1、數(shù)碼相機(jī)定位摘 要： 本文針對(duì)數(shù)碼相機(jī)定位問題，主要是數(shù)碼相機(jī)成像模型的討論。 問題一：要建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，這里首先要考慮到物平面 和像平面存在的夾角問題，應(yīng)該建立三維坐標(biāo)系；利用空間坐標(biāo)變換確定靶標(biāo)上任意一點(diǎn)在像平面 上的像坐標(biāo)的算法模型，擇切線法來求出靶標(biāo)上的圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。 問題二：在實(shí)際計(jì)算中，假設(shè)圖像是靶標(biāo)的線性映射，因此用橢圓擬合圖像輪廓，再利用線性映射中公切線交點(diǎn)為圓心的性質(zhì)將公切點(diǎn)看做特征點(diǎn)，求解圓心的像素坐標(biāo)，最后將像素坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成像坐標(biāo)。求出圓心的像坐標(biāo)為A(-50.8313,-49.2130)，B(-49.1781,-

2、23.0004)，C(-44.8127,34.2860)，D(31.7288,19.3701)，E(31.5118,-59.5371) 問題三：在對(duì)模型的精度和穩(wěn)定性的分析時(shí)，由于圖像識(shí)別的精度，實(shí)際得到的坐標(biāo)是存在誤差的；我們?cè)?圓外重新找了三個(gè)不共線點(diǎn)，找出他們?cè)谙褡鴺?biāo)上的射影，與拍攝出來的圖片對(duì)比,計(jì)算出偏移量檢驗(yàn)穩(wěn)定性和精度；前面的公切線確定圓心的方法誤差在一個(gè)像素內(nèi)。 問題四：模型可以看做兩個(gè)單個(gè)的相機(jī)成像組合而成，通過成像原理的分析，得出兩個(gè)相機(jī)的相對(duì)位置。 關(guān)鍵詞： 坐標(biāo)變換、雙目定位、最小二乘法、切線法、matlab1 問題重述 數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的

3、應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。 圖 1 靶標(biāo)上圓的像 標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然

4、而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長(zhǎng)為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。 圖 2 靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3 靶標(biāo)的像請(qǐng)你們：（1）建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在

5、該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2）對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024768；（3）設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ停?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4）建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。2 模型的建立2.1 模型符號(hào)的設(shè)定和說明Rij對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的距離， ， 物平面的坐標(biāo)，相機(jī)坐標(biāo)系里的坐標(biāo) ，像平面的坐標(biāo)計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)，以像素為單位 R旋轉(zhuǎn)正交矩陣 T平移矩陣2.2 模型建立2.2.1 問題一 圖為相機(jī)成像原理圖

6、 數(shù)碼相機(jī)成像原理涉及凹凸透鏡的光學(xué)原理，凸透鏡成像公式為1/f=1/u+1/v，另外考慮到照相時(shí)物距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于像距和焦距，光線又是穿過光學(xué)中心成像，所以凸透鏡成像模型(如上面左圖)可以轉(zhuǎn)化為針孔成像模型（如上面右圖）。首先要建立一個(gè)模型來確定靶標(biāo)上的任意圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。已經(jīng)知道了五個(gè)圓及它們之間的相對(duì)位置，再考慮到物平面和像平面之間的夾角，所成像會(huì)變形，這樣一個(gè)不規(guī)則的圖形的幾何中心是無法確定的。所以先確定標(biāo)靶與像的關(guān)系。靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)公切線法求圓心： 在二維平面中，考慮兩不相交圓，對(duì)兩個(gè)圓做公切線，它們的外公切線與內(nèi)公切線分別交于A,B兩點(diǎn)，則過A,B兩點(diǎn)的直線

7、經(jīng)過它們的圓心，該直線叫正割線，因?yàn)樯溆白儞Q中相交性和相切性不變，所以在像平面內(nèi)經(jīng)過A,B兩點(diǎn)射影A，B的直線也經(jīng)過兩圓射影橢圓的圓心?？紤]三個(gè)不相交且圓心不共線圓時(shí)，像平面上是三個(gè)不相交橢圓，且圓心不共線。從而得到三條不共線的正割線，因?yàn)槊織l正割線經(jīng)過兩個(gè)圓心，所以三條正割線的三個(gè)交點(diǎn)就是三個(gè)橢圓圓心。實(shí)際求解：（1） 求公切線 上圖是五個(gè)圓的公切線，我們已知射影變換中相交性和相切性不變，又有上面分析可知，在像平面中公切線的相交點(diǎn)即為圓心。設(shè)兩橢圓方程分別為，考慮其中一條公切線，其切點(diǎn)分別為，將代入橢圓方程，并令。得： 因?yàn)?，設(shè)圓A的射影橢圓A的圓心為（x，y），四個(gè)公切點(diǎn)分別為A1，A2

8、，A3，A4，聯(lián)立得方程組：，即可求出圓心像素坐標(biāo)。（2） 像素坐標(biāo)到像坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換 像素坐標(biāo)與像坐標(biāo)關(guān)系圖（為像素坐標(biāo)，為像坐標(biāo)）因?yàn)槠浞直媛蕿?024*768，我們可以將平面劃分，并且用來標(biāo)記坐標(biāo)，看做1024*768個(gè)小方格，則O 的像素坐標(biāo)為（512,384），假設(shè)表示每一個(gè)像素在x軸，y軸上的物理尺寸，則： 即（3） 相機(jī)坐標(biāo)到物坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換 轉(zhuǎn)換關(guān)系如下： 其中R為三階單位正交矩陣：（4） 像坐標(biāo)與相機(jī)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換它們的幾何關(guān)系為：所以（5） 像素坐標(biāo)到物坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換 有前面的四個(gè)式子可以得出: 其中M就是物與像的對(duì)應(yīng)關(guān)系2.2.2 問題二： 利用matlab提取輪廓線，圖如下：（程序見附

9、錄一） 在橢圓A所得的輪廓上分別取三十個(gè)盡可能離散的點(diǎn)，建立方程：即：用最小二乘法（見附錄二）解得橢圓的擬合方程為：A:：B：C：D：E：經(jīng)matlab驗(yàn)證擬合度高橢圓之間的公切線切點(diǎn)的求解： 先求解橢圓A和B的公切線：設(shè)兩橢圓方程分別為，兩者的一條外公切線為y=Ax+B; 其切點(diǎn)分別為，對(duì)聯(lián)立的方程組用最小二乘法（見附錄三）可求得A，B的公切線為：y=0.0513x+79.0824 y=0.0766x+45.7406同理可得：A，E的兩條外公切線為：y=-7.5254x+1079.5359 y=-8.5866x+965.4573B，C的兩條外公切線為：y=0.0658x+76.8534 y=

10、0.0854x+44.3537B，D的兩條外公切線為：y=1.8436x-183.0276 y=1.9669x-266.3146C，D的兩條外公切線為：y=-4.9070x+1295.5962 y=-5.3903x+1273.3998D，E的兩條外公切線為：y=-0.0034x+197.1047 b y=0.0082x+170.3364則切點(diǎn)坐標(biāo)如下：橢圓公切線切點(diǎn)坐標(biāo)AAB(117.7878,85.1225) (120.9900,55.0103)AE(104.4058,68.9586) (133.9654,71.3995)BAB(154.1450,86.9875) (157.1974,57.

11、7843)BD(142.5287,79.7374) (168.6194,65.3388)CBC(232.1853,92.1204) (237.7916,64.6693)CD221.8287,77.6718) (247.8585,79.3614)DBD(203.0654,191.3426) (225.5880,177.3889)DE（212.0984,196.3862）（216.5801,172.1213）EAE（91.0113,183.9723） （118.9778,184.1872）DE（103.5842,196.7537） （106.6070,171.2150）圓心的像素坐標(biāo)求解：通過公切

12、線連線交點(diǎn)可以求得圓心，設(shè)圓A的射影橢圓A的圓心為（x，y），四個(gè)公切點(diǎn)分別為A1，A2，A3，A4，聯(lián)立得方程組：，即可求出圓心像素坐標(biāo)。同理可得所有橢圓的圓心坐標(biāo)：圓心像素坐標(biāo)A（325.9747,191.8576）B（425.0586,198.1068）C（641.6010,214.6079）D（585.2190，503.9348）E（286.9496,503.1146）像素坐標(biāo)到像坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換：得出圓心像坐標(biāo)A(-50.8313,-49.2130)B(-49.1781,-23.0004)C(-44.8127,34.2860)D(31.7288,19.3701)E(31.5118,-59.

13、5371)M的求解：令靶標(biāo)中心為原點(diǎn)，AC為橫軸，AE為縱軸，光軸為Z軸，則=0，所以取多個(gè)點(diǎn)，則將所求得的公切點(diǎn)代入，用最小二乘法得：M=2.2.3 問題三在物平面內(nèi)任找三個(gè)不共線的點(diǎn)M,N,Q，三個(gè)點(diǎn)如下：由計(jì)算兩直線交點(diǎn)程序計(jì)算出M，N,Q的值，見附錄四，結(jié)果如下：M=(23.0769,76.9231)，N=（58.8235,58.8235），Q=（50.50）由問題二得出的結(jié)論經(jīng)過計(jì)算得出像坐標(biāo)如下：M=（-29.976，-32.3421）；N=（-13.5876，-4.8421）；Q=(-6.9147,-13.1662);而實(shí)際值為M=(-30.004,-32.3619)；N=(-1

14、3.6852,-4.8469);Q=(-7.0012,-13.1446);可以看出偏移量很小，所以誤差很小。2.2.4 問題四在不同的相機(jī)坐標(biāo)系下，點(diǎn)P由不同的坐標(biāo)，相對(duì)于O1，O2的角度和距離都不同，通過解如下的三角形，可以得出兩部相機(jī)的位置關(guān)系： 雙目標(biāo)定法相機(jī)坐標(biāo)系到物坐標(biāo)系的關(guān)系分別有： ，則有因?yàn)镽1，R2都是單位正交矩陣，所以也是單位正交矩陣代入多組數(shù)據(jù)，用最小二乘法即可求得在三個(gè)方向上的夾角以及位置關(guān)系，模型評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：公切線發(fā)可以很好的確定圓心且結(jié)果的誤差較小 在計(jì)算中用最小二乘法求解誤差較小 方法簡(jiǎn)單，再不要求高精度情況下實(shí)用性很高缺點(diǎn)：公切線發(fā)只適合多個(gè)圓的算法，通用性不好 建模中忽略了相機(jī)的畸變因素 因?yàn)闆]有實(shí)際的數(shù)據(jù)，所以不能更好的優(yōu)化模型參考文獻(xiàn)：數(shù)學(xué)建模，工業(yè)出版社，第四版Matlab基礎(chǔ)與應(yīng)用教程，人民郵電出版社，蔡旭暉數(shù)碼相機(jī)入門及成像原理，劉恩惠附錄部分：附錄一附錄二附錄三附錄四：#include#include#includeusing namespace std;int main()double x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x,y;cinx1y1x2y2x3y3x4y4;x=(x1*x3*y2+x1*x4*y3+x2*x3*y4+x2*x4*y1-x1*x