1、第8章 麥克斯韋方程組本章要點：1. 電磁感應定律及楞次定律2. 動生電動勢和感生電動勢*3. 自感與互感*4. 磁場的能量5. 麥克斯韋方程組前面分別討論了靜電場和穩(wěn)恒磁場的基本屬性，以及它們和物質相互作用的基本規(guī)律。隨著生產發(fā)展的需要，人們深入地研究了電磁現(xiàn)象的本質，從而對電磁場的認識有了一個飛躍。由實驗發(fā)現(xiàn)，不但電荷產生電場，電流產生磁場，而且變化著的電場和磁場可以相互產生，所以電場和磁場是一個統(tǒng)一的整體電磁場。杰出的英國物理學家法拉第于1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象，被譽為電磁理論的奠基人。他的豐碩的實驗研究成果以及他的新穎的“場”的觀念和力線思想，為電磁現(xiàn)象的統(tǒng)一理論準備了條件。186

2、2年，英國的麥克斯韋完成了這個統(tǒng)一任務，建立了電磁場的普遍方程組，稱為麥克斯韋方程組，并預言電磁場以波動形式運動，稱為電磁波。它的傳播速度與真空中的光速相同，表明光也是電磁波。這個預言于1888年由德國的赫茲通過實驗所證實，從而實現(xiàn)了電、磁、光的統(tǒng)一，并開辟了一個全新的戰(zhàn)略領域電磁波的應用和研究。1895年俄國的波波夫和意大利的馬可尼分別實現(xiàn)了無線電訊號的傳輸本章首先討論電磁感應現(xiàn)象，引出渦旋電場，從而得到隨時間變化的磁場產生電場的基本規(guī)律；然后研究非穩(wěn)恒條件下電流連續(xù)性方程，引出位移電流，說明隨時間變化的電場產生磁場，從而得出在普遍情況下安培環(huán)路定理的推廣形式；最后總結出電磁場運動的普遍規(guī)律

3、麥克斯韋方程。 8.1 電磁感應8.1.1 電磁感應現(xiàn)象自從發(fā)現(xiàn)了電流產生磁場的現(xiàn)象以后，人們提出一個問題：電流既然能夠產生磁場，那么，能不能利用磁場來產生電流呢?下面先通過幾個實驗說明什么是電磁感應現(xiàn)象，以及產生電磁感應現(xiàn)象的條件。1. 取一線圈A，把它的兩端和一電流計G連成一閉合回路圖8-1 (a)，這時電流計的指針并不發(fā)生偏轉，這是因為在電路里沒有電動勢。再取一磁鐵，先使其與線圈相對靜止，電流計也不發(fā)生偏轉。但若使兩者發(fā)生相對運動，電流計的指針則發(fā)生偏轉。當相對運動的方向改變時電流計指針偏轉的方向也發(fā)生變化。同時，相對運動速度越大，指針偏轉越大。2. 前面講過，電流要激發(fā)磁場，一個載流螺

4、線管相當于一根磁棒。因此，如果我們取一個載流螺線管B代替圖8-1實驗中的磁棒，則當載流螺線管和線圈回路之間有相對運動時，發(fā)現(xiàn)電流計的指針也會發(fā)生偏轉，說明閉合線圈回路中亦有電流圖8-1（b）。如果在線圈B中加進一個鐵芯，則電流計指針的偏轉更大。3. 將通電螺線管放入線圈中，調節(jié)可變電阻器的阻值R，觀察連接在線圈回路中的電流計指針圖8-1（c），實驗發(fā)現(xiàn)：當R不變化時電流計指針不動，這表明線圈回路中沒有電流；當R變化時，螺線管中的電流強度改變，電流計的指針發(fā)生偏轉，這表示線圈回路中有電流。當R變化使螺線管中的電流強度增強時，電流計的指針向一側偏轉，而當螺線管中的電流強度減弱時，電流計的指針向另一

5、側偏轉，并且，螺線管中的電流改變得越快，這時電流計指針的偏轉角也越大，顯示出線圈回路中的電流強度也越大。4. 在圖8-1（d）所示的均勻磁場中，電流計與一個形導線框相連，形導線框上放有一個可以垂直于磁場 B方向運動的導體棒，導體棒與形導線框保持良好接觸。（a） （b） （c） （d）圖8-1 實驗發(fā)現(xiàn)：當導體棒以一定速度向右或左移動（即改變導體回路面積）時，這時，回路中就有電流。雖然，回路內各點的磁感強度B不改變，但穿過回路的磁通量卻在增加或減少。當磁通量增加時，電流計指針向一個方向偏轉；磁通量減少時，電流計指針向另一個方向偏轉。 進一步的實驗還可以發(fā)現(xiàn)，導體棒在磁場中運動得越快，磁通量改變（

6、增加或減?。┰娇?，電流計指針偏轉越大，表明回路中的電流也越大；反之，則越小。上面四個實驗都是利用磁場產生電流，那么產生電流的條件是什么呢?如果分別考察每個實驗，似乎可有若干不同的說法。如果綜合分析上述各實驗，盡管情況各不相同，但有一點卻是共同的，即不論是B、S或改變，它們都要使穿過閉合回路的磁通量發(fā)生變化。那么利用磁場產生電流的共同條件可概括為：穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化。對實驗1和2，是由于閉合回路與磁鐵間的相對運動時，使回路包圍面積中磁感強度B發(fā)生變化而導致穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化；對于實驗3，是由于磁場中各點磁感強度的變化而導致穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生

7、變化；對實驗4，則由于閉合回路所包圍面積的變化而導致穿過閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化。因而有如下結論：當通過一個閉合回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化（增加或減少）時，不管這種變化是由于什么原因所引起的，回路中就有電流產生。這種現(xiàn)象叫電磁感應現(xiàn)象。在回路中所產生的電流叫做感應電流。在磁通量增加和減少的兩種情況下，回路中感應電流的流向相反。感應電流的大小則取決于穿過回路中的磁通量變化快慢。變化越快，感應電流越大；反之，就越小?；芈分挟a生電流，表明回路中有電動勢存在。這種在回路中由于磁通量的變化而引起的電動勢，叫做感應電動勢。8.1.2 電磁感應定律現(xiàn)在我們對上節(jié)中由實驗所得到的結論，作進一步的

8、分析，以便了解電磁感應的基本規(guī)律。 法拉第對電磁感應現(xiàn)象作了詳細分析，總結出感應電動勢與磁通量變化率之間的關系，這個關系就是法拉第電磁感應定律，它的內容是：不論任何原因，當穿過閉合導體回路所包圍面積的磁通量m發(fā)生變化時，在回路中都會出現(xiàn)感應電動勢i，而且感應電動勢的大小總是與磁通量對時間t的變化率成正比。用數(shù)學公式可表示為 i = k式中，k是比例系數(shù)，在國際單位制中，i的單位是伏特，m的單位是韋伯，t的單位是秒，則有k = 1。如果再考慮到電動勢的“方向”，就得到法拉第電磁感應定律的完整表示形式，即： i = (8-1)應當指出，式(8-1) 是針對單匝回路而言的。如果回路是由N匝密繞線圈組

9、成的，而穿過每匝線圈的磁通量都等于，那么通過N匝密繞線圈的磁通量則為= Nm。我們常把稱為磁通鏈。若導體回路是閉合的，感應電動勢就會在回路中產生感應電流；若導線回路不是閉合的，回路中仍然有感應電動勢，但是不會形成電流。如果閉合回路的電阻為R，則回路中的感應電流為 (8-2)利用上式以及，可計算出由于電磁感應的緣故，在時間間隔內通過回路的電量。設在時刻t1穿過回路所圍面積的磁通量為m1，在時刻t2穿過回路所圍面積的磁通量為m2。于是，在時間內，通過回路的電量為 (8-3)比較式(8-2)和式(8-3)可以看出，感應電流與回路中磁通量隨時間的變化率有關，變化率越大，感應電流越強；但回路中的感應電量

10、則只與磁通量的變化量有關，而與磁通量的變化率(即變化的快慢)無關。在計算感應電量時，式(8-3)取絕對值。8.1.3 楞次定律現(xiàn)在來說明式(8-1)中負號的物理意義。（a） （b）圖8-2 楞次定律確定回路中感應電流的方向1833年楞次提出一種直接判定感生電流方向的方法：感應電流的方向總是要使感應電流所產生的磁場阻礙引起感應電流的磁通量的變化。這就是楞次定律。具體步驟是：首先要判明通過閉合回路的原磁場B的方向，其次確定通過閉合回路的磁通量是增加還是減少，再者按照楞次定律來確定感應電流所激發(fā)的磁場B的方向(磁通量增加時B與B反向，磁通量減少時B與B同向)，最后根據(jù)右手螺旋法則從感應電流產生的磁場

11、B方向來確定回路中感應電流的方向。 在上述實驗（a）中，當磁鐵棒以N極插向線圈或線圈向磁棒的N極運動時，通過線圈的磁通量增加，感應電流所激發(fā)的磁場方向則要使通過線圈面積的磁通量反抗線圈內磁通量的增加，所以線圈中感應電流所產生的磁感應線的方向與磁棒的磁感應線的方向相反圖8-2（a）。再根據(jù)右手螺旋法則，可確定線圈中的感應電流為逆時針方向。當磁鐵棒的N極拉離線圈或線圈背離磁棒的N極運動時，通過線圈的磁通量減少，感應電流所激發(fā)的磁場則要使通過線圈面積的磁通量去補償線圈內磁通量的減少，因而，它所產生的磁感應線的方向與磁棒的磁感應線的方向相同圖8-2（b），則線圈中的感應電流方向與（a）的相反，為順時針

12、。其他幾個實驗也可以用同樣的分析方法來確定感應電流的方向，讀者可自行分析?，F(xiàn)介紹用法拉第電磁感應定律的表達式(8-1)中的負號來判定感應電動勢的方向，我們規(guī)定：先選定回路的繞行正方向，再用右手螺旋法則確定此回路所圍面積的正法線n的方向如圖8-3所示；然后確定通過回路面積的磁通量m的正負：凡穿過回路面積的B的方向與正法線方向相同者為正，相反者為負；最后再考慮m的變化，從式（8-1）來看，感應電動勢i的正、負只由決定。若0，i為負值。即i的方向與規(guī)定的繞行正方向相反。若0，則i為正值，即i方向與繞行正方向相同。 圖8-3 (a)中，因B與n 致，故m0；且知磁通量隨時間增加，即0，故依上面的規(guī)定，

13、i為負值。即感應電動勢i方向與繞行正方向相反。圖8-3 (b)中，因B與n 致，故m0；但磁通量隨時間而減小，即0，這時i應是正值。即i方向與繞行正方向相同。圖8-3（c）中，因B與n相反，故m0；當磁通量隨時間增加時，相對正法線方向則是減少，因此，0，這樣i是正值。即感應電動勢i方向與繞行正方向相同。圖8-3（d）中，因B與n相反，故m0；當磁通量隨時間減少時，即相當于沿正法線n方向增加，因此，0，很易確定感應電動勢i方向與繞行正方向相反。用這種方法確定感應電動勢的方向和用楞次定律確定的方向完全一致，但在實際問題中用楞次定律來確定感應電動勢的方向比較簡便。楞次定律是符合能量守恒定律的。這里以

14、在勻強磁場中導線框上活動的導線在磁場中運動時的能量轉換來說明?；顒訉Ь€移動時受到的磁場力總是反抗導線運動的。也就是說，要使導線移動，就需要外力作功，這樣就使其它形式的能量(如機械能)轉化為感應電流通過回路時的電能。而由式(8-1)中負號決定的感應電動勢方向和楞次定律所確定的方向一致，這就恰恰說明了法拉第電磁感應定律式(8-1)中的負號所表明的感應電動勢的方向與能量守恒定律有著內在的聯(lián)系。例8-1在時間間隔（0，t 0）中，長直導線通以I = k t的變化電流，方向向上，式中I為瞬時電流，k是常量，0。在此導線近旁平行地放一長方形線圈，長為b，寬為a，線圈的一邊與導線相距為d，設磁導率為的磁介質

15、充滿整個空間，求任一時刻線圈中的感應電動勢。 圖8-4解 如圖8-4所示，長直導線中的電流隨時間變化時，在它的周圍空間里產生隨時間變化的磁場，穿過線圈的磁通量也隨時間變化。所以在線圈中就產生感應電動勢。先求出某一時刻穿過線圈的磁通量。在該時刻距直導線為r處的磁感強度B的大小為。在線圈所在范圍內，B的方向都垂直于圖面向里，但它的大小各處一般不相同。將矩形面積劃分成無限多與直導線平行的細長條面積元dSbdr，設其中某一面積元（圖中斜線部分）dS與CD相距r，dS上各點B的大小視為相等。取dS的方向(也就是矩形面積的法線方向)也垂直紙面向里，則穿過面積元dS的磁通量為在給定時刻(t為定值)，通過線圈

16、所包圍面積(S)的磁通量為它隨t而增加，所以線圈中的感應電動勢大小為根據(jù)楞次定律可知，為了反抗穿過線圈所包圍面積、垂直圖面向里的磁通量的增加，線圈中i的繞行方向是逆時針的。例8-2 在磁感強度為B的均勻磁場中，有一平面線圈，由N匝導線繞成。線圈以角速度繞圖8-5所示oo 軸轉動，ooB，設開始時線圈平面的法線n與B矢量平行，求線圈中的感應電動勢。解 因t = 0時，線圈平面的法線n與B矢量平行，所以任一時刻線圈平面的法線n與B矢量的夾角為。因此任一時刻穿過該線圈的磁通鏈圖8-5根據(jù)電磁感應定律，這時線圈中的感應電動勢為式中N、B、S和都是常量，令m，叫做電動勢振幅，則i = m。如果回路電阻為

17、R，則電路中的電流為 式中叫做電流振幅。由此可見在均勻磁場中作勻速轉動的線圈能產生交流電。以上就是交流發(fā)電機的基本原理。8.2 動生電動勢和感生電動勢上面已指出，不論什么原因，只要穿過回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化，回路中就要產生感應電動勢。而使回路中磁通量發(fā)生變化的方式通常有下述兩種情況：一種是磁場不隨時間變化，而回路中的某部分導體運動，使回路面積發(fā)生變化導致磁通量變化，使在運動導體中產生感應電動勢，這種感應電動勢叫動生電動勢；另一種是導體回路、面積不變，由于空間磁場隨時間改變，導致回路中產生感應電動勢，這種感應電動勢叫做感生電動勢。下面分別討論這兩種電動勢。8.2.1 動生電動勢圖8-6

18、動生電動勢如圖8-6所示，在平面回路abcda中，長為L的導線ab 可沿da、cb滑動?；瑒訒r保持ab與dc平行。設在磁感強度為B的均勻磁場中，導線ab以速度v沿圖示方向運動，并且L，v和B三者相互垂直。導線ab在圖示位置時，通過閉合回路abcda所包圍面積S的磁通量為 式中x為cb長度，當ab在運動時，x對時間的變化率，所以動生電動勢的量值為 (8-4)這里，磁通量的增量也就是導線所切割的磁感應線數(shù)。所以動生電動勢的量值等于單位時間內導體所切割的磁感應線的條數(shù)。很容易確定動生電動勢的方向為由b指向a。當導線ab沿圖示方向運動時，穿過回路的磁通量不斷增加，根據(jù)楞次定律，感應電流產生的磁場要阻礙

19、回路內磁通量的增加，因此導線ab上的動生電動勢的方向是從b到a的方向，又因除ab外，回路其余部分均不動，感應電動勢必集中于ab一段內，因此，ab可視為整個回路的“電源”，可見a點的電勢高于b點。從微觀上看，當ab以v向右運動時，ab上的自由電子被帶著以同一速度向右運動，因而每個自由電子都受到洛侖茲力f的作用，即 如果把f看成是非靜電場的作用，則這個非靜電場的強度應為 根據(jù)電動勢的定義，ab中產生的動生電動勢就是這種非靜電力場作用的結果。因此 （8-5）這就是動生電動勢的一般表達式。它表明，動生電動勢是由洛侖茲力引起的。也就是說，洛侖滋力是產生動生電動勢的非靜電力。式中，i的方向就是v B的矢積

20、方向，即，若i0，i的方向為由b指向a；反之，i0時，i則為由a指向b。因為vB，而且單位正電荷受力的方向就是v B的矢積方向，并與dl方向一致，于是有 這是從微觀上分析動生電動勢產生的原因所得的結果，顯然它與通過回路磁通量變化計算的結果式(8-4)是致的。因此，式(8-5)是計算動生電動勢的普遍式。 圖8-7例8-3 如圖8-7所示，一金屬棒 OA 長L = 50 cm ，在大小為 B = 0.5010- 4 Wbm-2、方向垂直紙面向內的均勻磁場中，以一端O為軸心作逆時針的勻速轉動，轉速為 2 rads-1。求此金屬棒的動生電動勢；并問哪一端電勢高? 解 如圖所示，因為OA棒上各點的速度不

21、同，在棒上距軸心O為r處取線元 dr (dr方向由O指向A)，其速度大小為v = r，方向垂直于OA，也垂直于磁場B，按題意，vB， = 90；沿著這個指向，在金屬棒上按右手螺旋法則，矢量 v B與 dr方向相反，即 = 。于是，按動生電動勢公式（8-5），得該小段在磁場中運動時所產生的動生電動勢di為di的方向與矢積v B的方向相同，即從A指向O。對長度為L的金屬棒來說，可以分成許多小段，各小段均有di，而且方向都相同。對整個金屬棒，可以看作是各小段的串聯(lián)。其總電動勢等于各小段動生電動勢的代數(shù)和。于是有 代入題設數(shù)據(jù)，得動生電動勢的大小為 i的方向為由A指向O，故O端電勢高。下面再用法拉第電

22、磁感應定律求解：可以這樣理解此題：當棒轉過d角時，它所掃過的面積為dS = L2d/2，通過這面積的磁感線顯然都被此棒所切割，如棒轉過d角所需時間為dt，則棒在單位時間內所切割的磁感線數(shù)目，即為所求的金屬棒中的動生電動勢大小。因此，由于金屬棒是在均勻磁場中轉動，則dt時間內掃過面積的磁通量為 ，則 這與前一解法所得的結果一致。8.2.2 感生電動勢 一個閉合回路固定在變化的磁場中，則穿過閉合回路的磁通量就要發(fā)生變化。根據(jù)法拉第電磁感應定律，閉合回路中要出現(xiàn)感應電動勢。因而在閉合回路中，必定存在一種非靜電性電場。麥克斯韋對這種情況的電磁感應現(xiàn)象作出如下假設：任何變化的磁場在它周圍空間里都要產生一

23、種非靜電性的電場，叫做感生電場，感生電場的場強用符號Ek表示。感生電場與靜電場有相同處也有不同處。它們相同處就是對場中的電荷都施以力的作用。而不同處是：(1) 激發(fā)的原因不同，靜電場是由靜電荷激發(fā)的，而感生電場則是由變化磁場所激發(fā)；(2) 靜電場的電場線起源于正電荷，終止于負電荷，靜電場是勢場，而感生電場的電場線則是閉合的，其方向與變化磁場()的關系滿足左旋法則，因此感生電場不是勢場而是渦旋場。正是由于渦旋電場的存在，才在閉合回路中產生感生電動勢，其大小等于把單位正電荷沿任意閉合回路移動一周時，感生電場Ek所作的功，表示為 (8-6)應當指出：法拉第建立的電磁感應定律，即式 (8-1)，只適用

24、于由導體構成的回路，而根據(jù)麥克斯韋關于感生電場的假設，則電磁感應定律有更深刻的意義，即不管有無導體構成閉合回路，也不管回路是在真空中還是在介質中，式 (8-6) 都是適用的。也就是說在變化的磁場周圍空間里，到處充滿感生電場，感生電場Ek的環(huán)流滿足式 (8-6)。如果有閉合的導體回路放入該感生電場中，感生電場就迫使導體中自由電荷作宏觀運動，從而顯示出感生電流；如果導體回路不存在，只不過沒有感生電流而已，但感生電場還是存在的。從式 (8-6) 還可看出：感生電場Ek的環(huán)流一般不為零，所以感生電場是渦旋場 (又叫渦旋電場)。該式的另一意義是：感生電場使單位正電荷沿閉合路徑移動一周所作的功一般不為零，

25、所以感生電場是非保守力場。關于感生電場的假設已被近代科學實驗所證實。例如電子感應加速器就是利用變化磁場所產生的感生電場來加速電子的。例8-4 在半徑為R的載流長直螺線管內，設磁感強度為B的均勻磁場，以恒定的變化率隨時間增加。試問在螺線管內、外的感生電場強度如何分布?解 由于磁場的分布對圓柱的軸線對稱，因而當磁場變化時所產生的感生電場的電場線也應對軸線對稱，又因為這種電場線必須是閉合曲線，所以感生電場的電場線在管內外都是圓心在軸線上，且在與軸線垂直的平面內的同軸圓，Ek處處與圓線相切圖8-8（a）；此外，與軸線距離相等處，感生電場Ek的大小應相等。因此要計算某點感生電場Ek的大小，只要任取通過該

26、點的一條電場線作為積分路徑，則由式 (8-6) 可求得離軸線為r處的感生電場Ek的大小。在處，Ek的環(huán)流為穿過該閉合路徑所包圍面積的磁通量為 把上面兩式代入式 (8-6)，對于給定的r值， 有 所以 式中“一”號表示Ek的繞行方向與的方向組成左螺旋關系。圖（a）所示的Ek的方向即逆時針方向，相應于當0時的情況。當0時，則Ek的指向與圖（a）所示方向相反。 在rR處，由于在圓柱外的磁感強度處處為零，所以穿過閉合路徑的磁通量就等于穿過圓柱橫截面的磁通量。即 根據(jù)式 (8-6)，有 所以 當0時，感生電場Ek的繞行方向仍是逆時針方向。圖8-8（b）畫出了感生電場的大小Ek與軸線到觀測者的距離r的變化

27、曲線。以上只討論了某一回路中產生的動生電動勢和感生電動勢。事實上，當大塊導體在磁場中運動或處于變化磁場中時，在大塊導體中也要產生動生電動勢或感生電動勢，因而要產生渦旋狀感應電流，叫做渦電流，簡稱渦流。在變化的磁場中，大塊導體中的渦流與磁場的變化頻率有關，頻率越高，渦流越大。由于大塊導體的電阻一般都很小，所以渦電流通常是很強大的，從而產生劇烈的熱效應。渦流熱效應具有廣泛的應用，例如利用這一效應所制成的感應電爐可以用于真空冶煉等。反之，在某些情況下，渦電流的熱效應是有害的，例如在電機中為盡量減少渦電流的損耗，常采用彼此絕緣的硅鋼片迭成一定形狀，用來代替整塊鐵芯。*8.3 自感與互感感生電動勢也發(fā)生

28、在電感器中，這種器件和電阻器、電容器一樣，都是交流電路中的常見器件。下面介紹這種器件所發(fā)生的電磁感應現(xiàn)象和其特征量。8.3.1自感 1. 自感現(xiàn)象從前面學習我們已經(jīng)知道，若通過一個線圈回路的磁通量發(fā)生變化時，就會在線圈回路中產生感應電動勢，而不管其磁通量改變是由什么原因引起的。我們知道，當回路通有電流時，就有這一電流所產生的磁通量通過這回路本身。當回路中的電流、或回路的形狀、或回路周圍的磁介質發(fā)生變化時，通過自身回路的磁通量也將發(fā)生變化，從而在自己回路中也將產生感應電動勢，這種由于回路中的電流產生的磁通量發(fā)生變化，而在自己回路中激起感應電動勢的現(xiàn)象，稱為自感現(xiàn)象，這樣產生的感應電動勢，稱為自感

29、電動勢，通?？捎肔來表示。設閉合回路中的電流強度為i，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，空間任意一點的磁感強度B的大小都和回路中的電流強度i成正比。當通有電流的回路是一個密繞線圈，或是一個環(huán)形螺線管，或是一個邊緣效應可忽略的直螺線管，在這些情況下，由回路電流i產生的穿過每匝線圈的磁通量都可看作是相等的，因而穿過N匝線圈的磁通鏈與線圈中的電流強度i成正比，即 = Li （8-7）式中的比例系數(shù)L叫做回路的自感系數(shù)，簡稱自感。 在國際單位制中，自感系數(shù)L的單位為亨利，簡稱亨，用H表示。當線圈中的電流為1安培時，如果穿過線圈的磁通鏈為1韋伯，則該線圈的自感系數(shù)為1亨利。 實際應用時由于亨利單位太大，故常用的是毫

30、亨(mH)、微亨(H)。自感系數(shù)的值一般采用實驗的方法來測定，對于一些簡單的情況也可根據(jù)畢奧一薩伐爾定律和公式進行計算。實驗表明，自感系數(shù)是由線圈回路的幾何形狀、大小、匝數(shù)及線圈內介質的磁導率決定，而與回路中的電流無關。當線圈中有鐵芯時，則L還受線圈中電流強度大小的影響。例8-5 求長直螺線管的自感系數(shù) 解 設長直螺線管的長度為L，橫截面積為S，總匝數(shù)為N，充滿磁導率為的磁介質，且為恒量。當通有電流i時，螺線管內的磁感強度為 式中，為充滿螺線管內磁介質的磁導率。則通過螺線管中每一匝的磁通量為 通過N匝螺線管的磁鏈為 根據(jù)自感的定義式（8-7），可得螺線管的自感系數(shù)為 設 為螺線管上單位長度的匝

31、數(shù)，SL = V為螺線管的體積，則上式還可寫為2. 自感電動勢當線圈中的電流發(fā)生變化時，則通過線圈的磁通鏈數(shù)也發(fā)生改變，將在線圈中激起自感電動勢，根據(jù)法拉第電磁感應定律，回路中所產生的自感電動勢為 在L為常數(shù)時，則 （8-8）上式表明，當電流變化率相同時，自感系數(shù)L越大的回路，其自感電動勢也越大。 式中，負號是楞次定律的數(shù)學表示，它指出自感電動勢的方向總是反抗回路中電流的改變。亦即，當電流增加時，自感電動勢與原來電流的流向相反；當電流減小時，自感電動勢與原來電流的流向相同。由此可見，任何回路中只要有電流的改變，就必將在回路中產生自感電動勢，以反抗回路中電流的改變。顯然，回路的自感系數(shù)愈大，自感

32、的作用也愈大，則改變該回路中的電流也愈不易。換句話說，回路的自感有使回路保持原有電流不變的性質，這一特性和力學中物體的慣性相仿。因而，自感系數(shù)可認為是描述回路“電磁慣性”的一個物理量。所以，自感系數(shù)表征了回路本身的一種電磁屬性。從上面的分析可知，自感系數(shù)L又可定義為 (8-9)可見，線圈的自感系數(shù)L，在數(shù)值上等于線圈中的電流隨時間的變化率為l單位時，在該線圈中所激起的自感電動勢的大小。當線圈中單位時間內電流改變1安培，在線圈中產生的自感電動勢為l伏特時，線圈的自感系數(shù)為1亨利。 3. 自感的應用在工程技術和日常生活中，自感現(xiàn)象有廣泛的應用。無線電技術和電工中常用的扼流圈，日光燈上用的鎮(zhèn)流器等，

33、都是利用自感原理控制回路中電流變化的。在許多情況下，自感現(xiàn)象也會帶來危害，在實際應用中應采取措施予以防止。如當無軌電車在路面不平的道路上行駛時，由于車身顛簸，車頂上的受電弓有時會短時間脫離電網(wǎng)而使電路突然斷開。這時由于自感而產生的自感電動勢，在電網(wǎng)和受電弓之間形成較高電壓，導致空氣隙“擊穿”產生電弧造成電網(wǎng)的損壞。人們可針對這種情況，采取一些措施避免電網(wǎng)出現(xiàn)故障。電機和強力電磁鐵，在電路中都相當于自感很大的線圈，在起動和斷開電路時，往往因自感在電路形成瞬時的過大電流，有時會造成事故。為減少這種危險，電機采用降壓啟動，斷路時，增加電阻使電流減小，然后再斷開電路。大電流電力系統(tǒng)中的開關，還附加有“

34、滅弧”裝置，如油開關及其穩(wěn)壓裝置等。8.3.2 互感圖8-9 互感現(xiàn)象1. 互感現(xiàn)象如圖8-8所示，兩個彼此靠近的回路1和2，分別通有電流I1和I2，當回路1中的電流I1改變時，由于它所激起的磁場將隨之改變，使通過回路2的磁通量發(fā)生改變，這樣便在回路2中激起感應電動勢。同樣，回路2中電流I2改變，也會在回路1中激起感應電動勢，這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象。所產生的電動勢稱為互感電動勢。當回路1通有電流I1時，由畢奧一薩伐爾定律可以確定它在回路2處所激發(fā)的磁感強度與I1成正比，故通過回路2的磁通鏈也與I1成正比，即 (8-10)同理可得出回路2的電流I2，在回路1處所激發(fā)的磁感強度，通過回路1的磁通鏈數(shù)

35、為 (8-11)式(8-10)和式(8-11)中的M21，M12僅與兩回路的結構(形狀、大小、匝數(shù))、相對位置及周圍磁介質的磁導率有關，而與回路中的電流無關。理論和實驗都證明M21 = M12。令M21 = M12 = M，稱為兩回路的互感系數(shù)，簡稱互感。互感系數(shù)的物理意義由式(8-10)和式(8-11)得出：兩回路的互感系數(shù)在數(shù)值上等于一個回路通過單位電流時，通過另一個回路的磁通鏈數(shù)，互感系數(shù)的單位和自感系數(shù)一樣。在國際單位制中為亨利(H)、毫亨(mH)或微亨(H)等。2. 互感電動勢在兩回路的自身條件不變的情況下，當回路1中電流發(fā)生改變時，將在回路2中激起互感電動勢21。根據(jù)法拉第電磁感應

36、定律，有 (8-12)同理，回路2中電流發(fā)生變化時，在回路1中激起互感電動勢12為 (8-13)式(8-12)和式(8-13)看出，兩回路的互感系數(shù)在數(shù)值上等于其中一個回路中電流隨時間變化率為1單位時，在另一回路所激起互感電動勢的大小。兩式中的負號表示，在一個線圈中所激起的互感電動勢要反抗另一線圈中電流的變化。3. 互感的應用互感在電工和電子技術中應用很廣泛。通過互感線圈可以使能量或信號由一個線圈方便地傳遞到另一個線圈；利用互感現(xiàn)象的原理可制成變壓器、感應圈等。但在有些情況中，互感也有害處。例如，有線電話往往由于兩路電話線之間的互感而有可能造成串音；收錄機、電視機及電子設備中也會由于導線或部件

37、間的互感而妨礙正常工作。這些互感的干擾都要設法盡量避免。作為互感的應用之一，下面簡要介紹感應圈。圖8-10 感應圈感應圈是工業(yè)生產和實驗室中，用直流電源來獲得高壓的一種裝置。它的主要結構如圖8-10所示。在鐵芯上繞有兩個線圈，初級線圈的匝數(shù)N1較少，它經(jīng)斷續(xù)器M、D、電鍵K和低壓直流電源相連接。在初級線圈的外面套有一個用絕緣很好的金屬導線繞成的次級線圈，次級線圈的匝數(shù)N2比初級線圈的匝數(shù)N1大得多，即。感應圈的工作原理如圖：閉合電鍵K，初級線圈內有電流通過，這時，鐵芯因被磁化而吸引小鐵錘M，使M與螺釘D分離，電路重被切斷。電路一旦被切斷，鐵芯的磁性就消失。這時，小鐵錘M在彈簧片的彈力作用下又重

38、新和螺釘D相接觸，于是電路重新被接通。這樣，由于斷續(xù)器的作用，初級線圈電路的接通和斷開，將自動地反復進行。隨著初級線圈電路的不斷接通和斷開，初級線圈中的電流也不斷地變化，這樣，通過互感的作用，就在次級線圈中產生感應電動勢。由于次級線圈的匝數(shù)遠遠多于初級線圈的匝數(shù)，所以在次線圈中能獲得高達1萬到幾萬伏的電壓。這樣高的電壓，可以使a、b間產生火花放電現(xiàn)象。汽油發(fā)動機的點火器，就是一個感應圈，它所產生的高壓放電的火花，能把混合氣體點燃。*8.4 磁場的能量 在電學中知道，在帶電系統(tǒng)的形成過程中，外力必須克服靜電力作功，以消耗其它形式的能量為代價，而轉化為帶電系統(tǒng)的電場能。同樣，在電流形成的過程中，也

39、要消耗其它形式的能量，而轉化為電流的磁場能量。先考察一個具有電感的簡單電路。在圖8-11所示電路中，設燈泡的電阻為R，其自感很小可以忽略不計。線圈由粗導線繞成，且自感系數(shù)L較大，而電阻很小可忽略不計。 當電鍵未閉合前，電路中沒有電流，線圈也沒有磁場。如果將電鍵倒向2，線圈與電源接通，電流由零逐漸增大。在電流增長的過程中，線圈里產生與電流方向相反的自感圖8-11 自感電路中的能量轉換電動勢來反抗電流的增長，使電流不能立即增長到穩(wěn)定值I。即線圈中自感電動勢方向與電源電動勢的方向相反，在線圈中起著阻礙電流增大的作用?？梢?，電源在建立電流的過程中，不僅要為電路產生焦耳熱提供能量，還要克服自感電動勢而做

40、功。隨著電流的增長，線圈中的磁場增強。在這一過程中，電源所提供的電能，除一部分轉化為電阻上的焦耳熱外，另一部分是電流i克服自感電動勢L作功而轉化為線圈中的磁場能量。在電流達到穩(wěn)定值I后，如果把電鍵突然倒向1，此時電源雖已切斷，但燈泡卻不會立即熄滅，甚至會在瞬間顯得更明亮后才熄滅。這是由于切斷電源時，線圈中會產生與原來電流方向相同的、足夠大的自感電動勢，來反抗線圈中電流的突然消失，從而使線圈中的電流為由I逐漸消失，線圈中的磁場能也隨之逐漸消失。下面就以線圈中的電流增長的過程，推導磁場能量公式。設電路接通后回路中某瞬時的電流為i，線圈中產生的自感電動勢為，由歐姆定律得從t = 0開始，經(jīng)一足夠長的

41、時間t，電流i從零增長到穩(wěn)定值I的過程中，電源電動勢所作的功為在自感和電流無關的情況下，上式化為式中，是t時間內電源提供的電流在R上放出的焦耳熱，顯然為此過程中，電源克服線圈自感電動勢作功轉換所得線圈中的磁場能量Wm，即 (8-14)式(8-14)是自感為L的線圈，通有電流I時，在它周圍的磁場能量公式。載流線圈中的磁場能量通常又稱為自感磁能。從公式中可以看出：在電流相同的情況下，自感系數(shù)L越大的線圈，回路儲存的磁場能量越大。 在式（8-14）中，并沒有體現(xiàn)出磁場能量與磁場的直接關聯(lián)，下面就來尋找這一關系。為簡單起見，考慮一個長直螺線管，管內充滿磁導率為的磁介質。由于螺線管外的磁場很弱，可認為磁

42、場全部集中在管內，并假定管內各處的磁感強度，由例8-5可知它的自感系數(shù)把L及代入式(8-14)，即得磁場能量的另一表達式 (8-15)因，故式 (8-15) 又可寫成 (8-16)或 (8-17)式(8-15)，式(8-16)及式(8-17)三式等效，V為螺線管的體積，在通電時，管內的磁場應占據(jù)整個體積，所以V為充滿磁場的空間體積。單位體積所具有的磁場能量，叫做磁能密度，用Wm表示，即 Wm (8-18)式(8-15)一式(8-18)，雖然是從長直螺線管這一特殊情況導出的，但可證明它是任何情況下都適用的普遍式。即空間任一點的磁場能量密度只與該點的磁感強度和介質的磁導率有關。由此可見，在磁場存在

43、的空間里有磁場能量。當空間磁場是均勻磁場時，磁場能量等于磁能密度與磁場存在的空間體積的乘積，即 Wm = Wm V (8-19)如果空間磁場不是均勻場，可以證明式(8-18)仍成立，只是它表示的是場中某小體積dV內的磁能密度，在dV內認為B和H是均勻的，于是dV體積內的磁能為 dWm = WmdV而整個非均勻磁場的磁能為 (8-20)式中積分應遍及磁場所分布的空間。8.5 麥克斯韋方程組麥克斯韋對電磁學的實驗定律進行多年研究，除提出感生電場概念外，又提出了位移電流的概念，于1865年建立了完整的電磁場理論麥克斯韋方程組，并進一步指出電磁場可以波的形式傳播，而且預言光是一定頻率范圍內的電磁波。（

44、8-21）為便于讀者對電磁場理論的理解，先把前面已學過的有關靜止電荷和穩(wěn)恒電流的基本電磁現(xiàn)象歸納為四條基本規(guī)律：靜電場的高斯定理 （a）靜電場的環(huán)路定理 （b）磁場的高斯定理 （c）磁場的環(huán)路定理 （d）在上述方程中，、各量右上角所加的符號（1），標明這里所指的場是由靜止電荷和穩(wěn)恒電流產生的。須指出的是，這些定理都是孤立地給出了靜電場和穩(wěn)恒磁場的規(guī)律，對變化電場和變化磁場并不適用。在本章的8.2.2中，我們也介紹了麥克斯韋提出的“變化磁場能產生感生電場”即“渦旋電場”的假說，還討論了渦旋電場場強的環(huán)流和變化的磁場之間的定量關系(見式8-6)，表示如下： (8-22)式中表示渦旋電場的場強，是磁

45、通量。麥克斯韋在總結前人成就的基礎上，著重從場的觀點考慮問題，把一切電磁現(xiàn)象及其有關規(guī)律，看作電場與磁場的性質、變化以及其間的相互聯(lián)系或相互作用在不同場合下的具體表現(xiàn)。他不僅認為變化磁場能產生電場，而且還進一步認為，變化電場應該與電流一樣，也能在空間產生磁場。后者就是所謂的“位移電流產生磁場”的假說。這個假說和“渦旋電場”的假說一起，為建立完整的電磁場理論奠定了基礎，也是理解變化電磁場能在空間傳播或理解電磁波存在的理論根據(jù)?，F(xiàn)在首先介紹位移電流的概念。 8.5.1 位移電流1. 位移電流和全電流我們知道，在一個不含電容器的穩(wěn)恒電路中傳導電流是處處連續(xù)的。也就是說，在任何一個時刻，通過導體上某一

46、截面的電流應等于通過導體上其它任一截面的電流。在這種電流產生的穩(wěn)恒磁場中，安培環(huán)路定理形式為（8-21d）。式中I是穿過以回路為邊界的任意曲面S的傳導電流。但是，在接有電容器的電路中，情況就不同了。在電容器充放電的過程中，對整個電路來說，傳導電流是不連續(xù)的。安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒磁場中出現(xiàn)了矛盾的情況，必須加以修正。 為了解決電流的不連續(xù)問題，并在非穩(wěn)恒電流產生的磁場中使安培環(huán)路定理也能成立，麥克斯韋提出了位移電流的概念。設有一電路，其中接有平板電容器AB，如圖8-12所示。(a)和(b)兩圖分別表示電容器充電和放電時的情形。不論在充電或放電時，通過電路中導體上任何橫截面的電流強度，在同一時刻都

47、相等。但是這種在金屬導體中的傳導電流，不能在電容器的兩極板之間的真空或電介質中流動，因而對整個電路來說，傳導電流是不連續(xù)的。但是，我們注意到：在上述電路中，當電容器充電或放電時，電容器兩極板上的電荷q和電荷面密度都隨時間而變化(充電時增加，放電時減少)，極板內的電流強度以及電流密度分別等于和。與此同時，兩極板之間，電位移矢量D和通過整個截面的電位移通量，也都隨時間而變化。按靜電學，在國際單位制中，平行板電容器內電位移矢量D等于極板上的電荷面密度，而電位移通量，等于極板上的總電荷量S = q。所以和在量值上也分別等于和。關于方向，充電時，電場增加，的方向與場的方向一致，也與導體中傳導電流的方向一

48、致(參看圖8-11a)；放電時，電場減少，的方向與場的方向相反，但仍與導體中傳導電流方向一致(參看8-11b)。至于無論在充電或放電時，其量值均相應地等于導體中的傳導電流強度。因此，如果把電路中的傳導電流和電容器內的電場變化聯(lián)系起來考慮，并把電容器兩極板間電場的變化看作相當于某種電流在流動，那么整個電路中的電流仍可視為保持連續(xù)。把變化的電場看作電流的論點，就是麥克斯韋所提出的位移電流的概念。位移電流密度jd和位移電流強度Id分別定義為： jd = (8-23) Id = S= (8-24)上述定義式說明，電場中某點的位移電流密度等于該點處電位移矢量的時間變化率，通過電場中的某截面的位移電流強度

49、等于通過該截面的電位移通量的時間變化率。麥克斯韋認為：位移電流和傳導電流一樣，都能激發(fā)磁場，與傳導電流所產生的磁效應完全相同，位移電流也按同一規(guī)律在周圍空間激發(fā)渦旋磁場。這樣，在整個電路中，傳導電流中斷的地方就由位移電流來接替，而且它們的數(shù)值相等，方向一致。對于普遍的情況，麥克斯韋認為傳導電流和位移電流都可能存在。麥克斯韋運用這種思想把從恒定電流總結出來的磁場規(guī)律推廣到一般情況，即既包括傳導電流也包括位移電流所激發(fā)的磁場。他指出：在磁場中沿任一閉合回路，H的線積分在數(shù)值上等于穿過以該閉合回路為邊界的任意曲面的傳導電流和位移電流的代數(shù)和。即 (8-25)于是，他推廣了電流的概念，將二者之和稱為全

50、電流，用IS表示，即IS = I C + Id。 式(8-25)又稱為全電流定律。對于任何回路，全電流是處處連續(xù)的。運用全電流的概念，可以自然地將安培環(huán)路定理推廣到非穩(wěn)恒磁場中去，從而，也就解決了電容器充放電過程中電流的連續(xù)性問題。2. 位移電流的磁場應該強調指出，位移電流的引入，不僅說明了電流的連續(xù)性，還同時揭示了電場和磁場的重要性質。令表示位移電流Id所產生的感生磁場的磁場強度，根據(jù)上述假說，可仿照安培環(huán)路定理建立下式：上式說明，在位移電流所產生的磁場中，場強沿任何閉合回路的線積分，即場強的環(huán)流，等于通過這回路所包圍面積的電通量的時間變化率。由于，對給定回路來說，電位移通量的變化完全由電場

51、的變化所引起：，于是得到 （8-26）圖8-13說明變化的電場可以在空間激發(fā)渦旋狀的磁場。并且和回路中的電位移矢量的變化率形成右旋關系：如果右手螺旋沿著線繞行方向轉動，那么，螺旋前進的方向就是的方向(圖8-13)。式（8-26）定量地反映了變化的電場和它所激發(fā)的磁場之間的關系，并說明變化的電場和它所激發(fā)的磁場在方向上服從右手螺旋關系。由此可見，位移電流的引入，深刻地揭露了變化電場和磁場的內在聯(lián)系。 我們應該注意，傳導電流和位移電流是兩個不同的物理概念：雖然在產生磁場方面，位移電流和傳導電流是等效的，但在其它方面兩者并不相同。傳導電流意味著電荷的流動，而位移電流意味著電場的變化。傳導電流通過導體時放出焦耳一楞次熱，而位移電流通過空間或電介質時，并不放出焦耳楞次熱。在通常情況下，電介質中的電流主要是位移電流，傳導電流可忽略不計；而在導體中則主要