范圍.解：（I）由已知可得 5分即P點的軌跡方程是 7分當 P點的軌跡是兩個點 9分，即時，方程為 P點的軌跡是雙曲線 11分，即時，方程為, P點的軌跡是兩條射線 13分70、(湖南省岳陽市2008屆高三第一次模擬)已知直線l: y2x與橢圓C:y2 1 (a1)交于P、Q兩點, 以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A. (1) 設PQ中點M(x0,y0), 求證: x0 (2)求橢圓

19、C的方程.解: (1)設直線l: y2x與橢圓C: y2 1 (a1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右頂點A(a,0), 將y2x代入x2a2y2a20中整理得(4a21)x24a2x2a20 M(x0,y0)為PQ中點 x0 故x0(2)依題意: 0, 則(x1a)(x2a)y1y20 又y12x1, y22x2故 (x1a)(x2a)(2x1)(2x2)0 由代入 得: 4a44a3a230(a)(4a2a)0 a1, 則4a2a0 故a故所橢圓方程為 y2171、(湖南省株洲市2008屆高三第二次質(zhì)檢)已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。過點F的直線交橢圓于A、B兩點 （1）

20、若直線的傾斜角，求； （2）求弦AB的中點M的軌跡； （3）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍解：（1）直線方程為與聯(lián)立得 4分（2）設弦AB的中點M的坐標為依題意有 所以弦AB的中點M的軌跡是以為中心，焦點在軸上，長軸長為1，短軸長為的橢圓。 8分（3）設直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。記中點 則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為 13分72、(吉林省吉林市2008屆上期末)拋物線C的方程為，作斜率為的兩條直線，分別交拋物線C于A兩點（P、A、B三點互不相同），且滿

21、足 （1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程； （2）設直線AB上一點M滿足證明：線段PM的中點在y軸上； （3）當時，若點P的坐標為（1，1），求PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取值范圍.解：（1）由拋物線C的方程得，焦點坐標為 2分 （2）設直線PA的方程為點 的解將式代入式，得，于是 4分又點 的解將式代入式，得，于是 4分由已知得， 設點M的坐標為將式和式代入上式，得所以線段PM的中點在y軸上 8分 （3）因為點P（1，1）在拋物線由式知將代入式得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為故當即12分73、(吉林省實驗中學2008屆高三年級第五次模擬考試)設分別是橢圓的左，右焦點

22、。（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且，求點的坐標。（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。解：（）易知。， 3分聯(lián)立，解得， 5分（）顯然 6分可設聯(lián)立 7分由 得 8分又， 9分又 11分綜可知 12分74、(江蘇省常州市北郊中學2008屆高三第一次模擬檢測)在中，已知，、兩邊所在的直線分別與 軸交于原點同側(cè)的點、，且滿足。(1)求點的軌跡方程； (2)若是上任一點，動點在線段上，求的最小值。解：（1）設點，當時，軸，當時， 軸，與題意不符，所以;由三點共線有，解得同理由 三點共線，解得， ，化簡得點的軌跡方程為 （2）解略。最小值為2

23、75、(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B過F、B、C作P，其中圓心P的坐標為（m，n）（）當mn0時，求橢圓離心率的范圍；（）直線AB與P能否相切？證明你的結(jié)論 解：（）設F、B、C的坐標分別為（c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為，2分聯(lián)立方程組，解出4分，即，即（1b）（bc）0， bc 6分從而即有，7分又， 8分（）直線AB與P不能相切9分由， 10分如果直線AB與P相切，則1 12分解出c0或2，與0c1矛盾，14分所以直線AB與P不能相切 15分評講建議：此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢

24、圓的相關知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設直線AB與P相切，則有AB2AFAC，易由橢圓中a，b，c的關系推出矛盾76、(江蘇省前黃高級中學2008屆高三調(diào)研)已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（）求此橢圓的離心率；（）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.解：（1）設A、B兩點的坐標分別為 得, 根據(jù)韋達定理，得 線段AB的中點坐標為（）. 由已知得 故橢圓的離心率為（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直

25、線的對稱點為解得。由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .77、(江蘇省前黃高級中學2008屆高三調(diào)研)在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點. （）如果直線過拋物線的焦點，求的值； （）如果證明直線必過一定點，并求出該定點.解：（）由題意：拋物線焦點為（1，0）設消去x得則，=（）設消去x，得，則y1+y2=4t ，y1y2=4b。=。令，直線l過定點（2，0）。78、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級第二次統(tǒng)一測試)傾斜角為60的一束平行光線，將一個半徑為的球投影在水平地面上，形成一個橢圓若以該橢圓的中心為原點，較長的對稱軸為x軸，建立平面直角坐標系（1）求橢圓的標準方程；（2）若球

26、的某一條直徑的兩個端點在地面上的投影恰好分別落在橢圓邊界的A、B兩點上，且已知C（4，0），求的取值范圍解：（1）設橢圓方程是，由題知b=，2a=，a=2所求橢圓的標準方程是 6（2）設A（x1,y1），B（x2,y2），A、B關于坐標原點O對稱，=（x14,y1），=（x24,y2），=（x14,y1）（x24,y2）=x1x24(x1x2)16y1y2= x1x216y1y2 9AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程是y=kx，代入橢圓方程得： = 12由于k可以取任意實數(shù)，故12，13）， 14AB與x軸垂直時，|=|=，cosACB=1312，13 1679、(江蘇省南通通州市2008屆

27、高三年級第二次統(tǒng)一測試)設A、B是拋物線y=2x2上兩點，求證：AB的垂直平分線經(jīng)過拋物線焦點的充要條件是線段AB的中點落在y 軸上。證明：設A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中點落在y 軸上即x1x2=0；拋物線y=2x2的焦點 3充分性：當AB的中點落在y 軸上即x1x2=0時，y1=y2，A、B關于y軸對稱，直線即為y軸，經(jīng)過拋物線的焦點。 6必要性：（1）直線的斜率不存在且經(jīng)過時，直線即為y軸，A、B關于y軸對稱，AB的中點落在y 軸上。 （2）直線經(jīng)過且斜率存在，設斜率為k（顯然k0），截距為，即直線：y=kx+由已知得：0 即的斜率存在時，AB的中點不可能落在y 軸上即題設

28、A、B點不存在。 9綜上所述，經(jīng)過拋物線焦點的充要條件是線段AB的中點落在y 軸上。 1080、(江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)橢圓C：的兩個焦點分別為 ,是橢圓上一點，且滿足。 （1）求離心率e的取值范圍（2）當離心率e取得最小值時，點N( 0 , 3 )到橢圓上的點的最遠距離為5(i)求此時橢圓C的方程(ii)設斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點P（0，- ）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由。解：(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為：e13分(2)、(i) 當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為+

29、= 1 。設H( x , y )是橢圓上的一點，則| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - byb若0b3 ，則當y = - b時，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -35(均舍去) 5分若b3，則當y = -3時，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16所求橢圓方程為+ = 17分(ii) 設 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，則由兩式相減得x0+2ky0=0；8分又直線PQ直線l，直線PQ的方程為y= - x - ，將點Q

30、( x0 , y0 )坐標代入得y0= - x0- 9分由解得Q( - k , )，而點Q必在橢圓的內(nèi)部 + 1， 10分由此得k2 ，又k0 - k 0或0 k 故當( - , 0 ) ( 0 , )時，A、B兩點關于過點P、Q、的直線對稱。12分81、(寧夏區(qū)銀川一中2008屆第六次月考)如圖，直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S （I）求在k=0，0b1的條件下，S的最大值； （II）當|AB|=2,S=1時，求直線AB的方程解：（）解：設點的坐標為，點的坐標為，由，解得，所以當且僅當時，取到最大值（）解：由得， 設到的距離為，則， 又因為，所以，代入式并整理，得，解得，代入式檢驗，故直線的方程是或或，或82、(山東省聊城市2008屆第一期末統(tǒng)考)已知定點A（2，0），動點B是圓F：（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P. （1）求動點P的軌跡E的方程； （2）直線交于M，N兩點，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點C，使共線（O為坐標原點）？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意因此點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點