1、1,第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析,三性分析：穩(wěn)定性 穩(wěn)態(tài)特性 動(dòng)態(tài)特性,3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各類品質(zhì)指標(biāo)的分析必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。 研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，探討系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。,2,3.5.2 穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定性定義表明，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無(wú)關(guān)。,基于穩(wěn)定性研究的問(wèn)題是擾動(dòng)作用去除后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，它與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的特征，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述。,3,設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：,上式表明，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

2、：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均分布在平面的左半部。,對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得到理想脈沖函數(shù)作用下的輸出：,設(shè) 為系統(tǒng)特征方程 的根，而且彼此不等。系統(tǒng)輸出：,4,一個(gè)在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng)，在參考輸入信號(hào)作用下仍將繼續(xù)保持穩(wěn)定,5,3.5.3 勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù),一、穩(wěn)定性的初步判別,設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正且不缺項(xiàng)。,特征方程變?yōu)椋?由于,因此，上式展開(kāi)后的各項(xiàng)系數(shù)均大于零。,對(duì)于一階和二階線性定常系統(tǒng)，其特征方程式的系數(shù)全為正值，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件和必要條件。但對(duì)于三階以上的系統(tǒng)，特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均

3、為正值僅是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而非充分條件。,6,二、赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù),線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)所構(gòu)成的主行列式及其順序主子式全部為正。,行列式的規(guī)律: 對(duì)角線由a1,a2,an組成。以對(duì)角線元素為標(biāo)準(zhǔn)，在各列上，從上到下系數(shù)序號(hào)遞減，直到a0; 從下到上系數(shù)序號(hào)遞增，直到an; 其它空白項(xiàng)為零。,7,三、勞思穩(wěn)定判據(jù),將系統(tǒng)特征方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：,勞斯表組成規(guī)律：表中的第一行由特征方程的1、3、5、項(xiàng)系數(shù)組成，第二行由特征方程的2、4、6、項(xiàng)系數(shù)組成；計(jì)算表中某行系數(shù)時(shí)，分母為上一行第一列的值，分子為上兩行第一列和上兩行的待求系數(shù)后一列構(gòu)成的2階行列式乘以-1；勞

4、斯表中的空白項(xiàng)看成0值。計(jì)算中各行可同乘以任一正數(shù)，不影響判定結(jié)果。,8,例：已知系統(tǒng)特征方程為,試用勞斯判據(jù)判別其穩(wěn)定性。,9,四、勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況,1、勞斯表中某行的第一列為0，而其余各項(xiàng)不全為0。,當(dāng)計(jì)算下一行時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)窮大數(shù)，從而無(wú)法進(jìn)行判定。,方法1：在原特征方程中乘以（s+a)因子，構(gòu)成新的特征方程，其中a為大于0的正數(shù)，再對(duì)新的特征方程進(jìn)行勞斯表判定。,10,方法2：用一個(gè)有限小的變量代替第一列為零的那一項(xiàng)，然后按通常方法計(jì)算其余各項(xiàng)。如果的上、下兩項(xiàng)符號(hào)不同，則表明有一次符號(hào)變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,11,2、勞斯表中出現(xiàn)全0行,解決辦法：用全0行的上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，并對(duì)輔助方程求導(dǎo)，所得系數(shù)取代全0行的各項(xiàng)。輔助方程的根為特征方程的共軛虛根。,12,五、勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用,13,列勞斯表,第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂線 的右方。,14,通過(guò)勞斯判據(jù)，可確定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,例： 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試回