1、第30卷第1期 2000年1月 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol130 No11 Jan.2000 數(shù)學(xué)建模 自動(dòng)化車床管理的數(shù)學(xué)模型 楊振華, 邱中華 (南京郵電學(xué)院應(yīng)用數(shù)理系,南京 210003) 摘要: 本文針對(duì)1999年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題自動(dòng)化車床管理問(wèn)題的問(wèn)題 (2), 建立了完整 的數(shù)學(xué)模型,并給出了該數(shù)學(xué)模型的解. 1 模型假設(shè) 收稿日期: 1999211220 我們先考慮只有刀具故障的情況. 11 刀具故障的發(fā)生滿足正態(tài)分布N(,2 ), 其中 = 60010,= 1951 644( 若取無(wú)偏估計(jì)

2、= 196163,對(duì)建模無(wú)本質(zhì)影響,僅是計(jì)算結(jié)果有微小偏差 ). 密度函數(shù)為g(x ) = 1 2exp - x- 2 22 .除刀具故障外,無(wú)其它故障. 21 每生產(chǎn)s個(gè)零件檢查一次,一旦檢查到不合格品則換刀.至多生產(chǎn)u個(gè)零件后更換 刀具. 31 不合格零件損失費(fèi)用f= 200元? 件,檢查費(fèi)用t= 10元? 次,故障調(diào)節(jié)費(fèi)用d= 3000元? 次,誤判停機(jī)費(fèi)用a= 1500元? 次,正常更換刀具費(fèi)用k= 1000元? 次. 在上述假設(shè)條件下,最多檢查次數(shù)為n= u- 1 s . 2 數(shù)學(xué)模型 m inF(s,u ) = E(F) E(N) 其中E(F)為各種費(fèi)用之和的期望值,E(N)為零件

3、合格品數(shù)目的期望值. E(F ) = mM F (m)P(m), E(N ) = mMN (m)P(m). 其中,M為事件的各種可能情況組成的集合. 下面,我們遍歷刀具故障出現(xiàn)與第一次檢查出不合格品這兩個(gè)事件發(fā)生的所有情況來(lái) 計(jì)算E(F)與E(N ). 設(shè)刀具故障發(fā)生在第i- 1次檢查與第i次檢查之間 (1 in+ 2), (i=n+ 1表示刀具 故障出在第n次檢查之后,生產(chǎn)u個(gè)零件之前;i=n+ 2表示刀具出現(xiàn)在生產(chǎn)u個(gè)零件之 數(shù)學(xué)中國(guó)w w w .m a d i o .n e t 后 ). 設(shè)第一次查出不合格品出現(xiàn)在第j次檢查中(前j- 1次檢查均合格 ) (1 jn+ 1), (j=n+

4、 1表示n次檢查均為合格品 ). 刀具故障出現(xiàn)與第一次檢查出不合格品這兩個(gè)事件的發(fā)生可分為以下幾種情形: (一 )1 in: (1) 1ji- 1; (2)ijn ; (3) j=n+ 1 (二)i=n+ 1: (1) 1jn ; (2) j=n+ 1; (三)i=n+ 2: (1) 1jn ; (2) j=n+ 1; 下面我們就根據(jù)這幾種情形來(lái)計(jì)算E(F)與E(N ). (一 )1 in,我們將故障發(fā)生的區(qū)間 ( i - 1) s,is)分成s個(gè)小區(qū)間: ( i- 1) s+r , ( i- 1) s+r+ 1) (r= 0, 1,s-1) (1) 1ji- 1 事件發(fā)生的概率:前j- 1次

5、檢查均為合格品,概率為0198 j- 1, 第j次檢查為不合格品, 概率為0102,因此,事件發(fā)生的概率為:P= (i - 1) s+r+ 1 (i - 1) s+r g(x )d x0. 98 j- 1 0. 02. 零件合格品數(shù):j次檢查中,j- 1個(gè)為合格品, 1個(gè)為不合格品,還有j(s - 1) 個(gè)零件構(gòu) 成 成功概率為0198的j(s - 1) 重貝努里試驗(yàn),合格品數(shù)的期望為0198j(s- 1).因此: N=j(s- 1)0198+j- 1. 注 這里對(duì)零件合格品的概率理解為:除去已確定為合格或不合格的零件,別的零件的 合格品的概率為98%.另外還有一種理解,即不論檢查出多少個(gè)合格

6、品或不合格品,認(rèn)為其總 體合格品概率為98% ,那樣對(duì)建模的結(jié)果稍有影響(故障時(shí)的合格品概率有類似的問(wèn)題 ). 費(fèi)用:共檢查了j次,檢查費(fèi)用為jt;共生產(chǎn)了js個(gè)零件,合格品數(shù)的期望為N,因此, 不合格品數(shù)的期望為js-N,零件損失費(fèi)用為f(js-N ); 另外,誤認(rèn)為故障而停機(jī)的損失費(fèi) 用為a,因此:F=jt+f(js-N )+ a. 對(duì)于其它各種情況,我們可以類似地進(jìn)行計(jì)算. (2)ijn P= (i - 1) s+r+ 1 (i - 1) s+r g(x )d x0198i- 10. 4j- i 0. 6 N= 0. 98(i- 1) ( s-1) +r) + 0. 4(j-i+ 1)

7、(s-1) -r ) + j-1 F=jt+f(js-N ) + d (3)j=n+ 1 P= (i - 1) s+r+ 1 (i - 1) s+r g(x )d x0198 i- 1 0. 4 n-i+i N= 01 98( i- 1) ( s-1) +r) + 0. 4(u-(i- 1) s-r-(n-i+ 1) +n F=nt+f(u-N ) + d (二)i=n+ 1,我們將故障發(fā)生的區(qū)間ns,u)分為u-ns個(gè)小區(qū)間 h,h+ 1), (h=ns,ns+ 1,u- 1) (1) 1 jn P= h+ 1 h g(x )d x0. 98j- 10. 02 N= 0. 98j(s-1)

8、+j-1 F=jt+f(js-N ) + a (2)j=n+ 1 89數(shù) 學(xué) 的 實(shí) 踐 與 認(rèn) 識(shí)30卷 數(shù)學(xué)中國(guó)w w w .m a d i o .n e t P= h+ 1 h g(x )d x0. 98 n N= 0. 98(h-n) + 0. 4(u-h ) + n F=nt+f(u-N ) + d (三)i=n+ 2 (1) 1jn P= + u g(x )d x0. 98 j- 10. 02 N= 0. 98j(s-1) +j-1 F=jt+f(js-N ) + a (2)j=n+ 1 P= + u g(x )d x0. 98 n N= 01 98( u-n ) + n F=nt

9、+f(u-N ) + k 綜合以上各種情況,我們可以得到: E(N ) = n i= 1 s- 1 r= 0 (i - 1) s+r+ 1 (i - 1) s+r g(x )d x i- 1 j= 1 0. 98j- 10. 02(0. 98j(s-1) +j- 1) + n j=i 0. 98 i- 1 014 j-i 016 (0 1 98( i- 1) ( s-1) +r) + 0. 4(j- i+ 1) (s-1) -r ) + j- 1) + 0. 98 i- 1 0. 4 n-i+ 1 (0. 98(i- 1) ( s-1) +r) + 0. 4(u-(r- 1) s-r-(n-i

10、+ 1) +n + u- 1 h=ns h+ 1 h g(x )d x n j= 1 0. 98 j- 1 0. 02(0. 98j(s-1) +j- 1) + 0. 98 n (0. 98(h-n) + 0. 4(u-h ) + n ) + + u g(x )d x n j= 1 0. 98 j- 1 0. 02(0. 98j(s-1) +j- 1) + 0. 98 n(0. 98(u -n ) + n ) E(F ) = n i= 1 s- 1 r= 0 (i - 1) s+r+ 1 (i - 1) s+r g(x )d x i- 1 j= 1 0. 98 j- 1 0. 02(jt+a

11、+f(js-(0. 98j(s-1) +j- 1) + n j=i 0198 j- 1 0. 4 j- 1 0. 6( jt+d+f(js-(0. 98(i- 1) ( s-1) +r) + 0. 4(j- 1 + 1) (s- 1) -r ) + j- 1) + 0. 98 i- 10. 4n-i+ 1(nt +d+f(u-(0. 98(i- 1) ( s-1) +r) + 0. 4(u-(s- 1) -r-(n-i+ 1) +n ) + u- 1 h=ns h+ 1 h g(x )d x n j= 1 0. 98 j- 10. 02(j t +a+f(js-(0. 98j(s-1) +j-

12、 1) + 0. 98 n (nt+d+f(u-(0. 98(h-n) + 0. 4(u-h ) + n ) 991期楊振華等:自動(dòng)化車床管理的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)中國(guó)w w w .m a d i o .n e t 第30卷第1期 2000年1月 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol130 No11 Jan.2000 + + u g(x )d x n j= 1 0. 98 j- 10. 02(j t +a+f(js-(0. 98(j(s-1) +j- 1) + 0. 98 n (nt+k+f(u-(0. 98(u-n ) + n )

13、 3 模型求解及結(jié)果 我們對(duì)s從1至100,u從100至600用窮舉法進(jìn)行搜索,比較F(s,u)的值,求得最優(yōu)解 為:s= 54,u= 304,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為9137681,若限定u為s的整數(shù)倍,則最優(yōu)解為:s= 51, u= 306,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為9140044. 4 考慮其它故障的情況 若考慮其它故障,我們將上述模型中的假設(shè)1改為:其它故障與刀具故障的發(fā)生相互獨(dú) 立,其它故障服從區(qū)間0, 22800上的均勻分布.此時(shí)模型依然具有下列形式: m inF(s,u ) = E(F) E(N) 其中,E(F)與E(N)的表達(dá)式只需遍歷其它故障的發(fā)生、 刀具故障的發(fā)生以及第一次檢查 出不合格品這

14、三個(gè)事件的所有情況即可推導(dǎo)出,由于其形式相當(dāng)復(fù)雜,我們不在此列出. 類似于前面的模型,我們可以求出在考慮其它故障的情況下,最優(yōu)解為:s= 40u= 314, 此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值為9157354. MathematicalM odel of AutomaticManaging of Lathe YAN G Zhen2hua, Q I U Zhong2hua (N anjing U niversity of Posts & Telecommunications, N anjing 210003) Abstract: In this paper,we establish the mathemaical model of problem A of 1999 Chinese U ndergraduate M athematical Contest in M odelingautomatic managing of lathe. Then we give