1、 淺談同態(tài)和同構(gòu) 摘 要近世代數(shù)的主要研究內(nèi)容是所謂的代數(shù)系統(tǒng)，即帶有運算的集合.近世代數(shù)在數(shù)學(xué)的其他分支和自然科學(xué)的許多部門里都有重要的應(yīng)用，在近世代數(shù)中，同態(tài)與同構(gòu)是一個較為初等但又極為重要的概念，它們是相互聯(lián)系又有所不同的.同態(tài)是保持代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的映射，是同構(gòu)的推廣.在不同的代數(shù)系統(tǒng)中同態(tài)成為同構(gòu)的條件不同，這里闡述了同態(tài)成為同構(gòu)的條件，論述了同態(tài)及同構(gòu)在不同代數(shù)系統(tǒng)上的一些應(yīng)用，從中說明了同態(tài)與同構(gòu)的重要性.關(guān)鍵詞：同態(tài)；同構(gòu)；群；環(huán)AbstractThe main research contents of modern algebra is so-called algebraic s

2、ystem,namely the set with operations.Modern algebra has important applications in other branchs of mathematics and many departments of natural science.Homomorphism and isomorphism are of great importance and are more elementary and they are related and different as well. Homomorphism is a shine upon

3、 which keeps the structure of the system of algegbra,and a extender of isomorphism. We first introduce the concepts of homomorphism and isomorphism and analyze the difference and relation of homomorphism and isomorphism. The condition on which homomorphism becomes isomorphism is given and we show so

4、me applications of homomorphism and isomorphism in different algebra systems, which illustrates the importance of homomorphism and isomorphism.Keywords: Homomorphism; Isomorphism; Group; Ring前 言為了深入研究代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，須將同類型的代數(shù)系統(tǒng)加以比較，以得到這種體系更為本質(zhì)的性質(zhì)，使得將這種類型的代數(shù)系統(tǒng)分類成為可能，分類的目的就是減少研究對象，即通過對少數(shù)特殊代數(shù)系的研究，把結(jié)果移植到與其有相同或相似

5、結(jié)構(gòu)的對象中.同態(tài)與同構(gòu)就是實現(xiàn)這種分類的主要途徑，也是代數(shù)學(xué)的最基本的研究工具.1 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)的定義1.1 同態(tài)映射及同態(tài)的定義定義1 一個到的映射，叫做一個對于代數(shù)運算和來說的，到的同態(tài)映射，假如，在之下，不管和是的哪兩個元，只要，就有 定義2 假如對于代數(shù)運算和來說，有一個到的滿射的同態(tài)映射存在，我們就說，這個映射是一個同態(tài)滿射，并說，對于代數(shù)運算和來說，與同態(tài).1.2 同構(gòu)的定義定義3 我們說，一個與間的一一映射是一個對于代數(shù)運算與來說的，與間的同構(gòu)映射（簡稱同構(gòu)），假如在之下，不管，是的哪兩個元，只要，就有 假如在與之間，對于代數(shù)運算與來說，存在一個同構(gòu)映射，我們說，對于代

6、數(shù)運算與來說，與同構(gòu)，并且用符號來表示.1.3同態(tài)與同構(gòu)的區(qū)別與聯(lián)系1）從定義上看集合與同態(tài)是指到的一個滿射，若這個映射同時又是單射，則稱與同構(gòu).2）一個無限集可以與它的子集同態(tài)或同構(gòu)，但一個有限集只能與它的子集同態(tài)而不能同構(gòu)，如：例1 建立實數(shù)集到正實數(shù)集的映射，的運算為數(shù)的加法，的運算為數(shù)的乘法，因為，因此該映射是到正實數(shù)集的一個同態(tài)映射，由于該映射是一一映射，因而也是一個同構(gòu)映射.關(guān)于代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)有以下定理定理1 假定對于代數(shù)運算和來說，與同態(tài).那么，（1）若適合結(jié)合律，也適合結(jié)合律；（2）若適合交換律，也適合交換律.定理2 假定，都是集合的代數(shù)運算，都是集合的代數(shù)運算，并且存在一個到

7、的滿射，使得與對于代數(shù)運算，來說同態(tài)，對于代數(shù)運算，來說也同態(tài).那么，（1）若，適合第一分配律，也適合第一分配律；(2)若，適合第二分配律，也適合第二分配律.2 群的同態(tài)與同構(gòu)2.1群的同態(tài)與同構(gòu)的定義定義4 給定群和群，稱群到群的一個映射：是群到群的一個同態(tài)映射（簡稱同態(tài)），如果對任意，有當(dāng)是單（滿）射時，稱為單（滿）同態(tài)；當(dāng)是一一映射時，稱為與間的同構(gòu)映射（簡稱同構(gòu)，記為）；當(dāng)是群到群的一個同態(tài)時，令=|，是的單位元稱為的核.2.2同態(tài)與同構(gòu)在群中的應(yīng)用群的同構(gòu)是一個等價關(guān)系，彼此同構(gòu)的群具有完全相同的性質(zhì).通過對群的比較,從而揭示出兩個群的某些共同性質(zhì),以至區(qū)別二者的不同.在群論中，主要

8、研究本質(zhì)上不同的群之間的關(guān)系.對于同構(gòu)的群與,我們認(rèn)為與是代數(shù)相同的,對于近世代數(shù)所研究的問題來說,除了符號與名稱上的區(qū)別之外,二者沒有實質(zhì)的差異. 如：循環(huán)群的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)是由生成元生成的循環(huán)群，如果，那么.如果，那么.用代數(shù)同構(gòu)觀點看，循環(huán)群只有二個.一個是整數(shù)加群，另一個是模的剩余類加群.設(shè)是循環(huán)群，若是無限階元素，則與整數(shù)加群同構(gòu)；若的階是一個有限整數(shù)，那么與模剩余類加群同構(gòu).所以循環(huán)群的存在問題，數(shù)量問題，構(gòu)造問題已徹底解決.定理3 設(shè)為群，為一個帶有乘法運算的非空集合，若存在為滿同態(tài)映射，則也是一個群.（該定理提供了一個借助已知群判定群的方法）定理4 設(shè)是群到群的一個同態(tài)滿射.(1

9、) 若是的單位元，則是的單位元；(2) 的元的逆元的象是的象的逆元，即；(3) 的象的階整除的階.定理5 設(shè)為群，而是的任一個不變子群，那么必有群同態(tài)滿射，其中：，.群的每個商群都為的同態(tài)象.而且通過將這個同態(tài)關(guān)系表現(xiàn)出來.于是由同態(tài)象的意義（傳遞性）知：的每個商群都會在某些方面有些象，進(jìn)而，可由商群的某些性質(zhì)去推測群的一些性質(zhì).一般來說，商群要比簡單些（因為是的元素以作陪集而形成的群）.定理5的重要性還在于它具有某些完備性的每一個同態(tài)象就是的商群（在同構(gòu)下）定理6：設(shè)與是同態(tài)的群：且，那么，.按代數(shù)的觀點，同構(gòu)的群就是同樣的群，因此，定理6表明，群只能與它的商群同態(tài)，或者說，的任何一個同態(tài)象

10、必與的某個（且能夠肯定的指明是哪個）商群一樣.注意 上述的定理5和定理6習(xí)慣統(tǒng)稱為群的同態(tài)基本定理（FHT）.群與商群具有密切的聯(lián)系，群的同態(tài)基本定理恰恰揭示這個內(nèi)在聯(lián)系.該定理確立了不變子群與商群在群的理論中的重要地位.該定理揭示了“同態(tài)象”的實質(zhì).以上是以子群和商群為基本語言，用群同態(tài)映射為紐帶建立了一套同態(tài)理論.群的同態(tài)象可以設(shè)想是的一個“粗略”的模型；忽略了中的某些元素間的差異而又維持了其中的運算關(guān)系.關(guān)于兩個群和，我們有（）到有單同態(tài)意味著在同構(gòu)的意義下就是的一個子群；（）到有滿同態(tài)，則意味著就是的商群（在同構(gòu)下）.定理7 設(shè)是群同態(tài)滿射,于是有下列結(jié)果(1) 若是的子群，則的像是的

11、子群.(2) 若是的不變子群，則的像是的不變子群.(3) 若是的子群，則是的子群.(4) 若是的不變子群，則是的不變子群.3 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)3.1環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)的定義定義5 設(shè)是環(huán)到環(huán)的映射.如果滿足: 則稱是一個環(huán)同態(tài)映射.其中這里的乘法運算可省略不寫，即.定義6 設(shè)和為環(huán)，映射為環(huán)同態(tài)，是指對每個，；如果是一一對應(yīng)，則叫做環(huán)和間的同構(gòu)映射，稱和同構(gòu)，記作.3.2同態(tài)與同構(gòu)在環(huán)上的應(yīng)用定理8 若存在一個到的滿射，使得與對于一對加法以及一對乘法來說都同態(tài)，那么也是一個環(huán).定理9 設(shè)和是兩個環(huán)，并且與同態(tài).那么，的零元的象是的零元，的元的負(fù)元的象是的象的負(fù)元.并且，若是交換環(huán)，那么也是交換環(huán)；若

12、有單位元1，那么也有單位元，而且，是1的象.顯然環(huán)同態(tài)滿射能傳遞許多代數(shù)性質(zhì),但也有一些是無法傳遞過去的.如可知是環(huán)同態(tài)滿射,其中: .顯然是整環(huán).中沒有零因子,但在中,和、都是零因子.再如2顯然不是中的零因子,但卻是中的零因子.設(shè)和是同態(tài)的兩個環(huán)，若無零因子，則可能有零因子.這告訴我們:非零因子的象可能會是零因子.再如例3 設(shè)，在中定義運算: 可以驗證: 是一個環(huán).現(xiàn)作一個映射:,其中, 可以驗證,是一個環(huán)同態(tài)滿射.由于是中的零元,當(dāng)且時.有中有零因子.而顯然中沒有零因子.這表明:零因子的象可能不是零因子.總結(jié)看，若是環(huán)同態(tài)滿射，則（1）若是交換環(huán)，則也是交換環(huán)，但若是交換環(huán)，未必是交換環(huán).

13、如是環(huán)同態(tài)，是交換環(huán)，卻不是交換環(huán).（2）若有單位元的環(huán)，則也是單位元的環(huán)，且，但若是有單位元的環(huán)，則未必也是單位元的環(huán)，如是環(huán)同態(tài)，有單位元，但沒有單位元.環(huán)同態(tài)滿射尚不能保證傳遞環(huán)的全部代數(shù)性質(zhì).如果是環(huán)同構(gòu)時,其結(jié)果則不同了.定理10 若和都是環(huán),且,那么不僅能傳遞所有的代數(shù)性質(zhì),而且是整環(huán)(除環(huán),域)當(dāng)且僅當(dāng)是整環(huán)(除環(huán),域).引理 設(shè)環(huán)同態(tài)，則是單同態(tài)的充要條件是.由引理可得定理11 設(shè)，是環(huán)，是滿同態(tài)，則是同構(gòu)映射的充要條件是.定義7 設(shè)是一個環(huán)同態(tài),那么中零元的完全原象叫作的核,通常記.例如建立映射定理12.設(shè)是一個環(huán)同態(tài)滿射,令那么() 是的理想 ()定理13 設(shè)是一個環(huán)而是的

14、理想,那么必有環(huán)同態(tài).使得是滿同態(tài)且模.稱這樣的為環(huán)的自然同態(tài).注意 上述定理12和定理13通稱為環(huán)的同態(tài)基本定理.同時表明:環(huán)的任何商環(huán)都是的同態(tài)象.而環(huán)的任何同態(tài)象實質(zhì)上只能是的一個商環(huán).結(jié) 論以上分析總結(jié)了同態(tài)與同構(gòu)在群論、環(huán)論中的應(yīng)用，通過總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)同態(tài)與同構(gòu)在理論研究中的重要作用，表現(xiàn)在以下幾個方面：1） 便于代數(shù)系統(tǒng)的分類研究各種代數(shù)體系就是要解決這些代數(shù)體系的下面三個問題：存在問題；數(shù)量問題以及結(jié)構(gòu)問題.如果這些問題都得到完滿的解答就算達(dá)到了目的.研究群時，需要明白共有多少個不同的群，每個群的結(jié)構(gòu)如何，結(jié)構(gòu)相同的群如何對待等.對群進(jìn)行比較時,采用的主要工具就是同態(tài)和同構(gòu). 群的

15、同構(gòu)是一個等價關(guān)系，彼此同構(gòu)的群具有完全相同的性質(zhì).通過對群的比較,從而揭示出兩個群的某些共同性質(zhì),以至區(qū)別二者的異同.在群論中，主要研究本質(zhì)上不同的群之間的關(guān)系，所以同構(gòu)在群的研究中是具有重要意義的基本觀念,同時也是一個實踐性很強的基本方法.對于同構(gòu)的群與,我們認(rèn)為與是代數(shù)相同的,因為這是對于近世代數(shù)所研究的問題來說,除了符號與名稱上的區(qū)別之外,二者沒有實質(zhì)的差異. 再如：循環(huán)群的結(jié)構(gòu)定理指出：用代數(shù)同構(gòu)觀點，循環(huán)群只有二個.一個是整數(shù)加群，另一個是模的剩余類加群.這就給循環(huán)群的研究帶來了極大的方便.因此按近世代數(shù)的觀點：彼此同構(gòu)的群只是在表達(dá)元素的符號與運算方法的符號及名稱中有區(qū)別.于是，

16、只要掌握了當(dāng)中的任何一個，那么另一個也就能完全把握住了，而這些區(qū)別對于我們討論，研究問題的宗旨群的代數(shù)性質(zhì)來說是無關(guān)緊要的.一般地，設(shè): 是群同構(gòu)映射,那么的逆映射:也是群的同構(gòu)映射. 而且在群之間的同構(gòu)“”作為關(guān)系時，“”必是一個等價關(guān)系.基于這樣的認(rèn)識，群論的基本課題就是把群按同構(gòu)關(guān)系分類；對每一個同構(gòu)的群類確定它的代數(shù)結(jié)構(gòu).如所有含三個元素的群都是同構(gòu)的，都是循環(huán)群，因此我們說三階群只有一個.而四階群只有兩個：一個是循環(huán)群，一個是非循環(huán)群.2）便于代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的比較如前面定理3和定理8，設(shè)與同態(tài)，若是群（環(huán)），則也是群（環(huán)）.又如定理7，群與群同態(tài)，若是的子群（不變子群），那么也是的子群（不變子群），反之也成立.再如定理11，設(shè)與是同構(gòu)的兩個環(huán)，若是整環(huán)（除環(huán)，域），那么也是整環(huán)（除環(huán)，域）.3） 代數(shù)集合自身的性質(zhì)如前面定理1，設(shè)與同態(tài)，若適合結(jié)合律（交換律），也適合結(jié)合律（交換律）.又如定理2，設(shè)與同態(tài)，若，適合第一（二）分配律，也適合第一（二）分配律.參 考 文 獻(xiàn)1 張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)M北京：高等教育出版社，197852 朱平天，李伯葓，鄒園近世代數(shù)M