1、第四章 恒定磁場 (注意：以下各題中凡是未標(biāo)明磁媒質(zhì)的空間，按真空考慮）4-1 如題4-1圖所示，兩條通以電流的半無窮長直導(dǎo)線垂直交于O點。在兩導(dǎo)線所在平面，以O(shè)點為圓心作半徑為的圓。求圓周上A、B、C、D、E、F各點的磁感應(yīng)強度。解 參考教材71頁的例4-1，可知，圖4-2所示通有電流的直導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為因此，可得（設(shè)參考正方向為指出紙面）用類似的方法可得 ，4-2 平面上有一正邊形導(dǎo)線回路?；芈返闹行脑谠c，邊形頂點到原點的距離為。導(dǎo)線中電流為。 1）求此載流回路在原點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度； 2）證明當(dāng)趨近于無窮大時，所得磁感應(yīng)強度與半徑為的圓形載流導(dǎo)線回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度相同；3）

2、計算等于3時原點的磁感應(yīng)強度 。解 如圖4-3中所示為正邊形導(dǎo)線回路的一個邊長，則所對應(yīng)的圓心角為，各邊在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為1）n條邊在圓心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 2）當(dāng)n時，圓心處的磁感應(yīng)強度為 3）當(dāng)?shù)扔?時圓心處的磁感應(yīng)強度為 4-3 設(shè)矢量磁位的參考點為無窮遠處，計算半徑為的圓形導(dǎo)線回路通以電流時，在其軸線上產(chǎn)生的矢量磁位。解 如圖4-4建立坐標(biāo)系，可得軸線上處的矢量磁位為 4-4 設(shè)矢量磁位的參考點在無窮遠處，計算一段長為2米的直線電流在其中垂線上距線電流1米處的矢量磁位。解 據(jù)76頁例4-4，可得 ，其中，則 4-5 在空間，下列矢量函數(shù)哪些可能是磁感應(yīng)強度？哪些不是？回答并說明理

3、由。 1） （球坐標(biāo)系） 2） 3） 4） （球坐標(biāo)系） 5） （圓柱坐標(biāo)系）解 1） 2）3）4）5） 由于，因此以上表達式中，1）不是磁感應(yīng)強度表達式，而2）5）可能是磁感應(yīng)強度表達式。4-6 相距為的平行無限大平面電流，兩平面分別在和平行于平面。面電流密度分別為和，求由兩無限大平面分割出的三個空間區(qū)域的磁感應(yīng)強度。解 如圖建立坐標(biāo)系，并作平行于平面的閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得 和平行于平面的閉合回線，可得 考慮坐標(biāo)系，及可得當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；4-7 求厚度為，中心在原點，沿平面平行放置，體電流密度為的無窮大導(dǎo)電板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。解 如圖4-6建立坐標(biāo)系，當(dāng)，作閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定

4、律，可得，當(dāng)，作閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得，因此，可得4-8 如圖4-7所示，同軸電纜通以電流。求各處的磁感應(yīng)強度。解 作半徑為的閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得 4-9 如圖4-8所示，兩無窮長平行圓柱面之間均勻分布著密度為的體電流。求小圓柱面內(nèi)空洞中的磁感應(yīng)強度。解 設(shè)小圓柱面內(nèi)空洞中的任意點至大、小圓柱面的軸心距離分別為、，當(dāng)空洞內(nèi)也充滿體電流時，可得點的磁感應(yīng)強度為，空洞內(nèi)的體電流密度在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為4-10 內(nèi)半徑為，外半徑為，厚度為，磁導(dǎo)率為（）的圓環(huán)形鐵芯，其上均勻緊密繞有匝線圈，如圖4-9所示。線圈中電流為。求鐵芯中的磁感應(yīng)強度和磁通以及線圈的磁鏈。解 在鐵芯中作與鐵芯

5、圓環(huán)同軸半徑為的閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得鐵芯中磁感應(yīng)強度為 相應(yīng)的磁通為 磁鏈為 4-11 在無限大磁媒質(zhì)分界面上，有一無窮長直線電流，如圖4-10所示。求兩種媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強度和磁場強度。解 設(shè)軸與電流的方向一致，則據(jù)安培環(huán)路定律，可得 ，據(jù)邊界條件，可得 解以上兩式，得 ，4-12 如圖4-11所示，無窮大鐵磁媒質(zhì)表面上方有一對平行直導(dǎo)線，導(dǎo)線截面半徑為。求這對導(dǎo)線單位長度的電感。解 根據(jù)教材97頁例題4-12、4-13，可得平行長線a、b的單為長度內(nèi)自感為 對于外自感，如圖4-12取鏡象，a、b之間的外磁鏈可視為a、b和c、d中的電流分別作用后疊加，即，外磁鏈為 外自感為 因此，自

6、感為4-13 如圖4-13所示，若在圓環(huán)軸線上放置一無窮長單匝導(dǎo)線，求導(dǎo)線與圓環(huán)線圈之間的互感。若導(dǎo)線不是無窮長，而是沿軸線穿過圓環(huán)后，繞到圓環(huán)外閉合，互感有何變化？若導(dǎo)線不沿軸線而是從任意點處穿過圓環(huán)后繞到圓環(huán)外閉合，互感有何變化？解 設(shè)長直導(dǎo)線中有電流，則在鐵芯線圈中產(chǎn)生的磁通和磁鏈分別為，因此，兩線圈之間的互感為根據(jù)諾以曼公式，可知兩線圈之間的互感也可視為鐵芯線圈中的電流產(chǎn)生被直導(dǎo)線所鏈繞的磁通與電流的比值，則題設(shè)后兩種情況中，直導(dǎo)線鏈繞的磁通沒有發(fā)生變化，因此互感也不變。4-14 如圖4-14所示，內(nèi)半徑為，外半徑為，厚度為，磁導(dǎo)率為（）的圓環(huán)形鐵芯，其上均勻緊密繞有匝線圈。求此線圈的

7、自感。若將鐵芯切割掉一小段，形成空氣隙，空氣隙對應(yīng)的圓心角度為，求線圈的自感。解 當(dāng)線圈中有電流時，設(shè)鐵芯中的磁場強度為、氣隙中為，據(jù)安培環(huán)路定律，可得據(jù)邊界條件，可得 ，代入上式，得相應(yīng)的磁通為 則鐵芯及氣隙中的磁通為 線圈所鏈繞的磁通為 則電感為 4-15 分別求如圖4-15所示，兩種情況中兩回路之間的互感。解 （a）如圖建立坐標(biāo)系，對于三角形部分，可得長直導(dǎo)線中的電流在三角形線圈中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為，則磁通為互感為 （b）如圖建立坐標(biāo)系，對于三角形部分，可得長直導(dǎo)線中的電流在三角形線圈中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 ，則磁通為 互感為 4-16 試證明真空中以速度運動的點電荷所產(chǎn)生的磁場強度和電位

8、移矢量之間關(guān)系為 。證明 如圖4-16，點電荷在半徑為處產(chǎn)生的電位移矢量為，當(dāng)點電荷以速度向方向運動時在半徑為處產(chǎn)生的磁場強度為證畢。4-17 試證明真空中以角速度作半徑為圓周運動的點電荷在圓心處產(chǎn)生的磁場強度為，是與圓周運動方向成右手螺旋關(guān)系方向的單位矢量。證明 如圖4-17所示，以角速度作半徑為圓周運動的點電荷的線速度為 ，則磁場強度 證畢。4-18 如圖4-18所示，半徑為，長度為的永磁材料圓柱，被永久磁化到磁化強度為。求軸線上任一點的磁感應(yīng)強度和磁場強度。解 等效的磁化電流體密度和面密度分別為 ， 參閱教材72頁例4-2，可得圖4-19所示電流微元在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為則圓柱體上的磁化

9、電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為4-19 有兩個相鄰的線圈，設(shè)各線圈的磁鏈的參考方向與線圈自身電流的參考方向成右手螺旋關(guān)系，問：如何選取兩線圈電流參考方向，才能使互感系數(shù)為正值？如何選取兩線圈電流參考方向，才能使互感系數(shù)為負值。解 選擇和的參考方向，使產(chǎn)生的磁通與成右手關(guān)系、產(chǎn)生的磁通與成右手關(guān)系，則互感系數(shù)為正值。選擇和的參考方向，使產(chǎn)生的磁通與成左手關(guān)系、產(chǎn)生的磁通與成左手關(guān)系，則互感系數(shù)為負值。4-20 半徑為的無窮長圓柱，表面載有密度為的面電流。求空間的磁感應(yīng)強度和矢量磁位。解 如圖建立圓柱坐標(biāo)，由于對稱性，則場量僅可能為的函數(shù)，作軸心與重合、半徑分別大于或小于圓柱面，據(jù)，可得，即；對于，由于磁感應(yīng)強度線應(yīng)經(jīng)無窮遠處閉合，即，則當(dāng)，；當(dāng)，作閉合回線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得，即；作軸心與重合、半徑分別大于或小于圓環(huán)線，據(jù)安培環(huán)路定律，可得。 綜合以上分析，可得磁感應(yīng)強度為 根據(jù)，可得矢量磁位為 式中為環(huán)繞的閉合回線。4-21 在沿軸放置的長