1、層次分析法建模層次分析法(ahp-analytichiranyprocess)-多目標(biāo)決策方法70年代美國(guó)運(yùn)營(yíng)學(xué)家TLSatty提出的是一種結(jié)合定性和定量分析的多目標(biāo)決策分析方法論。 吸收和利用行為科學(xué)的特征，量化了決策人的經(jīng)驗(yàn)判斷，在目標(biāo)(要素)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺少必要的數(shù)據(jù)時(shí)，采用該方法很實(shí)用，是系統(tǒng)科學(xué)中常用的系統(tǒng)分析方法，因此已成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。研究傳統(tǒng)常用的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的方法如下機(jī)制分析方法：利用經(jīng)典數(shù)學(xué)工具分析觀察到的因果關(guān)系統(tǒng)計(jì)分析方法：利用大量觀測(cè)數(shù)據(jù)求出統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用隨機(jī)數(shù)學(xué)方法描述現(xiàn)象規(guī)律?；緝?nèi)容： (1)多目標(biāo)決策問題例子AHP建模方法(2)AHP建模方法的基本

2、步驟(3)AHP建模方法的基本算法(3)AHP建模方法理論算法應(yīng)用的幾個(gè)問題。參考書： 1、姜啟源、數(shù)學(xué)模型(第二版，第九章)第三版，第八章)，高等教育出版社2、程理民等運(yùn)營(yíng)學(xué)模式和方法教程(第10章)，清華大學(xué)出版社3，運(yùn)籌學(xué)編制小組，運(yùn)營(yíng)計(jì)劃學(xué)(修訂版)，第11章，第7節(jié)，清華大學(xué)出版社一、問題的例子：a .大學(xué)畢業(yè)生的就業(yè)選擇問題大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生在“雙向選擇”的情況下，使用者和畢業(yè)生有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。 對(duì)畢業(yè)生來(lái)說(shuō)，選擇職場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的。 例如，有以下內(nèi)容能發(fā)揮自己的才能，為國(guó)家做出好的貢獻(xiàn)(職場(chǎng)適合發(fā)揮專業(yè))。工作收入好(待遇好)生活環(huán)境好(大城市、氣候等工作條件等

3、)職場(chǎng)的評(píng)價(jià)很好(評(píng)價(jià)-Reputation )工作環(huán)境好(人際關(guān)系的協(xié)調(diào)等)發(fā)展晉升(promote、promotion )的機(jī)會(huì)多(新部門和部門的發(fā)展有后勁)等。問題：現(xiàn)在很多使用者都可以給他選擇，所以他面臨著很多選擇和決定。 問題是他如何作出決定和選擇或者他用什么方法重新排列了可以選擇的崗位？工作的選擇生活環(huán)境工作環(huán)境名聲收入發(fā)展貢獻(xiàn)可選擇的單位p 1p 2-pnb .休假旅行目的地的選擇暑假有三個(gè)觀光地。 比如：蘇州杭州，北戴河，桂林，到底去哪里旅游最好？我必須做出決策和選擇。 因此，通過比較3個(gè)觀光地的特征，如景色費(fèi)用居住環(huán)境旅行條件等，確立決策標(biāo)準(zhǔn)，最后確定了可以綜合評(píng)價(jià)選擇的最佳

4、方案。選擇觀光地目標(biāo)層住著旅途景色費(fèi)用飲食基準(zhǔn)層P1P2P3程序?qū)觕 .資源開發(fā)的綜合判斷7種金屬可以開發(fā)，開發(fā)后對(duì)國(guó)家的貢獻(xiàn)可以通過兩個(gè)比較得到，決定先開發(fā)哪個(gè)資源，效用最高。經(jīng)濟(jì)發(fā)展、貢獻(xiàn)u經(jīng)濟(jì)價(jià)值戰(zhàn)略重要性交通條件要求量風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)開采費(fèi)金PS！鋁鋁鋁鈿Ur磷酸根鐵銦銅Co二、問題分析：例如，觀光地的選擇問題：一般來(lái)說(shuō)，該決定問題可以按以下順序進(jìn)行(S1 )將決策分解為以下三個(gè)級(jí)別目標(biāo)樓層：(選擇觀光地)標(biāo)準(zhǔn)層：(景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅行等5個(gè)標(biāo)準(zhǔn))程序級(jí)別：(有，三個(gè)選擇位置)用直線連接各階層。(S2 )對(duì)各規(guī)范目標(biāo)的權(quán)重、各方案對(duì)各規(guī)范的權(quán)重相互比較。 這些權(quán)限的重量在人的思考過程中總

5、是定性的。例如，經(jīng)濟(jì)健康的人：把景色作為第一選擇中老年：把居住、飲食作為第一選擇經(jīng)濟(jì)不好的人：費(fèi)用低是第一選擇。分層分析方法必須提供確定權(quán)重的定量分析方法。(S3 )綜合提案后的基準(zhǔn)層的權(quán)重和基準(zhǔn)后的目標(biāo)層的權(quán)重。(S4 )最終導(dǎo)出計(jì)劃層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，做出決定。以上步驟和方法是PS的決策分析方法。三、確定各階層相互比較的方法對(duì)比較矩陣和權(quán)重向量在決定各層次的各要素間的權(quán)重時(shí)，由于僅靠定性的結(jié)果很難被他人接受，因此Santy等人提出了一致矩陣法即，1 .不是將所有的要素一起比較，而是比較兩個(gè)要素2 .此時(shí)采用相對(duì)尺度，盡量減少性質(zhì)不同的各要素相互比較的困難，提高精度。因素比較方法對(duì)比較矩陣法：

6、目的是比較某一級(jí)別的要素對(duì)高級(jí)別的要素o的影響(例如，在觀光決策解中，比較景色等5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)在選擇觀光地的目標(biāo)中很重要)。采用的方法是這樣的方法，其中每次采取兩個(gè)元素，比較它對(duì)目標(biāo)元素o的影響，并用表示，所有比較的結(jié)果都用配對(duì)比較矩陣表示(1)由于上述配對(duì)比較矩陣具有特征可以稱為正反矩陣。 顯然，有以下情況：例如，在旅行決策問題上=表示以下內(nèi)容：所以：=表示以下內(nèi)容：也就是說(shuō)，景色是4，居住是1。=表示以下內(nèi)容：也就是說(shuō)，費(fèi)用的重要性是7，居住的重要性是1。因此，比較矩陣如下所示問題：稍微分析一下，發(fā)現(xiàn)了上述配對(duì)比較矩陣的問題也就是說(shuō)，存在以下要素的不匹配以上：這些內(nèi)容包括：矩陣內(nèi)的因?yàn)榕鋵?duì)比較矩

7、陣的比較次數(shù)太多，要素的比較次數(shù)次因此，存在如何改造為比較矩陣，不能決定對(duì)上位要素o的各要素的權(quán)重的問題與此相對(duì)，Saoty提出了在配對(duì)比較發(fā)生不一致的情況下，計(jì)算各要因(上位要因) o的權(quán)重的方法，并確定了該不一致的容許誤差范圍。因此，首先將比較矩陣的完全一致對(duì)視為比較完全一致4 :一致性矩陣Def :有正反對(duì)的比較矩陣(4)除去滿足： (I )正反性：即然后，(ii )一貫性：即滿足上述條件的正反對(duì)稱矩陣a被稱為匹配性矩陣，簡(jiǎn)稱為一致矩陣。一致性矩陣(一致性矩陣)的性質(zhì)：性質(zhì)1 :的秩Rank(A)=1唯一的非零特征根是n性質(zhì)2 :任何列(行)向量都是與特征根對(duì)應(yīng)的特征向量即，某個(gè)(特征向

8、量、特征值):的雙曲正切值滿意：也就是說(shuō)啟發(fā)和思考：既然一致矩陣具有以上性質(zhì)，那么就由n個(gè)元素W1、W2、W3、 wn組成的向量是一致矩陣的特征向量，對(duì)于一致矩陣，在求出一致矩陣的特征向量后，可以將一致矩陣的特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣看作各要素W1、W2、W3、Wn目標(biāo)o的權(quán)重向量。 因此，通過求出一致矩陣的特征根和特征向量，可以求出元素W1、W2、W3、Wn的針對(duì)目標(biāo)o的權(quán)重向量。說(shuō)明：所謂一致矩陣，就是物體，各自的重量，把他們兩個(gè)比較重量，其比構(gòu)成一致矩陣，用重量向量右乘的話：分析：在重量向量未知的情況下，決策者主觀地判斷物體間的兩個(gè)比較關(guān)系，或者用Delphi (調(diào)查方法)來(lái)確定這些比，使矩

9、陣(不一定一定具有一致性)已知，記錄主觀判斷的矩陣是(主觀)判斷矩陣，并且由于它們?cè)诓灰恢碌娜菰S范圍內(nèi)，特征根或特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的要素，即在離一致性的要求不太遠(yuǎn)的情況下，特征根和特征量(向量)與一致矩陣的特征根和特征向量并不有很大的不同：從特征向量到權(quán)重向量問題：標(biāo)記使用以上討論的特征性根求權(quán)重向量的方法和想法，在理論上應(yīng)該解決以下問題1 .一致陣列的性質(zhì)1是一致陣列的最大特征根(即必要條件)，但在利用特征根求特征向量的情況下，應(yīng)該回答充分的條件，即在正逆矩陣中是否存在正的最大特征根和正的特征向量，并且對(duì)于正逆矩陣的最大特征根，一致矩陣2 .使用主觀判斷矩陣的特征根和特征向量連續(xù)地近似

10、一致矩陣的特征根和特征向量，即獲得：也就是說(shuō)理論上是否有根據(jù)。3 .一般來(lái)說(shuō)，主觀判定矩陣在接近一致矩陣的過程中被鄰近的代替(即這種近似的替代一致矩陣的做法)通過指定所發(fā)生的偏差估計(jì)問題(即一致性檢查的判定指標(biāo))，以指定在什么樣的容許范圍內(nèi)可接受主觀判定矩陣這個(gè)問題是一貫性檢查問題的內(nèi)容。以上三個(gè)問題：前兩個(gè)問題可以在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格得到(參見教材p35、定理1、定理2 )。 第三個(gè)問題： Satty給出了一致性指標(biāo)(Th1，Th2介紹如下)。附屬：Th1: (教材p26，perronTh比隆1970 )對(duì)于正矩陣(的所有要素都是正數(shù))(1)的最大特征根是正單根(2)與正的特征向量相對(duì)應(yīng)(的所有分量

11、都是正數(shù))(3)在此，半徑向量是對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量.證明：可以通過使(3)成為標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)證明Th2 :階正反陣列a的最大特征根當(dāng)時(shí)是一致的五、一致性檢查一致性指標(biāo)：1 .完整性檢查指標(biāo)的定義和決定的定義：當(dāng)人們對(duì)復(fù)雜事件的每一元素采用兩個(gè)比較時(shí)，獲得的主觀判斷矩陣存在誤差(和誤差估計(jì)問題)，因?yàn)樗荒苤苯哟_保正逆矩陣是匹配的正逆矩陣。 這種誤差必然導(dǎo)致特征量和特征向量之間的誤差。 在這種情況下，問題和問題之間會(huì)產(chǎn)生差異。 (在上述問題中是主觀的判斷矩陣的特征量，是有偏差的相對(duì)權(quán)重向量)。 這是由判定矩陣的不匹配引起的。因此，為了避免誤差過大，我們給出了測(cè)量主觀判斷矩陣一致性的判斷標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)?。?/p>

12、觀判斷矩陣一致時(shí)：如果匹配，則可以此時(shí)存在唯一的非o特征根(一致數(shù)組的性質(zhì)1:Rark(4)=1，具有唯一的非o最大特征根，并且)主觀判斷矩陣不是一致矩陣時(shí)，此時(shí)一般有(Th2 )此時(shí)，需要：也就是說(shuō)因此，可以將其平均值作為驗(yàn)證主觀判斷矩陣的基準(zhǔn)、匹配性的指標(biāo)也就是說(shuō)很明顯：(1)當(dāng)時(shí)有：完全一致(2)值越大，主觀判斷矩陣的完全一致性越差，即背離越大(基于將特征向量設(shè)為權(quán)重向量的誤差越大)。(3)一般認(rèn)為主觀判定矩陣的匹配性是可以接受的，否則，應(yīng)該重新進(jìn)行兩個(gè)比較來(lái)建立主觀判定矩陣。2 .隨機(jī)一致性檢查指標(biāo)問題：實(shí)際操作時(shí)，主觀判斷矩陣的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，所以應(yīng)該緩和高維矩陣的一致性

13、要求。 因此，導(dǎo)入修正值來(lái)修正一致性檢查指標(biāo)。 也就是說(shuō)，定義的修改值表如下的維數(shù)1 2 3 4 5 6 7 8 90.000.000.580.961.121.241.321.41.45定義新的一致性檢查指標(biāo)隨機(jī)完整性檢查指標(biāo)的說(shuō)明：為了確定不匹配程度的容許范圍，有必要確定所測(cè)量的匹配性指標(biāo)的基準(zhǔn)。 Satty導(dǎo)入了隨機(jī)的一貫性指標(biāo)，其定義和計(jì)算過程如下對(duì)于固定的隨機(jī)結(jié)構(gòu)的正逆矩陣，該元素從19和1隨機(jī)取值，并且滿足和的相互性，即：之后計(jì)算出的一致性指標(biāo)非常不一致，因此在這種情況下，值相當(dāng)大這種結(jié)構(gòu)相當(dāng)多，把它們的平均值作為隨機(jī)的一致性指標(biāo)。 Satty對(duì)于不同的11 )，使用100500個(gè)樣

14、本，算出上表所示的隨機(jī)匹配性指標(biāo)作為校正值表。3 .完整性檢查指標(biāo)的定義完整性比率。從隨機(jī)性檢查指標(biāo)可以看出當(dāng)時(shí)，這是因?yàn)橐欢堑恼纯偸且恢碌?。的配?duì)比較序列，其匹配性指標(biāo)與同一層的隨機(jī)匹配性指標(biāo)之比簡(jiǎn)稱為匹配性比率即，有匹配性檢查指標(biāo)定義匹配性比率定義：情況：主觀判斷矩陣的不一致程度在容許范圍內(nèi)，將其特征向量作為權(quán)重向量使用。 否則，就成對(duì)地建立新的主觀判定矩陣。注：上式的選擇具有主觀可靠度。六、標(biāo)度比較標(biāo)度解：在構(gòu)筑正逆矩陣時(shí)，在比較兩個(gè)性質(zhì)可能不同的要素和對(duì)上位要素o的影響時(shí)，應(yīng)該采用什么樣的相對(duì)刻度，即，要素的值為(19)或(1 )以上的數(shù)字，Satty以19的尺度最好，即，值為19

15、或其可知階躍矩陣只要作成判定值即可刻度定義13579二，四，六，八倒數(shù)1要素和要素一樣重要要素比要素重要一點(diǎn)因素比因素重要因素比因素重要得多要素絕對(duì)比要素重要因素和因素重要性的比較值處于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間比較要因和要因而得到的判定值相互為倒數(shù)注意：以上比較的比例Satty使用了多個(gè)比例比較層，我們得出的結(jié)論是，19的比例不僅在比較簡(jiǎn)單的比例中是最好的，而且比較的結(jié)果也不比比較復(fù)雜的比例差。 Satty使用的比較比例如下13、15、16、111及 ，其中 ，其中等共27種比較尺度，對(duì)放置在不同距離上的光源的亮度進(jìn)行比較判斷，生成比較矩陣，計(jì)算權(quán)重矢量。 將這些所計(jì)算出的權(quán)重向量與基于物理中的光強(qiáng)度定律和其他物理知識(shí)而獲得的實(shí)際權(quán)重向量進(jìn)行比較。 結(jié)果，19的比較尺度不僅簡(jiǎn)單，效果也高(至少?zèng)]有比其他更復(fù)雜的尺度差)。因此，用19的尺度構(gòu)成比較矩陣的元素是合適的。七、組合權(quán)重向量的計(jì)算層次總排序的權(quán)重向量的計(jì)算層次分析法的基本思想：(1)計(jì)算對(duì)下一層的各要素