1、第五章 梁彎曲時(shí)的位移,2020年6月22日星期一,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,2,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,一、撓曲線,在平面彎曲情況，梁變形后的軸線將成為xoy平面內(nèi)的一條曲線。這條連續(xù)、光滑的曲線梁的撓曲線。（彈性曲線）,3,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,二、截面轉(zhuǎn)角和撓度,（梁彎曲變形的兩個(gè)基本量）,1 撓度：,梁變形后，橫截面的形心在垂直于梁軸線（x 軸）方向上所產(chǎn)生的線位移，稱為梁在截面的撓度。,C,一般情況下，不同 橫截面的撓度值不同,橫截面撓度隨截面位置（x軸）而改變的規(guī)律用撓曲線方程表示。即：,符號(hào)規(guī)定：撓度向下為正，向上為

2、負(fù)。 單位：mm,4,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,2 轉(zhuǎn)角：,橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角度,由梁彎曲的平面假設(shè)可知：梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后仍垂直于撓曲線,A：曲線在C點(diǎn)的切線與x軸間的夾角,符號(hào)規(guī)定：轉(zhuǎn)角從x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至切線方向?yàn)檎?，反之為?fù) 單位：rad,5,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,3 截面撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：,撓曲線的斜率：,工程中由于是小變形， 極小。可用：,注：撓曲線上任意點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角,6,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,彈性曲線的小撓度微分方程：,力學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,此即彈性

3、曲線的小撓度微分方程,7,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,撓曲線近似微分方程,8,彎曲變形+簡單超靜定問題,第一節(jié) 梁的位移撓度及轉(zhuǎn)角,撓曲線近似微分方程,：梁的彎曲方程,積分一次：,積分二次：,積分常數(shù)：需要利用邊界條件和連續(xù)光滑條件來確定,邊界條件和連續(xù)光滑條件：梁上某些橫截面處位移為已知的條件,9,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,例題1 求該懸臂梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,A,B,l,解：,建立坐標(biāo)、寫彎矩方程,B,代入撓曲線近似微分方程：,積分一次：,積分二次：,10,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,例題1 求該懸臂梁的最大撓度

4、和轉(zhuǎn)角,A,B,l,B,利用邊界條件確定積分常數(shù)：,11,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,例題2 求該簡直梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,q,A,B,解：,建立坐標(biāo)、寫彎矩方程,代入撓曲線近似微分方程：,積分一次：,積分二次：,12,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,例題2 求該簡直梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,q,A,B,利用邊界條件確定積分常數(shù)：,13,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,例題2 求該簡直梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,q,A,B,14,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,例題3 求該簡直梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,A,B,解：,建立坐標(biāo)

5、、寫彎矩方程,15,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,積分一次：,積分二次：,16,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,17,彎曲變形+簡單超靜定問題,第二節(jié) 用積分法求彎曲變形,18,彎曲變形+簡單超靜定問題,第三節(jié) 用疊加法求彎曲變形,疊加法：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)荷載時(shí)，在小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過比例極限，則每個(gè)荷載所引起的變形（撓度和轉(zhuǎn)角）將不受其它荷載的影響,即：梁上任意橫截面的總位移等于各荷載單獨(dú)作用時(shí)，在該截面所引起的位移的代數(shù)和,19,彎曲變形+簡單超靜定問題,第三節(jié) 用疊加法求彎曲變形,荷載疊加：將作用在梁上的荷載分解成單個(gè)荷載，利用單

6、個(gè)荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角的結(jié)果進(jìn)行疊加，就可求得梁在多個(gè)荷載作用下的總變形,20,彎曲變形+簡單超靜定問題,第三節(jié) 用疊加法求彎曲變形,逐段剛化法：將梁分成幾段，分別計(jì)算各段梁的變形在需求位移處引起的位移，然后計(jì)算其總和,即：考慮某段梁的變形時(shí)，將其它梁段視為剛體，在利用外力平移計(jì)算其它梁段的變形，最后疊加,例題1 求該懸臂梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角,21,彎曲變形+簡單超靜定問題,第三節(jié) 用疊加法求彎曲變形,22,彎曲變形+簡單超靜定問題,第三節(jié) 用疊加法求彎曲變形,例題2 求梁跨中中點(diǎn)處的撓度。已知：抗彎剛度為EI,q,解：,q,23,彎曲變形+簡單超靜定問題,第三節(jié) 用疊加法求彎曲變形,例題3

7、 求A點(diǎn)處的撓度。已知：抗彎剛度為EI,l,a,解：,M,24,彎曲變形+簡單超靜定問題,第四節(jié) 提高梁剛度的一些措施,1 剛度條件：,例題1 已知：P1=2kN，P2=1kN。l=400mm，a=100mm，外徑D=80mm，內(nèi)徑d=40mm，E=200GPa，截面C處撓度不超過兩軸承間距離的10-4，軸承B處轉(zhuǎn)角不超過10-3弧度。試校核該主軸的剛度。,解：,25,彎曲變形+簡單超靜定問題,第四節(jié) 提高梁剛度的一些措施,26,彎曲變形+簡單超靜定問題,第四節(jié) 提高梁剛度的一些措施,滿足剛度條件,27,彎曲變形+簡單超靜定問題,第四節(jié) 提高梁剛度的一些措施,2 提高梁剛度的措施：,梁的變形不

8、僅與荷載、支承有關(guān)，而且與材料、跨度等也有關(guān),（1） 提高梁的抗彎剛度 EI,對(duì)彈性模量來說，即使采用高強(qiáng)合金鋼也只是增加了許用應(yīng)力，但 E 值比較接近，（提高梁的抗彎強(qiáng)度的措施）。要增加梁的抗彎剛度還是需要考慮橫截面的慣性矩,梁的變形與橫截面的慣性矩成反比，增加慣性矩可以提高梁的抗彎剛度。（與提高梁的抗彎強(qiáng)度的辦法相類似）,28,彎曲變形+簡單超靜定問題,第四節(jié) 提高梁剛度的一些措施,（2） 調(diào)整跨度,* 調(diào)整支承外伸梁,* 增加支承超靜定（可減小變形，降低梁內(nèi)最大彎矩）,29,彎曲變形+簡單超靜定問題,第五節(jié) 梁內(nèi)彎曲應(yīng)變能,純彎曲,橫力彎曲,30,彎曲變形+簡單超靜定問題,第六章 簡單超

9、靜定問題,61 超靜定問題及其解法,一、關(guān)于超靜定的基本概念,二、求解超靜定問題的基本方法,一、關(guān)于超靜定的基本概念,超靜定問題與超靜定結(jié)構(gòu)未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程數(shù),超靜定次數(shù) 未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差,多余約束 保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束,靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)未知力(內(nèi)力或外力)個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù),二、求解超靜定問題的基本方法,因?yàn)槲粗€(gè)數(shù)超過了獨(dú)立的平衡方程數(shù)，必須尋找補(bǔ)充方程。,尋找補(bǔ)充方程的途徑：,利用結(jié)構(gòu)的變形條件,結(jié)構(gòu)受力后變形不是任意的，必須滿足以下條件：,1、結(jié)構(gòu)的連續(xù)性,2、變形與內(nèi)力的協(xié)調(diào)性,方法1：,尋找補(bǔ)充方程法（適用于求解拉壓超靜定）,36,彎曲變形+簡單

10、超靜定問題,變形比較法（適用于求解超靜定梁）,1、建立相當(dāng)系統(tǒng)：解除多余約束，代以多余約 束反力。,2、由梁的變形條件，求出多余約束反力。,3、求出多余約束反力后，按靜定梁求解。,相當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)力圖，應(yīng)力和變形即為原超靜定梁的結(jié)果。,方法2：,靜平衡方程,補(bǔ)充方程,37,彎曲變形+簡單超靜定問題,6-2 拉壓超靜定問題,一、拉壓超靜定問題的求解,二、溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力,一、拉壓超靜定問題的求解,例題：求圖示桿的支反力,解： AB 桿受力如圖,由：,本問題為共線力系，只有一個(gè)獨(dú)立平衡方程,得：,現(xiàn)有兩個(gè)未知力，本問題為一次超靜定問題,需要建立一個(gè)補(bǔ)充方程,變形條件：,物理?xiàng)l件：,補(bǔ)充方程：,40,

11、彎曲變形+簡單超靜定問題,圖示結(jié)構(gòu),1、2桿的抗拉剛度相同，均為E1A1,3桿的抗拉剛度為E3A3，受力如圖。,求：各桿的內(nèi)力。,例題,本問題為一次超靜定,對(duì)節(jié)點(diǎn)A,得到：,還需要建立一個(gè)補(bǔ)充方程,解：,結(jié)構(gòu)變形特點(diǎn)：,變形前三桿匯交于A點(diǎn)，變形后三桿仍交于A點(diǎn)。,由于結(jié)構(gòu)和受力的對(duì)稱性，A點(diǎn)只有垂直位移。,43,彎曲變形+簡單超靜定問題,變形協(xié)調(diào)方程：,物理方程,44,彎曲變形+簡單超靜定問題,由變形協(xié)調(diào)方程和物理方程，可得到補(bǔ)充方程。,45,彎曲變形+簡單超靜定問題,平衡方程,補(bǔ)充方程,解得：,46,彎曲變形+簡單超靜定問題,圖示結(jié)構(gòu),1、2桿的抗拉剛度相同，均為EA，AB桿為剛桿 ，受力

12、如圖。 求：各桿的內(nèi)力。,例題,47,彎曲變形+簡單超靜定問題,本問題為一次超靜定,對(duì)桿AB,得到:,解：,48,彎曲變形+簡單超靜定問題,變形協(xié)調(diào)方程,由結(jié)構(gòu)的變形圖,得到,物理方程,補(bǔ)充方程,49,彎曲變形+簡單超靜定問題,補(bǔ)充方程,靜平衡方程,聯(lián)解(a) (c),得:,50,彎曲變形+簡單超靜定問題,二、溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力,1. 溫度應(yīng)力,靜定結(jié)構(gòu)中當(dāng)溫度變化時(shí)，內(nèi)部不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力。,超靜定結(jié)構(gòu)中當(dāng)溫度變化時(shí)，內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生附加應(yīng)力。,溫度應(yīng)力：超靜定結(jié)構(gòu)因溫度變化而產(chǎn)生的應(yīng)力。,兩端固支的直桿AB，長度為l ，抗拉剛度為EA，熱膨脹系數(shù)為 l。,求：溫度升高 后桿內(nèi)的應(yīng)力。,例題,52,彎曲

13、變形+簡單超靜定問題,解：,本問題為一次超靜定,靜平衡方程,變形協(xié)調(diào)方程,物理方程,聯(lián)解，得：,53,彎曲變形+簡單超靜定問題,桿端的約束力為：,桿中的溫度應(yīng)力為：,溫度應(yīng)力與桿的橫截面面積A，桿的長度 l 無關(guān)。,54,彎曲變形+簡單超靜定問題,桿中的溫度應(yīng)力為：,通過一組數(shù)據(jù)說明溫度應(yīng)力的大小：,鋼材的熱膨脹系數(shù),求：溫度升高 時(shí)的溫度應(yīng)力。,解：,溫度應(yīng)力的大小是很大的，工程中應(yīng)當(dāng)設(shè)法避免。,55,彎曲變形+簡單超靜定問題,溫度應(yīng)力的大小是很大的，工程中應(yīng)當(dāng)設(shè)法避免,常使用的方法：,1、結(jié)構(gòu)中適當(dāng)留一些間隙，（如鋼軌,橋梁,水泥路面）,2、結(jié)構(gòu)中適當(dāng)采用伸縮節(jié)（如管道）,56,彎曲變形+

14、簡單超靜定問題,2.裝配應(yīng)力,靜定結(jié)構(gòu)中當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸有誤差時(shí)，只會(huì)引起結(jié)構(gòu)幾何位置的變化，內(nèi)部不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力。,超靜定結(jié)構(gòu)中當(dāng)構(gòu)件尺寸有誤差時(shí)，會(huì)引起強(qiáng)迫裝配，從而內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生附加應(yīng)力。,圖示靜定結(jié)構(gòu)，1桿短，2桿長，裝配時(shí)不會(huì)產(chǎn)生裝配應(yīng)力。,57,彎曲變形+簡單超靜定問題,裝配應(yīng)力：超靜定結(jié)構(gòu)因構(gòu)件尺寸誤差，引起強(qiáng)迫裝配而產(chǎn)生的應(yīng)力。,圖示靜不定結(jié)構(gòu)，3桿短了，裝配時(shí)會(huì)產(chǎn)生裝配應(yīng)力。,58,彎曲變形+簡單超靜定問題,圖示結(jié)構(gòu), 3根桿的抗拉剛度相同，均為EA， 3桿比設(shè)計(jì)尺寸短了。,求：強(qiáng)迫裝配后，各桿的軸力。,例題,59,彎曲變形+簡單超靜定問題,解：,對(duì)節(jié)點(diǎn)A,得到：,還需要建立一個(gè)補(bǔ)充方程,

15、本問題為一次超靜定,60,彎曲變形+簡單超靜定問題,變形協(xié)調(diào)方程,物理方程,補(bǔ)充方程,61,彎曲變形+簡單超靜定問題,平衡方程,補(bǔ)充方程,解得：,62,彎曲變形+簡單超靜定問題,求：3根桿的裝配應(yīng)力。,圖示結(jié)構(gòu), 3根桿的抗拉剛度相同，均為 EA， 3桿比設(shè)計(jì)尺寸短了，若：3根桿均為圓鋼桿,例題,63,彎曲變形+簡單超靜定問題,解：,3根桿的裝配內(nèi)力為：,3根桿的裝配應(yīng)力為：,64,彎曲變形+簡單超靜定問題,3根桿的裝配應(yīng)力為：,65,彎曲變形+簡單超靜定問題,利用圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形條件可以求解扭轉(zhuǎn)超靜定問題。,兩端固定的圓軸，受力如圖。,求：兩端的約束力偶矩。,6-3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題,軸受力如

16、圖,一次超靜定,變形條件：,聯(lián)解（1）（2），得：,67,彎曲變形+簡單超靜定問題,圖示兩種材料的組合桿，扭轉(zhuǎn)剛度分別為： ,端頭受一扭轉(zhuǎn)力偶矩 作用 。,求：各桿所受的力偶矩。,例題,68,彎曲變形+簡單超靜定問題,物理方程：,將（3）、（4）代入（2），得補(bǔ)充方程,桿受力如圖,變形條件：,解：,69,彎曲變形+簡單超靜定問題,聯(lián)解（1）、（5）,解得：,70,彎曲變形+簡單超靜定問題,6-4 簡單超靜定梁,一、概述,三、簡單組合結(jié)構(gòu)的超靜定問題,二、簡單超靜定梁,迄今為止，所研究梁的支反力都可以利用靜平衡方程直接求得 靜定梁,實(shí)際工程中，為了提高梁的強(qiáng)度和剛度，常用的方法為增加梁的支座 超

17、靜定梁,支反力的數(shù)量 獨(dú)立的平衡方程的數(shù)量,對(duì)于超靜定梁：,一、概述,實(shí)例: 細(xì)長工件的 車削加工。,二、簡單超靜定梁,為了提高加工精度，增加尾頂針。,力學(xué)模型:,一次超靜定梁,求解超靜定梁的方法:,變形比較法,1、解除多余約束，代以多余約束反力，建立相當(dāng)系統(tǒng)。,本問題中，解除支座B，代以多余約束反力FB。,2、由梁的變形條件，求出多余約束反力。,本問題中，梁的變形條件為：,3、求出多余約束反力后，按靜定梁求解。,75,彎曲變形+簡單超靜定問題,解題過程如下：,對(duì)于相當(dāng)系統(tǒng)有：,解得：,76,彎曲變形+簡單超靜定問題,作出梁的彎矩圖,77,彎曲變形+簡單超靜定問題,特殊地，當(dāng) 時(shí)，,若未加尾頂

18、針B，此時(shí)梁上的最大彎矩為：,78,彎曲變形+簡單超靜定問題,特殊地，當(dāng) 時(shí)，,梁上最大撓度為：,未加尾頂針時(shí)梁上的最大撓度為,79,彎曲變形+簡單超靜定問題,合理地增加多余約束可以明顯減小梁上的彎矩和變形。,80,彎曲變形+簡單超靜定問題,變形比較法,1、解除多余約束，代以多余約束反力，建立 相當(dāng)系統(tǒng)。,2、由梁的變形條件，求出多余約束反力。,3、求出多余約束反力后，按靜定梁求解。,相當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)力圖，應(yīng)力和變形即為原超靜定梁的結(jié)果。,相當(dāng)系統(tǒng)不是唯一的，但必須是靜定系統(tǒng)。,81,彎曲變形+簡單超靜定問題,作出圖示梁的剪力圖和彎矩圖。,例題,82,彎曲變形+簡單超靜定問題,取相當(dāng)系統(tǒng)如圖：,由梁的變形條件：,解得：,83,彎曲變形+簡單超靜定問題,取另一相當(dāng)系統(tǒng)如圖：,由梁的變形條件：,解得：,84,彎曲變形+簡單超靜定問題,求圖示梁的最大彎矩。,在某些高次超靜定問題中,合理地應(yīng)用對(duì)稱性分析可以降低超靜定次數(shù)。,該問題理論上說，是三次超靜定問題。,在忽略x方向的軸向力時(shí)，該問題簡化為是二次超靜定問題。,可取相當(dāng)