1、工程力學（C）,北京理工大學理學院力學系 韓斌,(23),10 應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,10.1 應(yīng)力的概念 一點處的應(yīng)力狀態(tài),1.內(nèi)力在變形體內(nèi)某一截面上分布的描述,用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：,截面分布內(nèi)力系向截面形心簡化后的等效力系,為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點，描述內(nèi)力的狀況。,在P點取面元A，A上分布內(nèi)力合力為,在 m-m截面上P點處定義：,m-m截面上P點的正應(yīng)力,m-m截面上P點的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）,m-m截面上P點的全應(yīng)力,2. 變形體內(nèi)某一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量的概念,正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）均與過物體內(nèi)部的某 一點的一個截面有關(guān),描述變形體

2、內(nèi)部某點的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述,10.2應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）,1.單元體的概念,變形體內(nèi)某點處取出的邊長無限小的體積微元,在直角坐標系下，單元體為無限小正六面體,單元體的三對表面：,正面：外法向與坐標軸同向,負面：外法向與坐標軸反向,單元體是變形體的最基本模型,2.應(yīng)力張量的表示方法,單元體每個表面上，都有該點在該截面上的應(yīng)力矢量（全應(yīng)力），可分解為三個分量,每對表面上的應(yīng)力矢量互為反作用力，共9個分量,各應(yīng)力分量的記法,故應(yīng)力張量的分量表示為：,或,或,若記x=1,y=2,z=3,則,3.單元體的平衡條件,以單元體為分離體,過其形心C作xC,yC,zC軸：,切應(yīng)力互等定理,

3、故應(yīng)力張量為二階對稱張量,9個分量中，只有6個獨立分量！,10.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析,若某點的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：,9個應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài),例如當物體的表面不受力時在表面取出的單元體,例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點取出的單元體,1.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法,正應(yīng)力 ， 以拉為正,切應(yīng)力 ， 以使單元體順時針轉(zhuǎn)動為正,應(yīng)力分量的正負號規(guī)定：,故切應(yīng)力互等定理為：,2. 平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法,若某點的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點任意外法線與為n的斜截面上的應(yīng)力分量。,已知：某點單元體上的應(yīng)力分量,求該點外法線為n的斜截面面上的

4、正應(yīng)力 , 切應(yīng)力 。,沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dA,同理 可得：,10.4主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力,1. 主平面 主方向 主應(yīng)力,在變形體內(nèi)某一點處：,若某一方向的斜截面上 ，則該截面稱為主平面,該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，,02內(nèi)，得兩個值 和 ，且,即這兩個主平面相互垂直,主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力,由斜面應(yīng)力公式（10.1）,令,故，主平面上的正應(yīng)力達到極值,即主應(yīng)力分別對應(yīng)于的極大值和極小值,將P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主應(yīng)力為：,以主平面為單元體的各面則稱為主單元體,從變形體內(nèi)任意點取出的單元體稱為原始單元體,主單元體的各表面上只有正

5、應(yīng)力，沒有切應(yīng)力,對平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個主平面，其上的主應(yīng)力為零。,故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力：,按代數(shù)值大小排列為 1 2 3,分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力，,對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個相互垂直的主平面及三個主應(yīng)力。,一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；,某點的三個主應(yīng)力全不為零該點為三向應(yīng)力狀態(tài),某點有一個主應(yīng)力為零該點為二向應(yīng)力狀態(tài),某點有二個主應(yīng)力為零該點為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡單應(yīng)力狀態(tài),某點處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，,極小值為3,單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài),2 .某點單元體的最大切應(yīng)力,上式的兩個解S1， S2為切應(yīng)力達到極值的平面,S與主平面P相差45，即P1與

6、P2的角平分線方向為S1和 S2的方向。切應(yīng)力的極值為：,同理，某點的三個主應(yīng)力中，任意二個主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：,該點單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當中的最大者，即,（10.5）,主切應(yīng)力,而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向。,思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？,已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。,解：,例 題 1,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,由初始單元體上的應(yīng)力分量,代入主應(yīng)力公式：,故三個主應(yīng)力分別為,求主方向：,例 題 1,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,10.5 應(yīng)力圓 一點處平

7、面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法。,由斜面應(yīng)力公式可得,(b),(a),上兩式兩邊平方后相加,圓的方程：圓心 ( ),圓的半徑：,上式在應(yīng)力坐標系 中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓),圓心 ( ),圓的半徑：,應(yīng)力圓的畫法：,已知某點的平面應(yīng)力狀態(tài)為,x面坐標 Dx（ ） y面坐標 Dy（ ）,以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓,應(yīng)力圓的物理意義：,圓周上任意一點的坐標值，為該點某一斜截面上 的正應(yīng)力和切應(yīng)力,角以逆時針為正,因此，當 連續(xù)變化至 時，坐標 繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.,應(yīng)力圓上一點，由 繞圓心轉(zhuǎn)過 角，對應(yīng) 截面上的應(yīng)力,從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，主切應(yīng)力,主應(yīng)力：,主方向：,方向,最大切應(yīng)力：,單

8、元體的主應(yīng)力、主方向、主切應(yīng)力,（2）純剪切（純剪）,幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實例：,（1）單向拉伸,（2）單向壓縮,某點單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標出圖示截面上的應(yīng)力，（單位： ）,例 題 2,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,解：,例 題 2,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,與2對應(yīng),主應(yīng)力為：,與1對應(yīng),主單元體：,例 題 2,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位： ）,解：,例 題 3,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,初始單元體

9、,半徑,主單元體：,例 題 3,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,11.5 三向應(yīng)力狀態(tài),將三個主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列,因此根據(jù)每一點的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個相互垂直的主應(yīng)力和3個正交的主方向,三向應(yīng)力圓,空間任意方向截面上的應(yīng)力 ， 可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點 的應(yīng)力坐標表示。,一點處最大的剪應(yīng)力,求 ， ， ，,解：,在 ， 平面內(nèi),例 題 4,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,為一個主應(yīng)力,一點的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變) 和切應(yīng)變(剪應(yīng)變),11.6 應(yīng)變分析,1. 某點處（單元體的）變形的描述應(yīng)變,正應(yīng)變線段單位長度的改變量，無量綱,切應(yīng)變直角的改變量，單位：弧

10、度,某點處的應(yīng)變二階對稱應(yīng)變張量,在 ， 坐標下,2.平面應(yīng)變狀態(tài) （與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）,單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的絕對變形量,在 ， 坐標下， 方向到 方向夾角,令 ， ，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有,某點各個方位應(yīng)變的情況稱為該點的應(yīng)變狀態(tài),類似，也可求出該點的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向,應(yīng)變花：,可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變 的方向是重合的。,可用于實驗測定一點處的應(yīng)變狀態(tài),胡克定律,比例系數(shù) 稱為材料的彈性模量,比例系數(shù) 稱為泊松比,11.7 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,1.單向應(yīng)力狀態(tài),橫向應(yīng)變 ,縱向應(yīng)變 ,在線彈性范圍內(nèi),剪切胡克定律 切變模量,可證明,

11、2.純剪應(yīng)力狀態(tài),只有 作用時,3.廣義胡克定律,只有 作用時,只有 作用時,只有 作用時,故某點為任意應(yīng)力狀態(tài)時應(yīng)滿足：,對主單元體,例 題 5,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,解：,則,例 題 5,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,設(shè),整理后,例 題 5,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律,某點的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點測得與x軸夾角為-45方向上的正應(yīng)變是 ，已知 ，求,解：,例 題 6,10 應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系, 例題,由該點主方向上的廣義胡克定律：,由于純剪切的主方向為與x軸夾角45方向，主應(yīng)力為 ，0，-,取一體積為 的單元體,受