1、第 7 章 參數(shù)估計(jì),第 7 章 參數(shù)估計(jì),7.1 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題 7.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 7.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 7.4 樣本量的確定,學(xué)習(xí)目標(biāo),估計(jì)量與估計(jì)值的概念 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別 評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn) 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法 樣本量的確定方法,7.1 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,7.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值 7.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) 7.1.3 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)量與估計(jì)值,估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量 如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量 參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示 估計(jì)值：估

2、計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值 如果樣本均值 x =80，則80就是的估計(jì)值,估計(jì)量與估計(jì)值 (estimator & estimated value),點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì),點(diǎn)估計(jì) (point estimate),用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì) 無(wú)法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息 雖然在重復(fù)抽樣條件下，點(diǎn)估計(jì)的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值 一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無(wú)法給出估計(jì)

3、的可靠性的度量,區(qū)間估計(jì) (interval estimate),在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到 根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量 比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95%,區(qū)間估計(jì)的圖示,將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10,置信水平 (confidence level),由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)

4、的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè) 總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯(cuò)誤的,置信區(qū)間 (confidence interval),置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間),重復(fù)構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間,點(diǎn)估計(jì)值,評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn),無(wú)偏性 (unbiasedness),無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計(jì)的總體參數(shù),有

5、效性 (efficiency),有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì) 量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效,一致性 (consistency),一致性：隨著樣本量的增大，估計(jì)量的 值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù),7.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),7.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì) 7.2.2 總體比例的區(qū)間估計(jì) 7.2.3 總體方差的區(qū)間估計(jì),一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本),總體均值的區(qū)間估計(jì) (大樣本),1. 假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似 (n 30) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z,總體均值 在1- 置

6、信水平下的置信區(qū)間為,總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析),【 例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%,總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 。由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28

7、g,總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析),【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36個(gè)投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲,總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、未知、小樣本),總體均值的區(qū)間估計(jì) (小樣本),1. 假定條件 總體服從正態(tài)分布,但方差() 未知 小樣本 (n 30) 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,t

8、 分布, t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析),【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h,總體比例的區(qū)間估計(jì),總體比例的區(qū)間

9、估計(jì),1. 假定條件 總體服從二項(xiàng)分布 可以由正態(tài)分布來(lái)近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體比例的區(qū)間估計(jì) (例題分析),【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,總體方差的區(qū)間估計(jì),總體方差的區(qū)間估計(jì),1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差 2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布 總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且,4.

10、總體方差在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,總體方差的區(qū)間估計(jì) (圖示),總體方差的區(qū)間估計(jì) (例題分析),【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間,總體方差的區(qū)間估計(jì) (例題分析),解:已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為,該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū) 間為7.54g13.43g,一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) (小結(jié)),7.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),7.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估

11、計(jì) 7.3.2 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì) 7.3.3 兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) (獨(dú)立大樣本),兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (大樣本),1. 假定條件 兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知 若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來(lái)近似(n130和n230) 兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (大樣本),1. 1， 2已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,1、 2未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),【例】某地區(qū)教育管理部門想估

12、計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間,English,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),解: 兩個(gè)總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為 5.03分10.97分,兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) (獨(dú)立小樣本),兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (小樣本: 12= 22 ),1. 假定條件 兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體方差未知但相等：1=2 兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230) 總體方差的合并估計(jì)量,估計(jì)量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差,兩個(gè)總體均值之差的估

13、計(jì) (小樣本: 12=22 ),兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化,兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),【例】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 合并估計(jì)量為,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為 0.14min7.26min,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (小樣本

14、: 12 22 ),1. 假定條件 兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體方差未知且不相等：12 兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230) 使用統(tǒng)計(jì)量,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (小樣本: 1222 ),兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),【例】沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排12名工人，第二種方法隨機(jī)安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 自由度

15、為,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為 0.192min9.058mni,兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) (匹配樣本),兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (匹配大樣本),假定條件 兩個(gè)匹配的大樣本(n1 30和n2 30) 兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (匹配小樣本),假定條件 兩個(gè)匹配的小樣本(n1 30和n2 30) 兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),【例】由10名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和

16、B兩套試卷進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下表 。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間,STATISTICS,兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) (例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得,兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分 15.67分,兩個(gè)總體比例之差區(qū)間的估計(jì),1. 假定條件 兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布 可以用正態(tài)分布來(lái)近似 兩個(gè)樣本是獨(dú)立的 2. 兩個(gè)總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體比例之差的估計(jì) (例題分析),【例】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)

17、目。試以95%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間,兩個(gè)總體比例之差的估計(jì) (例題分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%,兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì),兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì),1. 比較兩個(gè)總體的方差比 用兩個(gè)樣本的方差比來(lái)判斷 如果S12/ S22接近于1,說(shuō)明兩個(gè)總體方差很接近 如果S12/ S22遠(yuǎn)離1,說(shuō)明兩個(gè)總體方差之間存在差異 總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì) (圖示),兩個(gè)

18、總體方差比的區(qū)間估計(jì) (例題分析),【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(單位：元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果 男學(xué)生： 女學(xué)生： 試以90%置信水平估計(jì)男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間,兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì) (例題分析),解:根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間為0.471.84,兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) (小結(jié)),7.4 樣本量的確定,7.4.1 估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定 7.4.2 估計(jì)總體比例時(shí)樣本量的確定 7.4.3 估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)樣本量的確定 7.4.4 估計(jì)兩個(gè)總體比例之差時(shí)樣本量的確定,估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的