1、波利亞的解題理論（講稿）同學(xué)們好！今天我們大家一起來(lái)學(xué)習(xí)波利亞的解題理論。首先，讓我們了解一下波利亞的生平。喬治波利亞（George Polya,1887-1985)美籍匈牙利數(shù)學(xué)家，生于匈牙利，青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，1912年獲數(shù)學(xué)博士學(xué)位。他是法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，也是享有國(guó)際盛譽(yù)的數(shù)學(xué)方法論大師，為數(shù)學(xué)方法論的現(xiàn)代研究，特別是為數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究奠定了必要的理論基礎(chǔ)。他的成就主要包括解題理論、數(shù)學(xué)教學(xué)理論和教師教育理論，發(fā)表200多篇論文和許多專著，主要著作包括:怎樣解題（

2、1944）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1954）、數(shù)學(xué)與猜想（1961）等。其中怎樣解題與數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)集中論述了怎樣解題的問題，而數(shù)學(xué)與猜想則對(duì)合情推理進(jìn)行了生動(dòng)地、富有創(chuàng)造性地論述。在數(shù)學(xué)方面，對(duì)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)和概率論等若干分支領(lǐng)域作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語(yǔ)和定理。在數(shù)學(xué)解題研究領(lǐng)域，波利亞是一面旗幟，也是一代宗師。這里主要介紹他的解題理論。學(xué)習(xí)波利亞的解題理論，首先需要了解對(duì)“解題”過(guò)程的界定。波利亞認(rèn)為，解題是智力的特殊成就，題目是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)在于教會(huì)學(xué)生解題，解題思想“應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué)生心里，教師僅僅像助產(chǎn)士那樣行事”（蘇格拉底語(yǔ)），由此，數(shù)學(xué)教師的首要任務(wù)是發(fā)展學(xué)生

3、解決問題的能力。為了幫助學(xué)生，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究可解題的思維過(guò)程，用樸素而現(xiàn)代化的形式來(lái)闡明探索法（既有助于發(fā)現(xiàn)的探索方法），并集幾十年教學(xué)與科研之大成寫成怎樣解題一書，與1948年出版，風(fēng)靡世界。其中“怎樣解題”表仔細(xì)分析了求解各種數(shù)學(xué)問題時(shí)的思維過(guò)程，成為經(jīng)典之作。概括的說(shuō)來(lái)，“怎樣解題”表是波利亞的解題理論的核心內(nèi)容。所以，讓我們?cè)敿?xì)學(xué)習(xí)一下“怎樣解題”表?！霸鯓咏忸}”表主要由四部分構(gòu)成：了解問題，擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，回顧。了解問題包括未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？可能滿足什么條件？畫一個(gè)圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)擬定計(jì)劃包括：v 你以

4、前見過(guò)它嗎？v 你知道什么有關(guān)的問題嗎？v 注視未知數(shù)！試想出一個(gè)有相同或相似的未知數(shù)的熟悉的問題。v 這里有一個(gè)與你有關(guān)而且以前解過(guò)的問題，你能應(yīng)用它嗎？v 你可以改述這個(gè)問題嗎？回到定義！v 你若不能解決這問題，試先解一個(gè)有關(guān)的問題。你能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題嗎？一個(gè)更一般的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類似的問題？你能解決問題的一部分嗎？v 你用了全部條件嗎？實(shí)現(xiàn)計(jì)劃包括：v 實(shí)行你的解決計(jì)劃，校核每一步驟?；仡櫚ǎ簐 你能校核結(jié)果嗎？你能校核結(jié)果嗎？v 你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？v 你能應(yīng)用這個(gè)結(jié)果或方法到別的問題上嗎？在對(duì)“怎樣解題”表進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，我們按照“怎樣解題”表

5、中的解題程序來(lái)解決一個(gè)生活中的實(shí)際問題，以此更好地體會(huì)和運(yùn)用“怎樣解題”進(jìn)行解題。例如：有兩個(gè)容積分別是4升和9升的容器，怎樣從一條河中恰好取出6升水？首先我們需要弄清問題。通讀這個(gè)問題，可以得到：已知數(shù)：一個(gè)4升的容器 一個(gè)9升的容器需滿足條件：恰好取出6升水假設(shè)：有兩個(gè)具有相同底面的的圓柱形容器，其高之比為94（如下圖所示）再次，我問需要分析思考這個(gè)問題，擬定計(jì)劃。聯(lián)系我們所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行回顧聯(lián)想：我們可以將大桶裝滿，再將大桶的水盡可能多的倒入小桶中，這樣我們可以得到5升水。我們能不能得到6升？通過(guò)上面的思考，可尋找思路：設(shè)想我們面前大桶里有6升水，而小桶是空的。從前面的從前面的什么情況我們

6、可以得到6升水？我們可以將大桶裝滿9升水，但必須再倒出3升水。為了做到這一點(diǎn)，我們的小桶中必須是1升水！因此我們想到，將水在兩個(gè)桶之間倒來(lái)倒去時(shí)，我們也許已經(jīng)做了類似的事情，而正是在現(xiàn)在這一時(shí)刻，我們想起圖（2）的這種情況可由圖（1）中所示的方法產(chǎn)生：將大桶裝滿，然后倒出4升水到小桶中，再將小桶中的水倒入河中。這樣連續(xù)兩次，我們最終遇到了某些已知的東西，并且遵循倒著干的分析方法，找到了適當(dāng)?shù)牟僮黜樞?。確實(shí)，我們已經(jīng)以倒過(guò)來(lái)的次序找到了合適的順序，剩下來(lái)要做的只是把這一過(guò)程反過(guò)來(lái)，從我們?cè)诜治鲋凶詈蟮竭_(dá)的點(diǎn)開始。首先，我們施行圖A所示的操作，就得到了圖B，然后我們過(guò)渡到圖C，再過(guò)渡到圖D，最后過(guò)

7、渡到圖E，沿著我們的步驟回溯上去，我們最終成功地得到了要求的東西，成功實(shí)現(xiàn)了計(jì)劃。在上述過(guò)程中無(wú)一有些值得深思的地方。迂回前進(jìn)、脫離目標(biāo)、倒著干、不遵循通往目標(biāo)的直接道路走，會(huì)造成某種心理上的障礙。在我們發(fā)現(xiàn)了適當(dāng)?shù)牟僮黜樞蚝螅季S必須遵循與實(shí)際操作恰好相反的次序進(jìn)行。由于學(xué)生對(duì)這種逆向的順序有一種心里上的反感，所以如果不小心地提出的話，可能會(huì)使一個(gè)相當(dāng)有能力的學(xué)生都難以理解這個(gè)方法然而通過(guò)倒著干來(lái)解決一道具體題目并不需要天才，而是一種在每個(gè)人能力所及限度內(nèi)的常識(shí)性程序，任何有一點(diǎn)常識(shí)的人都能做到。我們專注于所要求的目標(biāo)，我們想象我們想要的最后位置，我們從前面哪個(gè)位置可以到達(dá)這里？提出這個(gè)問題是很自然的，而提出這個(gè)問題時(shí)我們